應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法的綜述

應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法的綜述摘要：應(yīng)力強(qiáng)度因子是結(jié)構(gòu)斷裂分析中的重要物理量，計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法主要有數(shù)學(xué)分析法、有限元法、邊界配置法以及光彈性法。本文分別介紹了上述幾種方法求解的原理和過(guò)程，并概述了近幾年來(lái)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的新方法，廣義參數(shù)有限元法，利用G*積分理論求解，單元初始應(yīng)力法，區(qū)間分析方法，擴(kuò)展有限元法，蒙特卡羅方法，樣條虛邊界元法，無(wú)網(wǎng)格—直接位移法，半解析有限元法等。關(guān)鍵詞：斷裂力學(xué)；應(yīng)力強(qiáng)度因子；斷裂損傷；SolutionMethodsforStressIntensityFactorofFractureMechanicsShuanglinLU(HUANGSHIPowerSurvey&DesignLtd.)Abstract:Thesolutionmethodsforstressintensityfactoroffracturemechanicswasreviewed,whichincludemathematicalanalysismethod,finiteelementmethod,boundarycollocationmethodandphotoelasticmethod.Theprinciplesandprocessesofthosemethodswereintroduced,andthecharacteristicsofeachmethodwerealsosimplyanalyzedinthispaper.Keywords:fracturemechanics;stressintensityfactors0引言斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)理論最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的斷裂現(xiàn)象時(shí)，認(rèn)為裂紋的存在及傳播是造成斷裂的原因。裂紋的擴(kuò)展過(guò)程,從能量的觀點(diǎn)來(lái)看,存在著兩種完全對(duì)抗的因素：一種是阻止裂紋擴(kuò)展的因素，另一種是推動(dòng)裂紋擴(kuò)展的因素。Griffith由此建立了材料的脆性斷裂判據(jù)[1]：(1)在(1)式中：—斷裂應(yīng)力；E—材料的彈性模量；—材料的表面能；a—裂紋長(zhǎng)度的一半。Griffith判據(jù)并不能完全成功地應(yīng)用于金屬斷裂問(wèn)題。1949年,Orowan考慮到裂紋釋放的應(yīng)變能不僅轉(zhuǎn)化成表面能，也同時(shí)轉(zhuǎn)化成使裂紋頂附近材料發(fā)生塑性變形所需要的功。因此，Orowan對(duì)Griffith判據(jù)進(jìn)行修正并得到了具有塑性變形的金屬材料的斷裂判據(jù)[1]：(2)在(2)式中：—斷裂應(yīng)力；E—材料的彈性模量；為塑性功；a—裂紋長(zhǎng)度的一半。1975年，Irwin認(rèn)為裂紋是脆性斷裂破壞的要害，而裂紋頂端區(qū)域的應(yīng)力場(chǎng)又是其中的核心。從(1)、(2)可以看出：是一個(gè)常數(shù)，也就是說(shuō)與載荷條件、式樣尺寸、裂紋大小毫不相干，是只由材料的固有性質(zhì)決定的不變值。當(dāng)大于這個(gè)值時(shí)裂紋就快速擴(kuò)展，因而，這個(gè)常數(shù)才真正代表了材料對(duì)斷裂的抵抗能力。于是，Irwin對(duì)應(yīng)提出了一個(gè)嶄新的物理量—應(yīng)力強(qiáng)度因子。由裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變的表達(dá)式[2]可以看出：裂紋尖端附近各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移均由應(yīng)力強(qiáng)度因子K唯一確定，因此，如何計(jì)算K值是斷裂力學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。目前，對(duì)于無(wú)限體中的簡(jiǎn)單裂紋和有限邊界的貫穿裂紋，確定K值的主要方法有：數(shù)學(xué)分析、數(shù)值計(jì)算、試驗(yàn)標(biāo)定以及光彈性法等。1數(shù)學(xué)分析法1.1復(fù)變函數(shù)法對(duì)于平面彈性問(wèn)題，利用復(fù)變函數(shù)能夠很方便的求得裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)。