高二數(shù)學(xué)選修絕對值三角不等式_第1頁
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書山有路勤為徑,學(xué)海無崖苦作舟少小不學(xué)習(xí),老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感,百分之九十九的汗水!天才在于勤奮,努力才能成功!1/1/2024絕對值三角不等式Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.(一)絕對值的定義:

對任意實數(shù)a,

復(fù)習(xí)Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.問題我們已學(xué)過積商絕對值的性質(zhì),哪位同學(xué)能回答?或.當時,有:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.(二)絕對值的幾何意義:

實數(shù)a的絕對值|a|,表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點的距離(圖1)。

如:|-3|或|3|在數(shù)軸上分別等于點A或點B到坐標原點的距離。|a|OAxEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

由絕對值的幾何意義可知,A、B之間的點與坐標原點的距離小于3,可表示為:

即實數(shù)x對應(yīng)的點到坐標原點的距離小于3Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

同理,與原點距離大于3的點對應(yīng)的實數(shù)可表示為:

如圖Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

設(shè)a,b是任意兩個實數(shù),那么|a-b|的幾何意義是什么?x|a-b|abABEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.探究

用恰當?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|,|b|,|a+b|表示出來,你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關(guān)系?

定理1

如果a,b是實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時,等號成立。絕對值三角不等式Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

如果把定理1中的實數(shù)a,b分別換為向量,能得出什么結(jié)論?你能解釋其幾何意義嗎?探究?(1)當不共線時有(2)當共線且同向時有絕對值三角不等式Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.如何證明定理1?探究

你能根據(jù)定理1的研究思路,探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|之間的其它關(guān)系嗎?|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|結(jié)論:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.注意:1

左邊可以“加強”同樣成立,即

2

這個不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊3

同號時右邊取“=”,

異號時左邊取“=”推論1:

推論2:證明:在定理中以

即:

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.定理探索當時,顯然成立,當時,要證只要證,即證而顯然成立.

從而證得.

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.定理探索還有別的證法嗎?

由與,得.用可得什么結(jié)論?當我們把看作一個整體時,上式逆Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.定理探索證明嗎?能用已學(xué)過得的可以表示為

即即.就是含有絕對值不等式的重要定理,

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例題求證.例2

已知,證明:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例題例3

求證.證明:在時,顯然成立.當時,左邊

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.練習(xí)②已知求證.1.①已知,求證.②.①;2.已知,求證:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.①②由①,②,③得,③Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.課堂練習(xí):Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.作業(yè)P20:1,2,3,4,Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2

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