第03講-絕對(duì)值(學(xué)生版)A4

第03講絕對(duì)值絕對(duì)值一．非負(fù)性絕對(duì)值的定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作．絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．即：對(duì)于一個(gè)數(shù)a，絕對(duì)值具有非負(fù)性．即對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，總有．如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0．例如：若，則，，．二．絕對(duì)值的幾何意義絕對(duì)值的幾何意義：數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．即的幾何意義就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．推而廣之：代數(shù)式的幾何意義就是數(shù)軸上數(shù)x、數(shù)a所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．一．考點(diǎn)：絕對(duì)值的非負(fù)性、絕對(duì)值的幾何意義．二．重難點(diǎn)：絕對(duì)值的非負(fù)性、絕對(duì)值的幾何意義．易錯(cuò)點(diǎn)：1．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，一定不小于它本身，也不小于它的相反數(shù)．即對(duì)于任意有理數(shù)a，總有，．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的絕對(duì)值．即對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，．乘積的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的乘積，商的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的商．即對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，，．絕對(duì)值內(nèi)的非負(fù)因數(shù)或因式可以直接提到絕對(duì)值號(hào)外面．例如：，．題模一：非負(fù)性例1.1.1﹣2的絕對(duì)值是（）A．﹣2B．﹣C．2D．例1.1.2已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是4，則這個(gè)數(shù)是．例1.1.3若，則的取值范圍是()A．B．C．D．例1.1.4當(dāng)1＜a＜2時(shí)，代數(shù)式|a﹣2|+|1﹣a|的值是（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3例1.1.5若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，則（m+n）2=____或____（按從小到大順序填寫(xiě)）．例1.1.6已知，求、、的值.題模二：絕對(duì)值的幾何意義例1.2.1如果a，b，c，d為互不相等的有理數(shù)，且，那么__________．例1.2.2（1）的幾何意義是數(shù)軸上表示____的點(diǎn)與____之間的距離；_____（選填“”，“”或“”）（2）的幾何意義是數(shù)軸上表示____的點(diǎn)與表示____的點(diǎn)之間的距離，若，則__________（3）的幾何意義是數(shù)軸上表示____的點(diǎn)與表示____的點(diǎn)之間的距離，若，則__________（4）數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離可表示為_(kāi)_________例1.2.3如果對(duì)于某一給定范圍內(nèi)的值，為定值，則此定值為_(kāi)_______，此時(shí)x的取值范圍是___________隨練1.1若|a|=﹣a，則實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在（）A．原點(diǎn)左側(cè)B．原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè)C．原點(diǎn)右側(cè)D．原點(diǎn)或原點(diǎn)右側(cè)隨練1.2的絕對(duì)值是（）A．B．C．2D．隨練1.3若（a-2）2+|b-1|=0，則（b-a）2012的值是（）A．-1B．0C．1D．2012隨練1.4式子取最小值時(shí)，x等于（）A．0B．1C．2D．3隨練1.5若x=a，且2<a<3，則|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|=______.隨練1.6探究題：（1）比較下列各式的大?。篲_____，______，______．（2）通過(guò)（1）的比較，請(qǐng)你分析，歸納出當(dāng)a、b為有理數(shù)時(shí)，與的大小關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中你得出的結(jié)論，求當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍．絕對(duì)值綜合一．利用代數(shù)意義去絕對(duì)值號(hào)化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的式子，關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)．先根據(jù)題設(shè)所給的條件，判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)a（或式子a）的正負(fù)（即，還是）；然后根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義去掉絕對(duì)值符號(hào)．如：計(jì)算_____________．由于，所以，根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義，應(yīng)有．注意：去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，應(yīng)將絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)（或式子）看做一個(gè)整體，并注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．當(dāng)題目中沒(méi)有明確指出未知數(shù)的取值范圍時(shí)，則需要將所有情況都分類列舉出來(lái)．例如，計(jì)算：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．二．利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值號(hào)對(duì)于含多個(gè)絕對(duì)值的情況，我們往往用零點(diǎn)分段法計(jì)算化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)．第一個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部為，當(dāng)時(shí)第一個(gè)絕對(duì)值為零；第二個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部為，當(dāng)時(shí)第二個(gè)絕對(duì)值為零．我們將、稱為是零點(diǎn)，這兩個(gè)零點(diǎn)將整個(gè)數(shù)軸分為三部分（如圖），我們對(duì)這三個(gè)部分進(jìn)行分類討論．當(dāng)時(shí)，、均為負(fù)值，于是；當(dāng)時(shí)，為非負(fù)值、為負(fù)值，于是；當(dāng)時(shí)，、均為非負(fù)值，于是．