在文獻(xiàn)[2]中詳細(xì)給出了針對(duì)型裂紋，利用威斯特葛爾德(Westergaard)應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量的過(guò)程，最后得到各應(yīng)力分量的表達(dá)式為：(3)根據(jù)(3)式可以由胡克定律得到應(yīng)變分量，然后再根據(jù)應(yīng)變與位移之間的關(guān)系式可以得到位移分量的表達(dá)式。由上所述可以看出，只要知道了ZI函數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都可以求出來(lái)了。因此，用復(fù)變函數(shù)法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的思想就是，針對(duì)不用的裂紋情況構(gòu)造出滿(mǎn)足相應(yīng)邊界條件的復(fù)變解析函數(shù)，并由此復(fù)變函數(shù)求得裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，最后由應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式求得K值。復(fù)變函數(shù)法在彈性平面問(wèn)題的應(yīng)用中比較方便，但對(duì)于彈塑性或三維空間問(wèn)題，該方法就不再實(shí)用，其主要原因是構(gòu)造滿(mǎn)足邊界條件的復(fù)變函數(shù)很困難。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]中給出了利用復(fù)變函數(shù)法求解正交各向異性含內(nèi)部裂紋板、帶單裂紋無(wú)限平板中作用有集中力和力矩以及帶單裂紋無(wú)限彈性體作用有縱向集中力等情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法。1.2積分變換法彈性理論已經(jīng)證明，常體力下彈性平面問(wèn)題存在應(yīng)力函數(shù)，稱(chēng)為Airy應(yīng)力函數(shù)，為雙調(diào)和函數(shù)[5]。對(duì)于平面問(wèn)題，可用LaplaceTransform和FourierTransform來(lái)解答應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度因子。鑒于求解方程為4Ψ=0（Ψ為Airy應(yīng)力函數(shù)）很困難，故可考慮FourierTransform來(lái)解斷裂力學(xué)問(wèn)題。首先對(duì)Ψ取Fourier變換，記為，即：(4)于是，應(yīng)滿(mǎn)足方程：(5)用降階法可以求出方程(5)的通解為：(6)由(6)式結(jié)果來(lái)求解應(yīng)力分量如下：(7)其相應(yīng)的位移場(chǎng)為：(8)經(jīng)過(guò)反演分析即可得出Ψ以及σ，μ等全部場(chǎng)量。如用Fourier變換仍求解橢圓形裂縫問(wèn)題得KI，則由：(9)一旦兩個(gè)材料參數(shù)m、s確定，則KⅠ、KⅡ的數(shù)值可以根據(jù)下列公式十分容易地求得：(10)在式(10)中：σ為材料的抗壓強(qiáng)度；l為裂紋長(zhǎng)度。2邊界配置法由彈性力學(xué)可知，二維彈性力學(xué)問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)為雙調(diào)和函數(shù)，即滿(mǎn)足微分方程式：。當(dāng)裂紋表面滿(mǎn)足邊界條件，，時(shí)，有Williams無(wú)窮級(jí)數(shù)的應(yīng)力函數(shù)[6,7]：(11)其中：(12)在(12)式中：為偶函數(shù)部分，相當(dāng)于Ⅰ型裂紋里對(duì)稱(chēng)加載；為奇函數(shù)部分，相當(dāng)于Ⅱ型裂紋里反對(duì)稱(chēng)加載。應(yīng)用復(fù)應(yīng)力強(qiáng)度因子公式：(13)注意到(12)式中的Cj=-Cj/2=-Cn以及Dj=-Dj/2=-Dn，因此有，Cj/2-C1和Dj/2-D1故有：(14)即：(15)因此，要計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ、KⅡ，則先要求解(12)式。為此，需要由邊界條件建立含有Ci、Di的線性方程組，求解此方程組以確定系數(shù)C1、D1。由彈性力學(xué)可知，彈性力學(xué)問(wèn)題的解必須滿(mǎn)足平衡條件和邊界條件。這里，在邊界上取2m個(gè)配置點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)配置點(diǎn)i可以提出兩個(gè)邊界條件：(16)在(16)式中：，分別為含裂紋體的應(yīng)力函數(shù)及其法向偏導(dǎo)數(shù)；，分別為非裂紋體的應(yīng)力函數(shù)及其法向偏導(dǎo)數(shù)。因此，對(duì)于2m個(gè)配置點(diǎn)便可以建立4m個(gè)類(lèi)似的邊界條件，由4m個(gè)方程式組成線性方程組。