控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析x

5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的根本概念5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)〔Routh判據(jù)、Hurwitz判據(jù)〕5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)〔Nyquist判據(jù)〕5.5運用乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.6由伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的根本概念1.單擺2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題定義系統(tǒng)受擾動后能否恢復(fù)原來的形狀5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件N(s)到Xo(s)的傳送函數(shù)：設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，n(t)為輸入時，系統(tǒng)輸出為：假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有即系統(tǒng)輸出的時域表達式: 為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根的實部控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

閉環(huán)特征方程式的根全部具有負實部

系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點，故也可以說充要條件為極點全部在[s]平面的左半面為系統(tǒng)的特征根基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系5.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)特征方程為

復(fù)數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：〔2〕特征方程的各項系數(shù)的符號都一樣?！?〕特征方程的各項系數(shù)(i=0，1，2，…，n)。要使全部特征根均具有負實部，必需滿足：普通取正值，那么上述兩條件簡化為——必要條件！充要條件：假設(shè)“勞斯陣列〞中第一列一切項均為正，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列：其中實部為正的特征根數(shù)＝勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號改動的次數(shù)。例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯陣列第一列中系數(shù)符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。解：首先由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件〔系數(shù)均大于0〕。其次，排勞斯陣列例2設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。 排勞斯陣列第一列系數(shù)改動符號2次，閉環(huán)系統(tǒng)的根中有2個實部為正，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。 二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 對于特征方程階次低〔n≤3〕的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡化：三階系統(tǒng)特征式為，勞斯表:故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是例設(shè)某反響控制系統(tǒng)如以下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳送函數(shù)為特征方程為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判別穩(wěn)定性。勞斯陣列表符號改動2次，2個正實根。無正實根，有虛根。例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判別穩(wěn)定性。勞斯陣列表臨界穩(wěn)定n×n行列式：赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：各階主子行列式均>0即：……例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試運用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。 各系數(shù)排成行列式由于故該系統(tǒng)穩(wěn)定。代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)運用的多項式是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式。例：一個反響控制系統(tǒng)的特征方程為 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0,試確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。勞斯判據(jù)的缺乏：定性——較難從量上判別系統(tǒng)的穩(wěn)定程度必需知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)穩(wěn)定性對含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無效1.a為復(fù)數(shù)C為順時針方向5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)假設(shè)C包圍a，那么C’順時針包圍原點1圈；假設(shè)C不包圍a，那么C’不包圍原點。2.假設(shè)C包圍a，那么C’逆時針包圍原點1圈；假設(shè)C不包圍a，那么C’不包圍原點。C包圍z個零點，C’繞原點順時針繞原點1圈，角度增量順時針z圈C包圍1個極點，C’逆時針繞原點1圈C包圍p個極點，C’繞原點逆時針p圈F(s)有m個零點，n個極點，在[s]平面上的C順時針包圍了其中z個零點和p個極點，——映射定理z–p圈。那么在[F]平面上的C’順時針包圍原點反響控制系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)閉環(huán)傳送函數(shù)閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳送函數(shù)右極點個數(shù)為0右零點個數(shù)為0

逆時針包圍原點的圈數(shù)=開環(huán)右極點個數(shù)順時針繞[s]右半平面的曲線，經(jīng)過的映射，F(xiàn)(s)包圍原點的圈數(shù)=F’(s)包圍-1點的圈數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，假設(shè)開環(huán)傳送函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍

(－1,j0)點的圈數(shù)等于開環(huán)右極點的個數(shù)，那么系統(tǒng)穩(wěn)定?！湟獥l件右極點數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點數(shù)：1逆時針包圍圈數(shù)：1穩(wěn)定例:以下圖所示反響控制系統(tǒng)，K為何值時穩(wěn)定?K<1，不穩(wěn)定；K>1，穩(wěn)定。例:某反響控制系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為判別當K=10和40時的穩(wěn)定性假設(shè)開環(huán)傳送函數(shù)在虛軸上有極點或零點，開環(huán)沒有右極點，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定開環(huán)右極點有1個，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈，穩(wěn)定從原點右邊繞，開環(huán)右極點個數(shù)為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,j0)1圈，不穩(wěn)定例：某系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為從原點右邊繞，順時針2圈，不穩(wěn)定延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在前向通道K滿足什么條件時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？5.5運用乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性0+0-例如：穩(wěn)定條件：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，假設(shè)開環(huán)傳送函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點的圈數(shù)等于開環(huán)右極點的個數(shù)，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。(1)開環(huán)右極點個數(shù)如何判別？——勞斯判據(jù)(2)開環(huán)在虛軸上有零極點？——繞道(3)開環(huán)無右極點——不包圍(4)乃氏判據(jù)也適用于有延時環(huán)節(jié)的情況延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在前向通道例：以下圖所示為機床〔如鏜床，銑床〕的長懸臂梁式主軸的任務(wù)情況，由于主軸剛性低，常易產(chǎn)生振動，下面分析其動態(tài)特性。P〔t〕——切削力；y〔t〕——主軸前端刀具處因切削力產(chǎn)生的變形量；D——主軸系統(tǒng)的當量粘性系數(shù)；——主軸系統(tǒng)的當量剛度。1．機床主軸系統(tǒng)的傳送函數(shù)將主軸簡化為集中質(zhì)量m作用于主軸端部，令主軸端部的運動微分方程為其傳送函數(shù)為2．切削過程的傳送函數(shù) 假設(shè)工件名義進給量為，由于主軸的變形，實踐進給量為u〔t〕，于是U〔s〕=Uo〔s〕-Y〔s〕 假設(shè)主軸轉(zhuǎn)速為n，刀具為單齒，那么刀具每轉(zhuǎn)一周需求時間。刀具在每轉(zhuǎn)動一周中切削的實踐厚度為[u〔t〕-u〔t-τ〕]。 令kc為切削阻力系數(shù)〔它表示切削力與切削厚度之比〕，那么其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為那么，即令這樣一來就將乃氏判據(jù)中開環(huán)頻率特性的極坐標能否包圍〔-1，j0〕點的問題歸結(jié)為Gm〔jω〕的極坐標軌跡能否包圍Gc(jω〕的極坐標軌跡的問題。 下面分別作出Gm〔jω〕和Gc(jω〕的極坐標軌跡。曲線③曲線①1．假設(shè)Gm〔jω〕不包圍Gc(jω〕，即Gm〔jω〕與Gc(jω〕不相交，如曲線①，那么系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。因此系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的條件是Gm〔jω〕中的最小負實部的絕對值小于。 無論提高主軸的剛度km，還是減少kc(切削阻力系數(shù)〕，都可提高穩(wěn)定性，但對提高穩(wěn)定性最有利的是添加阻尼。2．假設(shè)Gm〔jω〕包圍Gc(jω〕一部分，即Gm〔jω〕與Gc(jω〕相交，如曲線③，那么系統(tǒng)能夠不穩(wěn)定，但在一定條件下也可穩(wěn)定。 假設(shè)在任務(wù)頻率ω下，保證τω避開的范圍，也就是適中選擇τ系統(tǒng)仍可穩(wěn)定。所以，在此條件下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：選擇適當?shù)闹鬏S轉(zhuǎn)速n(在單刃銑刀時，τ＝1/n)，使Gm〔jω〕不包圍τω點。單位圓→0dB線5.6由伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性由伯德圖判穩(wěn)定性設(shè)0型或I型系統(tǒng)開環(huán)特征方程有p個右根，

且開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)大于零，

假設(shè)在一切L(ω)≥0頻率范圍內(nèi)，

相頻特性曲線φ(ω)在(-π)線上正負穿越之差為p/2次，

那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。乃氏圖從第三象限穿越負實軸到第二象限，負穿越;

從第二象限穿越負實軸到第三象限，正穿越。假設(shè)ω=0時，φ(ω)=-π，

乃氏圖向第三象限去，半次正穿越，

向第二象限去，半次負穿越。圖〔a〕，知p＝0，即開環(huán)無右特征根，

在L〔ω〕＞0范圍內(nèi)，正負穿越之差為0，

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。圖〔b〕，知開環(huán)傳送函數(shù)有一個右極點，

p=1，在L〔ω〕＞0的頻率范圍內(nèi)，半次正穿越，

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。圖〔c〕，知p＝2，在L〔ω〕＞0的范圍內(nèi)，正負穿越之差為1-2=-1≠2／2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。圖〔d〕，知p＝2，在L〔ω〕＞0的范圍內(nèi)，正負穿越之差為2-1＝1=2／2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。假設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面，且和虛軸有一段間隔，那么系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量。用勞斯判據(jù)定性→定量虛軸左移σ，令z=s+σ，

將s=z-σ代入系統(tǒng)特征式，

得到z的方程式，采用勞斯判據(jù)，可知間隔虛軸σ以右能否有根。5.7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例：令z=s+1，即s=z–1，代入系統(tǒng)特征式，即z的多項式系數(shù)無相反符號，勞斯陣列第一列未變號，系統(tǒng)在s=-1以右沒有根。實踐4個根為-1,-2,-3,-4用Nyquist圖假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，Nyquist圖離(-1,j0)越近，相對穩(wěn)定性越差。剪切頻率相位裕量增益裕量增益裕量也可用分貝數(shù)表示：例：開環(huán)傳送函數(shù)為求K=10、100時的相位裕量、幅值裕量。K=10作圖法計算法K=100作圖法計算法相關(guān)matlab函數(shù)nyquist(s1)s1=tf([40],[0.0050.1510])s1=zpk([],[0-10-20],8000)[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(s