二階常系數(shù)齊次線性微分方程

§12.8二階常系數(shù)齊次線性微分方程

方程y

py

qy

0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中p、q均為常數(shù)

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關解

那么y

C1y1

C2y2就是它的通解

二階常系數(shù)齊次線性微分方程

考慮到當y

、y

、y為同類函數(shù)時

有可能使y

py

qy恒等于零

而函數(shù)erx具有這種性質

所以猜想erx是方程的解

將y

erx代入方程y

py

qy

0得(r2

pr

q)erx

0

由此可見

只要r滿足代數(shù)方程r2

pr

q

0

函數(shù)y

erx就是微分方程的解

分析

方程y

py

qy

0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中p、q均為常數(shù)

方程r2

pr

q

0叫做微分方程y

py

qy

0的特征方程.

特征方程及其根

特征方程的求根公式為二階常系數(shù)齊次線性微分方程

方程y

py

qy

0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中p、q均為常數(shù)

rr12+xeeCxCy21=特征方程的根與通解的關系有兩個不相等的實根

r1、r2

方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情況簡要證明:這是因為函數(shù)xre1和xre2都是方程的解;xrrxrxreee)(2121-=不是常數(shù),即xre1與xre2線性無關.xexCrrC2xey111+=有兩個不相等的實根

r1、r2

有兩個相等的實根

r1

r2

特征方程的根與通解的關系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情況xrxreCeCy2121+=簡要證明:這是因為0)()2(121111=++++=qprrxeprexrxr,即xrxe1是方程的解;xexexrxr=11不是常數(shù),即xre1與xre2線性無關.有兩個不相等的實根

r1、r2

有一對共軛復根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根與通解的關系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情況xrxreCeCy2121+=有兩個相等的實根

r1

r2

簡要證明:故e

xcos

x和e

xsin

x也是方程的解

因為函數(shù)y1

e(

i

)x和y2

e(

i

)x都是方程的解

而)(21cos21yyxex+=ba,)(21sin21yyixex-=ba,

函數(shù)e

xcos

x與e

xsin

x的比值為cot

x

不是常數(shù)

故e

xcos

x和e

xsin

x是方程的線性無關解

xrxrxeCeCy1121+=>>>

第一步寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0

第二步求出特征方程的兩個根r1、r2

第三步根據特征方程的兩個根的不同情況,寫出微分方程的通解.

求y

+py

+qy=0的通解的步驟:

有兩個不相等的實根

r1、r2

有一對共軛復根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根與通解的關系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情況xrxreCeCy2121+=有兩個相等的實根

r1

r2

xrxrxeCeCy1121+=有兩個不相等的實根

r1、r2

有一對共軛復根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根與通解的關系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情況xrxreCeCy2121+=有兩個相等的實根

r1

r2

xrxrxeCeCy1121+=因此微分方程的通解為y

C1e

x

C2e3x

例1

求微分方程y

2y

3y

0的通解

解微分方程的特征方程為r2

2r

3

0

特征方程有兩個不相等的實根r1

1

r2

3

即(r

1)(r

3)

0

有兩個不相等的實根

r1、r2

有一對共軛復根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根與通解的關系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情況xrxreCeCy2121+=有兩個相等的實根

r1

r2

xrxrxeCeCy1121+=特征方程有兩個相等的實根r1

r2

1

例2

求方程y

2y

y

0的通解

解微分方程的特征方程為r2

2r

1

0

即(r

1)2

0

因此微分方程的通解為y

C1e

x

C2xe

x

即y

(C1

C2x)e

x

r2

2r

5

0

特征方程的根為r1

1

2i

r2

1

2i

是一對共軛復根

因此微分方程的通解為y

ex(C1cos2x

C2sin2x)

例3

求微分方程y

2y

5y

0的通解

有兩個不相等的實根

r1、r2

有一對共軛復根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根與通解的關系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情況xrxreCeCy2121+=有兩個相等的實根

r1

r2

xrxrxeCeCy1121+=

解微分方程的特征方程為

n階常系數(shù)齊次線性微分方程

方程y(n)

p1y(n

1)

p2y(n

2)

pn

1y

pny

0稱為n

階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中p1

p2

pn

1

pn都是常數(shù)

引入微分算子D及微分算子的n次多項式

L(D)

Dn

p1Dn

1

p2

Dn

2

pn

1D

pn

注

D0y

y

Dy

y

D2y

y

D3y

y

Dny

y(n)

則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

(Dn

p1Dn

1

p2

Dn

2

pn

1D

pn)y

0或L(D)y

0

n階常系數(shù)齊次線性微分方程

方程y(n)

p1y(n

1)

p2y(n

2)

pn

1y

pny

0稱為n

階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中p1

p2

pn

1

pn都是常數(shù)

引入微分算子D

則上述微分方程可記作

(Dn

p1Dn

1

p2

Dn

2

pn

1D

pn)y

0或L(D)y

0

因此如果r是多項式L(r)的根

則y

erx是微分方程L(D)y

0的解

分析

令y

erx

則L(D)y

L(D)erx

(rn

p1rn

1

p2

rn

2

pn

1r

pn)erx

L(r)erx

L(r)

0稱為微分方程L(D)y

0的特征方程

n階常系數(shù)齊次線性微分方程

方程y(n)

p1y(n

1)

p2y(n

2)

pn

1y

pny

0稱為n

階常系數(shù)齊次線性微分方程

其中p1

p2

pn

1

pn都是常數(shù)

特征方程的根與通解中項的對應

引入微分算子D

則上述微分方程可記作

(Dn

p1Dn

1

p2

Dn

2

pn

1D

pn)y

0或L(D)y

0

e

x[(C1

C2x

Ck

xk

1)cos

x

(D1

D2x

Dkxk

1)sin

x]

單實根r對應于一項

一對單復根r1

2

i

對應于兩項

k重實根r對應于k項

一對k重復根r1

2

i

對應于2k項

erx(C1

C2x

Ckxk

1)

e

x(C1cos

x

C2sin

x)

Cerx

例4

求方程y(4)

2y

5y

0的通解

解微分方程的特征方程為r4

2r3

5r2

0

即r2(r2

2r

5)

0

它的根是r1

r2

0和r3

4

1

2i

因此微分方程的通解為y

C