第一章 復數(shù)與復變函數(shù)

§1復數(shù)§2復平面上的點集§3復變函數(shù)§4復球面與無窮遠點第一章復數(shù)與復變函數(shù)一、概念：§1復數(shù)（1）復數(shù)：或其中是任意實數(shù)，為虛單位且。

實部：虛部：（2）純虛數(shù)：即。特別。（3）共軛復數(shù)：復數(shù)和稱為互為共軛復數(shù)。注：復數(shù)不能比較大小。（4）復數(shù)相等：實部和虛部分別相等的兩復數(shù)。（5）復數(shù)的運算：，

和、差：積：性質商：若復數(shù)滿足，則稱為與的商。記為：。（1）交換律：，（2）結合律：（3）分配律：（4）例1設，求Re(z)，Im(z)。例2設為任意兩個復數(shù)，證明：例3設，求與。二、復數(shù)的幾何表示復平面：看作平面上坐標為的點，軸為實軸，軸為虛軸，兩軸所在平面，稱為復平面?！皵?shù)”與“點”一一對應，故今后常稱為“點”。復數(shù)的向量表示：復數(shù)可用從原點到點的向量表示，記為。復數(shù)的模：輻角：實軸正向到的夾角，稱為的輻角，記作Argz。（0的輻角是什么？）

輻角主值：的全部輻角中，在上的一個，稱為Argz的主值，記為argz。

復數(shù)的三角表示：利用直角坐標與極坐標的關系得復數(shù)的指數(shù)表示：利用Euler公式：得例1證明：例2將化為三角表示和指數(shù)表示。例3將化為三角表示和指數(shù)表示。例4將直線方程化為復數(shù)表示。例5求下列方程所表示的曲線：（1）（2）注意：三、

復數(shù)的乘冪與方根1、乘積與商設，

則結論：（1）（2）2、冪與方根冪：設，則的n次冪。

DeMoivre公式：特別時，方根：求的n次方根，相當于求方程：的根。

當時得到n個相異的根：例1：求與的值。幾何意義：的n個值是以原點為中心，為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。例2:設及是兩個復數(shù),試證1、區(qū)域的概念§2復平面上的點集鄰域：

的鄰域為去心鄰域：的去心鄰域為開集：G為一平面點集，，若存在的一個鄰域使，則稱為G的內(nèi)點。若G的每個點均為它的內(nèi)點，則稱G為開集。區(qū)域：若平面點集D是一個開集，且是連通的，則稱D為一個區(qū)域。連通性：平面點集D中任兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，稱D具有連通性。