零點(diǎn)是我們分類的依據(jù)，因?yàn)檫@些零點(diǎn)確定了每個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部的正、負(fù)．零點(diǎn)分段法的一般步驟：找零點(diǎn)、分區(qū)間、定符號(hào)、去絕對(duì)值符號(hào)．即先令各絕對(duì)值式子為零，求得若干個(gè)絕對(duì)值為零的點(diǎn)，在數(shù)軸上把這些點(diǎn)標(biāo)出來(lái)，這些點(diǎn)把數(shù)軸分成若干部分，再在各部分內(nèi)化簡(jiǎn)求值．三．絕對(duì)值的最值問(wèn)題的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)、數(shù)兩點(diǎn)的距離之和，其中數(shù)、數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為數(shù)軸上的一個(gè)定點(diǎn)，數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可以在數(shù)軸上移動(dòng)．絕對(duì)值的最值問(wèn)題，用零點(diǎn)分段法可以解決，但是會(huì)比較繁瑣，而采用數(shù)形結(jié)合的方法，運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義求解，往往能取得事半功倍的效果．如計(jì)算的最小值．（1）將使兩個(gè)絕對(duì)值分別為時(shí)的值標(biāo)在數(shù)軸上（如圖），數(shù)軸被分為個(gè)區(qū)域；（2）假設(shè)代表動(dòng)點(diǎn)的點(diǎn)（圖中小黑球）從左到右在數(shù)軸上移動(dòng)，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，我們可將所求表示為兩條線段的和，即．（3）在個(gè)區(qū)域中分別畫(huà)出線段并比較，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，兩線段和最小，為定值．若將題目改為計(jì)算的最小值．我們使用相同的方法進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)時(shí)取得最小值，而不再是在一個(gè)范圍內(nèi)取得最小值了．經(jīng)過(guò)總結(jié)歸納我們發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律：①對(duì)于代數(shù)式：（）：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在處取最小值，即在個(gè)點(diǎn)的中心點(diǎn)處；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在區(qū)域取最小值，即數(shù)軸被個(gè)點(diǎn)分成段的中心區(qū)域．②對(duì)于代數(shù)式的最值問(wèn)題，我們先將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為特殊形式：（），然后通過(guò)上述方法求解．如：．一．考點(diǎn)：絕對(duì)值的化簡(jiǎn)和求最值．二．重難點(diǎn)：絕對(duì)值的化簡(jiǎn)和求最值．三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．在進(jìn)行有理數(shù)絕對(duì)值的求解和化簡(jiǎn)時(shí)，常因?qū)?wèn)題分析不全面而出現(xiàn)錯(cuò)解漏解的現(xiàn)象．題模一：絕對(duì)值的化簡(jiǎn)與計(jì)算例2.1.1如圖，數(shù)軸上，，，四點(diǎn)所表示的數(shù)分別為,,,,且為原點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)位置判斷之值與下列何者不同（）A．B．C．D．例2.1.2有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則式子化簡(jiǎn)后的結(jié)果為_(kāi)_____。例2.1.3有理數(shù)，，，滿足，求的值．例2.1.4用零點(diǎn)分段法化簡(jiǎn)：例2.1.5化簡(jiǎn)：例2.1.6用零點(diǎn)分段法化簡(jiǎn)：例2.1.7化簡(jiǎn)：．題模二：絕對(duì)值最值問(wèn)題例2.2.1計(jì)算下列式子的最小值：（1）（2）例2.2.2計(jì)算下列式子的最小值：（1）（2）（3）（4）例2.2.3已知，求取何值時(shí)的最大值與最小值．例2.2.4閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為．當(dāng)、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)在原點(diǎn),如圖甲，;當(dāng)、兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，如圖乙,點(diǎn)、都在原點(diǎn)的右邊，；如圖丙,點(diǎn)、都在原點(diǎn)的左邊，如圖丁,點(diǎn)、在原點(diǎn)的兩邊．綜上,數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離（1）當(dāng)在何范圍，有最大值，并求出最大值；（2）當(dāng)在何范圍，有最大值，并求出它的最大值；（3）的最大值為_(kāi)_______（直接寫(xiě)出結(jié)果）．隨練2.1有理數(shù)a、b、c表示的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則（）A．B．C．D．隨練2.2若，，那么等于________隨練2.3已知，且a、b、c都不等于0，求S的所有可能值．隨練2.4用零點(diǎn)分段法化簡(jiǎn)：隨練2.5計(jì)算下列式子的最小值：（1）； （2）．隨練2.6已知且，求最小值與最大值．作業(yè)1已知有理數(shù)x，y滿足，則______.作業(yè)2的絕對(duì)值是（）A．B．C．D．作業(yè)3數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是5、﹣3，它們之間的距離可以表示為（）A．﹣3+5B．﹣3﹣5C．|﹣3+5|D．|﹣3﹣5|作業(yè)4若實(shí)數(shù)a滿足a-|a|=2a，則（）A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)＜0C．a(chǎn)≥0D．a(chǎn)≤0作業(yè)5使等式成立的有理數(shù)x是（）A．任意一個(gè)正數(shù)B．任意一個(gè)非正數(shù)C．小于1的有理數(shù)D．任意一個(gè)有理數(shù)作業(yè)6已知有理數(shù)x，y滿足，則______.作業(yè)7若，則x的取值范圍是________________；作業(yè)8（1）若，則a-b的值為_(kāi)____（2）若，且a<b，則a-b的值為_(kāi)____作業(yè)9若，求的取值范圍．作業(yè)10如果，那么的值為（）A．B．1C．D．不確定作業(yè)11已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，那么代數(shù)式的化簡(jiǎn)結(jié)果是_________作業(yè)12對(duì)于任意的有理數(shù)x，的最小值為_(kāi)___，取得最小值時(shí)x的值為作業(yè)13三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，

求的值作業(yè)14已知：，，……，都是不等于0的有理數(shù)，請(qǐng)你探究以下問(wèn)題（1）若，則__________；（2）若，則_________；（3）若，則；（4）由以上探究可知，若，則共有_________個(gè)不同的值；在這些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于_______，的這些所有不同的值的絕對(duì)值之和等于_________。作業(yè)15小紅和小明在研究絕對(duì)值的問(wèn)題