二,隨機(jī)變量的數(shù)字特征

二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征A如果A為向量，則返回值為該向量的平均值；如果A是矩陣，則返回值是每列的平均值。dimdim=1（默認(rèn)）表示每列平均，dim=2表示每行平均。（一）計(jì)算平均值調(diào)用方式M=mean(A)

mean(A,dim)輸入?yún)?shù)在Matlab中計(jì)算幾何平均數(shù)的函數(shù)為geomean；計(jì)算調(diào)和平均數(shù)的函數(shù)是harmmean

函數(shù)，調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式是注意樣本數(shù)據(jù)不能為0。

>>a=[12;34];a=1234下面是一個例子。>>mean(a)ans=23>>mean(a,2)ans=1.50003.5000（二）剔除異常值后的平均值X樣本觀察矩陣。percent剔除比率，例如percent＝10表示同時剔除最大的5%和最小的5％觀察值

。

dimdim＝1（默認(rèn)）表示對每列求平均值，dim＝2表示對每行求平均值。有時觀察數(shù)據(jù)中有異常大或異常小的值，這些異常值會對平均值產(chǎn)生影響，需要去掉異常值。例如在體操比賽中，去掉一個最高分和最低分，然后計(jì)算運(yùn)動員的最后得分。在Matlab中也有剔除異常值后的平均數(shù)。調(diào)用方式M=trimmean(X,percent)M=trimmean(X,percent,dim)輸入?yún)?shù)>>x=rand(1,20)>>trimmean

（x,10）ans=0.5145（三）計(jì)算中位數(shù)A樣本觀測矩陣dimdim＝1（默認(rèn)）表示對每列求中位數(shù)，dim＝2表示對每行求中位數(shù)剔除10％的異常值之后的平均數(shù)為0.5145。調(diào)用方式M＝median（A）M＝median（A，dim）輸入?yún)?shù)有時數(shù)據(jù)中出現(xiàn)NaN，在計(jì)算中位數(shù)時需要忽略NaN，這時需要調(diào)用nanmedian函數(shù)。（四）計(jì)算方差與標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)樣本值flag0（默認(rèn)值）表示方差計(jì)算公式為

1表示方差計(jì)算公式為一般說來，資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)越大，方差越大，波動性越大。方差由于其簡單、直觀以及良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)使其成為風(fēng)險(xiǎn)的代名詞。在Matlab中計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)分別是Var、Std。方差調(diào)用方式

Var(A)

Var(A，flag)標(biāo)準(zhǔn)差調(diào)用方式Std（A）Std（A,flag）輸入?yún)?shù)（五）計(jì)算樣本的百分位數(shù)>>x=rand(1,20);>>prctile(x,20)ans=0.1688調(diào)用方式Y(jié)＝prctile（X，p，dim）輸入?yún)?shù)X觀察值p計(jì)算大于p％值的數(shù)dim同上下面是一個例子（六）計(jì)算樣本極差r=range(q)r=range(q,dim)極差就是樣本極大值與極小值的差，反映樣本的離散程度。調(diào)用方式>>x=rand(1,20);>>range(x)ans=0.8404下面是一個例子（七）計(jì)算偏度與峰度

方差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)并不是完整的。比如講，兩種資產(chǎn)收益分布的均值和方差都是相同的，但是一種資產(chǎn)收益是左偏的，另一種是右偏的。對于風(fēng)險(xiǎn)而言，相對于大概率和小損失人們更加厭惡小概率大損失的情況，后一種情況給人們帶來的痛苦遠(yuǎn)大于第一情況。從這個意義上講，收益分布左偏的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)水平要小于右偏的資產(chǎn)。此時，方差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)就不是完全的，還要考慮峰度、偏度等指標(biāo)。偏度和峰度是兩個高階的統(tǒng)計(jì)量。計(jì)算偏度的目的在于考察組合收益率水平是否是對稱分布，也就是組合產(chǎn)生虧損與獲得盈利的概率如何；峰度是考察組合的收益率情況是否接近正態(tài)分布，如果組合的收益率存在尖峰厚尾的分布特征，則說明組合產(chǎn)生虧損和盈利的概率偏大，也就是在一定程度上認(rèn)為組合收益率出現(xiàn)極端性的可能性偏大，這種組合的收益率穩(wěn)定性是比較差的。