區(qū)域

區(qū)域

區(qū)域

不是區(qū)域

區(qū)域的邊界={邊界點}閉區(qū)域=區(qū)域+邊界聚點：區(qū)域分類：有界區(qū)域、無界區(qū)域。邊界點：但的任意鄰域內(nèi)均有D的點，則稱為平面點集D的邊界點。2、單連通區(qū)域與多連通區(qū)域單連域：若區(qū)域G內(nèi)任一條簡單閉曲線（無重點的曲線或約當曲線）的內(nèi)部均屬于G，則稱G為連區(qū)域。單連域多連域多連域3、約當(Jordan)曲線定義：設及是兩個實函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)，則由方程組或由復數(shù)方程（簡記為），稱為復平面上的一條連續(xù)曲線．無重點的連續(xù)曲線，稱為簡單曲線或Jordon曲線．定義：設連續(xù)曲線弧AB的參數(shù)方程為任取實數(shù)列：，將AB弧上對應的點列，用一條折線連接起來，它的長度如果對所有的數(shù)列都有上界，則AB弧稱為可求長的，上確界稱為AB弧的長度．定義：設簡單曲線C的參數(shù)方程為而且不全為零，則稱C為光滑曲線．由有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線．注意：逐段光滑曲線必是可求長曲線，但簡單曲線卻不一定可求長．如曲線定理：（Jordon定理）任一簡單閉曲線Ｃ將Ｚ平面唯一的分成三個點集，它們具有以下的性質：（１）彼此不相交；（２）是一個有界區(qū)域（稱為Ｃ的內(nèi)部）；（３）是一個無界區(qū)域（稱為Ｃ的外部）；（４）若簡單折線Ｐ的一個端點屬于，另一個端點屬于，則Ｐ必與Ｃ有交點．1、復變函數(shù)單值函數(shù)、多值函數(shù)、定義域§3復變函數(shù)的極限與連續(xù)定義：設G為一復數(shù)集，若按一確定法則，對G中每一個復數(shù)，有一個復數(shù)與之對應，則稱在G上確定了一個復變函數(shù)。zw=u+iv例:均為的單值函數(shù).及均為的多值函數(shù)。注意：復變函數(shù)不像實變函數(shù)，可以用圖形直觀的表示函數(shù)。映射:復變函數(shù)給出了從平面上的點集E到平面上的點集F間的一個對應(映射或變換).點稱為點的象點,而點稱為點的原象.定義:對z平面上任意，有平面上點集F的點，使，則稱把E變?nèi)隖（簡記為)，或稱是E到F的入變換.定義:如果，且對任意有使，則稱把E變成F(簡記為)，或稱是E到F的滿映射.定義:若是點集E到F的滿變換，且對F中的每一點，在E中有一個(或至少有兩個)點與之對應，則在F上確定了一個單值(或多值)函數(shù)，記為，稱之為的反函數(shù)或變換的逆變換。例:設函數(shù)，試問它將z平面上的下列曲線分別變成w平面上的何種曲線？（１）以原點為心，２為半徑，在第一象限的圓??；（２）傾角的直線（可看為兩條射線和）。2、復變函數(shù)的極限極限：設函數(shù)定義在的去心鄰域內(nèi)。若有一確定的A，使當時有。則稱A為當趨于時的極限，記為。注意：（1）當進入的充分小的鄰域時，就落入A的一預先給定的-鄰域內(nèi)。（2）的路徑和方向是任意的。注：此定理將復變函數(shù)的極限問題轉化為二元實變函數(shù)的極限問題。定理1設則的充要條件是：性質3、函數(shù)的連續(xù)性定義：若，則稱函數(shù)在處連續(xù)。若在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱在D內(nèi)連續(xù)。定理2：（1）若，在點連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在處不為0）在點連續(xù)。（2）若在點連續(xù)，而在點連續(xù)，則在點連續(xù)。定理3函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)。例1討論的連續(xù)性。例2試證：在原點不連續(xù)。例３設，則在的某去心鄰域內(nèi)是有界的．類似于數(shù)學分析提出下列三個常用定理.定理1:(波爾查諾(Bolzano)-維爾斯特拉斯定理)每一個有界無窮點集，至少有一個聚點.定理2:(閉套集定理)設無窮閉集列中至少一個為有界且，(其中是的直徑)，則必有唯一的點，。定理3:(海涅-波萊爾(Heine-Borel)覆蓋定理）設有界閉集Ｅ的每一點都是圓的圓心，則這些圓中必有有限個圓把Ｅ覆蓋．即Ｅ的每一點至少屬于這有限個圓中的一個．定理：在有界閉集E上連續(xù)的函數(shù)，具有下列三個性質：（１）在E上有界．即有常數(shù)，使（２）在E上有最大值與最小值．即在E上有兩點與使（３）在E上一致連續(xù)，即任給，有，使對E上滿足的任意兩點及，均有§4復球面與無窮遠點復球面：取一個與復平面相切于原點的球面，球面上的一點S與原點重合。通過S作垂直于復平面的直線與球面相交于另一點N，稱N為北極，S為南極。對于復平面內(nèi)任一點，用一直線把點與北極N連接起來，直線與球面相交于異于N的點P。反之，對于球面上任何一個異于N的點P，用一直線把N與P連接起來，這條直線就與復平面相交于一點。說明：球面上的點，除北極外與復平面上的點存在著一一對應，而復平面上的點與復數(shù)一一對應。故球面上的點，除北極外，與復數(shù)一一對應。所以可以用球面上的點來表示復數(shù)。為了使球面上的點無例外地與復平面上的點一一對應，規(guī)定：復平面上有