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文檔簡介
空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用新登中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組前段時間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點面距離、線面距離和面面距離)今天我來研究如何利用空間向量來解決立體幾何中的有關(guān)證明問題。立體幾何中的有關(guān)證明問題,大致可分為“平行”“垂直”兩大類:平行:線面平行、面面平行垂直:線線垂直、線面垂直和面面垂直平行與垂直的問題的證明,除了要熟悉相關(guān)的定理之外,下面幾個性質(zhì)必須掌握。1、已知b⊥α,a不在α內(nèi),如果a⊥b,則a∥α。2、如果a⊥α,a⊥β,則α∥β。3、如果a∥b,a⊥α,則b⊥α。(課本P22.6)4、如果a⊥α,b⊥β,a⊥b,則α⊥β。
一、用空間向量處理“平行”問題↑→↑↑GAEDCBFHMN例1.如圖:ABCD與ABEF是正方形,CB⊥平面ABEF,H、G分別是AC、BF上的點,且AH=GF.求證:HG∥平面CBE.MH∥AB,NG∥ABMH∥NGAH=FGCH=BGCH:CA=BG:BFMH=NGGAEDCBFHPPH∥CB,PG∥BE平面HPG∥平面CBE
HG∥平面CBE
GAEDCBFHozy證明:由已知得:AB、BC、BE兩兩垂直,故可建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz.x設(shè)正方形邊長為1,AH=FG=a,則H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),故,而平面CBE的法向量為(0,1,0),故,而平面CBE故HG∥平面CBERDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分別是A1B1和BC上的動點,且A1P=BQ,M是AB1的中點,N是PQ的中點.求證:MN∥平面AC.M是中點,N是中點MN∥RQMN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1⊥AB于P1,作MM1⊥AB于M1,連結(jié)QP1,
作NN1⊥QP1于N1,連結(jié)M1N1N1M1P1NN1∥PP1MM1∥AA1又NN1、MM1均等于邊長的一半故MM1N1N是平行四邊形,故MN∥M1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明:建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz設(shè)正方形邊長為2,又A1P=BQ=2x則P(2,2x,2)、Q(2-2x,2,0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0),又平面AC的法向量為(0,0,1),∴∴又M不在平面AC內(nèi),所以MN∥平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:平面A1BD∥平面CB1D1平行四邊形A1BCD1
A1B∥D1C平行四邊形DBB1D1
B1D1∥BD于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx證明:建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz設(shè)正方形邊長為1,則向量設(shè)平面BDA1的法向量為則有x+z=0x+y=0令x=1,則得方程組的解為x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量為同理可得平面CB1D1的法向量為則顯然有即得兩平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1∥CB1D1
通過本例的練習(xí),同學(xué)們要進一步掌握平面法向量的求法:即用平面內(nèi)的兩個相交向量與假設(shè)的法向量求數(shù)量積等于0,利用解方程組的方法求出平面法向量(在解的過程中可令其中一個未知數(shù)為某個數(shù))。※例1、2與例3在利用法向量時有何不同?DCBAD1C1B1A1FGHE例4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點.求證:平面AEH∥平面BDGFAD∥GF,AD=GF又EH∥B1D1,GF∥B1D1EH∥GF平行四邊形ADGEAE∥DG故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證:建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz則求得平面AEF的法向量為求得平面BDGH的法向量為顯然有故平面AEH∥平面BDGF
二、用空間向量處理“垂直”問題↑DACBBCDAFEXYZ例6:如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1/3=a,E、F分別是BB1、CC1上的點,且BE=a,CF=2a。求證:面AEF
面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防設(shè)a=2,則A(0,0,0),B(
3,1,0),C(0,2,0),E(3,1,2),F(xiàn)(0,2,4),AE=(3,1,2)AF=(0,2,4),因為,x軸面ACF,所以可取面ACF的法向量為m=(1,0,0),設(shè)n=(x,y,z)是面AEF的法向量,則x{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0
{x=0y=-2z
令z=1得,n=(0,-2,1)顯然有mn=0,即,mn面AEF面ACF證明:如圖,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,ADCB⑴求證:平面MNC⊥平面PBC;⑵求點A到平面MNC的距離。已知ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=a,AD=,M、N分別是AD、PB的中點。PMN練習(xí)1ABCDMXYZABCDMGXYZABCFEDXYZABCFEDXZABCFEDXYZ小結(jié):
利用向量的有關(guān)知識解決一些立體幾何的問題,是近年來很“熱”的話題,其原因是它把有關(guān)的“證明”轉(zhuǎn)化為“程序化的計算”。本課時講的內(nèi)容是立體幾何中的證明“線面平行、垂直”的一些例子,結(jié)合我們以前講述立體幾何的其他問題(如:求角、求距離等),大家從中可以進一步看出基中一些解題的“套路”。
利用向量解題的關(guān)鍵是建立適當?shù)目臻g直角坐標系及寫出有關(guān)點的坐標。用代數(shù)的方法解決立體幾何問題是立體幾何的發(fā)展趨勢,而向量是用代數(shù)的方法解決立體幾何問題的主要工具,故,學(xué)會用向量法解立體幾何問題是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)。DCBAD1C1B1A1PFE作業(yè):1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是A1D1
、
BB1的中點,問:在邊CC1上是否存在一點P,使A1C∥平面EFP?若存在,求出P的位置;若不存在,請說明理由。NMPDCBA2.
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