正態(tài)分布的峰度等于3，大于3表示尖峰，小于3表示分布比較均勻。股票市場收益率的時間序列大都為尖峰肥尾。偏度的計(jì)算公式為式中：μ，σ分別為樣本x的均值與方差。如果skewness＝0，則表示分布形態(tài)與正態(tài)分布偏度相同；如果skewness>0，則表示正偏差數(shù)值較大，長尾巴拖在右邊；如果skeqness<0，則表示負(fù)偏差數(shù)值較大，長尾巴拖在左邊。

峰度的計(jì)算公式為>>x=rand(1,20);>>skewness(x)ans=-0.04871.計(jì)算偏度調(diào)用方式Y(jié)=skewness(A)Y=skewness(A,flag)輸入?yún)?shù)A樣本值flag偏度的計(jì)算方式，0（默認(rèn)）為無偏估計(jì)，1為有偏估計(jì)下面是一個例子。k=kurtosis(X)k=kurtosis(X,flag)k=kurtosis(X,flag,dim)2.計(jì)算峰度調(diào)用方式X樣本觀察矩陣flag峰度的計(jì)算方式，0（默認(rèn)）為無偏估計(jì)，1為有偏估計(jì)dimdim＝1（默認(rèn)）表示對每列求平均，dim＝2表示對每行求平均輸入?yún)?shù)>>x=rand(1,20)>>kurtosis(x)ans=1.4407下面是一個例子。（八）計(jì)算絕對離差絕對離差是以偏差絕對數(shù)來衡量決策方案的風(fēng)險(xiǎn)。在期望值相同的情況下，絕對離差越大，風(fēng)險(xiǎn)越大；絕對離差越小，風(fēng)險(xiǎn)越小。調(diào)用方式Y(jié)=mad(X)Y=mad(X,n)輸入?yún)?shù)X觀察值n絕對偏差計(jì)算方式n＝0（默認(rèn)）計(jì)算公式為mean(abs(X－mean(X)))n＝1計(jì)算公式為median(abs(X－median(X)))>>x=rand(1,20)>>mad(x)ans=0.1750下面是一個絕對離差的例子。（九）計(jì)算中心矩?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用到中心矩的概念，k階中心矩的計(jì)算公式為可以看出1階中心矩為0，如果觀察值是矩陣則以每列為樣本計(jì)算中心矩。X觀察樣本值order中心矩的階數(shù)，必須為正整數(shù)調(diào)用方式M=moment(X,order)輸入?yún)?shù)>>X=rand([65])X=0.41540.99010.32000.43990.13380.30500.78890.96010.93340.20710.87440.43870.72660.68330.60720.01500.49830.41200.21260.62990.76800.21400.74460.83920.37050.97080.64350.26790.62880.5751>>m=moment(X,3)m=-0.01130.00140.0032-0.0058-0.0023下面計(jì)算樣本的3階矩。（十）計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差是一個用于衡量投資組合任意兩個資產(chǎn)相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。當(dāng)協(xié)方差為正值時，表示兩種資產(chǎn)的收益率呈同方向變動；協(xié)方差為負(fù)值時，表示兩種資產(chǎn)的收益率呈相反方向變化；協(xié)方差等于0時，表示兩種資產(chǎn)不存在相關(guān)性。

相關(guān)系數(shù)總是在-1～1之間的范圍內(nèi)變動，-1表示完全負(fù)相關(guān)（反向），1表示完全正相關(guān)（同向），0則表示不相關(guān)。Matlab計(jì)算協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的函數(shù)分別是cov

和

corrcoef

。協(xié)方差調(diào)用方式C=cov(X)C=cov(x,y)下面是一個例子>>A=[-112;-231;403];>>cov(A)ans=10.333-4.16673.0000-4.16672.3333-1.50003.0000-1.50001.0000X觀察值矩陣Y觀察向量param1參數(shù)1，參數(shù)的值如下：alpha表示置信度，在0～1之間val1參數(shù)1的值param2參數(shù)2val2參數(shù)2的值2.相關(guān)系數(shù)調(diào)用方式R=corrcoef(X)R=corrcoef(x,y)[R,P]=corrcoef(X,'param1',val1,'param2',val2,…)輸入?yún)?shù)R相關(guān)系數(shù)矩陣P每個相關(guān)