復(fù)變函數(shù)第11講

復(fù)變函數(shù)

第11講本文件可從網(wǎng)址上下載1第五章留數(shù)§1孤立奇點(diǎn)2函數(shù)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn).

如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn).34將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點(diǎn)作分類.51.可去奇點(diǎn)如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負(fù)冪項,則孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的可去奇點(diǎn).

這時,f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù):

c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....

因此,這個冪級數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù),且當(dāng)z

z0時,F(z)=f(z);當(dāng)z=z0時,F(z0)=c0.由于6所以不論f(z)原來在z0是否有定義,如果令f(z0)=c0,則在圓域|z-z0|<d內(nèi)就有

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.由于這個原因,所以z0稱為可去奇點(diǎn).782.極點(diǎn)如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負(fù)冪項,且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為

(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),

則孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點(diǎn).上式也可寫成其中g(shù)(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.9反過來,當(dāng)任何一個函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式,且g(z0)0時,則z0是f(z)的m級極點(diǎn).

如果z0為f(z)的極點(diǎn),由(5.1.1)式,就有103.本性奇點(diǎn)如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個z-z0的負(fù)冪項,則孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的本性奇點(diǎn).中含有無窮多個z的負(fù)冪項.11在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),函數(shù)f(z)有以下的性質(zhì)(證明從略):如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn),則對任意給定的復(fù)數(shù)A,總可以找到一個趨向于z0的數(shù)列,當(dāng)z沿這個數(shù)列趨向于z0時,f(z)的值趨向于A.例如,給定復(fù)數(shù)A=i,我們把它寫成12綜上所述我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型.134.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成

f(z)=(z-z0)mj(z), (5.1.2)

其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m為某一正整數(shù),則z0稱為f(z)的m級零點(diǎn).

例如當(dāng)f(z)=z(z-1)3時,z=0與z=1是它的一級與三級零點(diǎn),根據(jù)這個定義,我們可以得到以下結(jié)論:

如f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m級零點(diǎn)的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0(5.1.3)14這是因為,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數(shù):

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+...

易證z0是f(z)的m級極點(diǎn)的充要條件是前m項系數(shù)c0=c1=...=cm-1=0,cm0,

這等價于

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0(5.1.3)

例如z=1是f(z)=z3-1的零點(diǎn),由于

f'(1)=3z2|z=1=30,從而知z=1是f(z)的一級零點(diǎn).15由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.161718由此,當(dāng)z

z0時,得而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,所以z0是f(z)的m級極點(diǎn). [證畢]這個定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個較為簡單的方法.1920215.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)如果函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析,稱點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn).2223規(guī)定,如果t=0是j(t)的可去奇點(diǎn),m級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則稱點(diǎn)z=是f(z)的可去奇點(diǎn),m級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).

由于f(z)在R<|z|<+內(nèi)解析,所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù),根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R<|z|<+內(nèi)繞原點(diǎn)任何一條簡單正向閉曲線24如果在級數(shù)(5.1.6)中i)不含負(fù)冪項,ii)含有有限多的負(fù)冪項,且t-m為最高冪,iii)含有無窮多的負(fù)冪項,則t=0是j(t)的i)可去奇點(diǎn),ii)m級極點(diǎn),iii)本性奇點(diǎn).25因此,在級數(shù)(5.1.5)中,

i)不含正冪項;

ii)含有限多的正冪項,且zm為最高冪;

iii)含有無窮多的正冪項;

則z=是f(z)的

i)可去奇點(diǎn);

ii)m級極點(diǎn);

iii)本性奇點(diǎn).26272829例2函數(shù)在擴(kuò)充平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的極.[解]易知,函數(shù)f(z)除使分母為零的點(diǎn)z=0,1,2,…外,在|z|<+內(nèi)解析.由于(sinpz)'=pcospz在z=0,1,2,…處均不為零,因此這些點(diǎn)都是sinpz的一級零點(diǎn),從而是(sinpz)3的三級零點(diǎn).所以這些點(diǎn)中除去1,-1