解此線性方程組即可求得4m個(gè)未知量的值。采用邊界配置法就是將(11)式或(12)式截?cái)?，然后由邊界上?m個(gè)配置點(diǎn)處4m個(gè)邊界條件去確定其中的4m個(gè)待定常數(shù)Cj、Dj，把問(wèn)題歸結(jié)于求解4m個(gè)線性方程組，用計(jì)算機(jī)及程序計(jì)算很方便。3有限元法隨著有限元法的發(fā)展，有限元在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用越來(lái)越普及。近些年，計(jì)算機(jī)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，很多大型通用軟件，如ANSYS、ADINA以及MSC/Nastran等都具有計(jì)算各算各種斷裂參數(shù)的功能，因此利用有限元計(jì)算斷裂力學(xué)中的應(yīng)力強(qiáng)度因子也得到廣泛的應(yīng)用。構(gòu)件中的裂紋可以抽象為二維或三維模型，如圖1所示。求解斷裂力學(xué)問(wèn)題的步驟包括先進(jìn)行彈性或彈塑性靜力分析，然后用特殊的后處理命令或宏命令計(jì)算所需的斷裂參數(shù)。在有限元中主要采用1/4法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。根據(jù)縣彈性斷裂理論，裂紋尖端的位移場(chǎng)可以表示為[7]：(17)在(17)式中：u、v和w為對(duì)應(yīng)于裂紋尖端局部坐標(biāo)的位移；r和θ是計(jì)算點(diǎn)在局部柱坐標(biāo)的坐標(biāo)值；G是剪切模量,v是泊松比；對(duì)于平面應(yīng)力，而對(duì)于平面應(yīng)變。、和分別為Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子；0(r)是高階無(wú)窮小量。根據(jù)公式(17),如果裂紋表面(θ=±180°)某一點(diǎn)垂直于裂紋平面的位移已知，可以導(dǎo)出對(duì)稱(chēng)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式：圖1裂紋的二維和三維模型(18)對(duì)于非對(duì)稱(chēng)裂紋體,其應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式為：(19)在(19)式中：Δu、Δv和Δw分別為兩個(gè)裂紋面之間的相對(duì)位移。由于裂紋尖端的應(yīng)力和應(yīng)變是奇異的,因此在進(jìn)行有限單元建模或單元網(wǎng)格劃分時(shí),必須先在裂紋尖端位置定義應(yīng)變奇異點(diǎn),而且圍繞裂紋定點(diǎn)的有限單元是二項(xiàng)式的奇異單元,它是把單元邊上的中間點(diǎn)放到1/4邊處。圖2所示為ANSYS的2-D和3-D模型中所采用的奇異單元。圖2裂紋尖端的奇異單元應(yīng)用有限元方法計(jì)算裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子,關(guān)鍵是要建立一個(gè)能夠反映裂紋體特征的共線(共面)的裂紋幾何模型,并確定裂紋尖端的局部坐標(biāo)。在劃分裂紋尖端附近的幾何體時(shí),必須選用具有奇異特征的單元。在完成靜力學(xué)計(jì)算后,才能計(jì)算裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]中的計(jì)算結(jié)果表明，應(yīng)用有限元分析軟件計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子與斷裂力學(xué)求得的應(yīng)力強(qiáng)度因子非常相近，因此，利用有限元計(jì)算材料的斷裂強(qiáng)度因子是可行的。4光彈性法由于光彈性法可以確定光彈性模型在裂紋尖端附近的應(yīng)力變化規(guī)律，因此提供了用實(shí)驗(yàn)方法確定裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子K的基礎(chǔ)[11]。利用透光材料制成含裂紋的試件，用激光光源照射，由于實(shí)時(shí)全息干涉原理，在照片上可以看到一組以裂紋尖端為中心的明暗交替的條紋?？梢宰C明：條紋中光的強(qiáng)度和試件的主應(yīng)力、間的關(guān)系如下：(20)在(20)式中：是材料的應(yīng)力—光學(xué)常數(shù)；是光的波長(zhǎng)；是光波振幅；是光的強(qiáng)度。因?yàn)槌霈F(xiàn)暗條紋的條件是，即：也就是：(21)引進(jìn)常量m，它與條紋序數(shù)N的關(guān)系為：，因此：(22)對(duì)于張開(kāi)型裂紋，在裂紋延長(zhǎng)線上()，由裂紋尖端應(yīng)力分量的表達(dá)式可看出xy=0，因?yàn)樵诹鸭y上的剪應(yīng)力為0，所以σx和σy就是主應(yīng)力σ1和σ2。因此，由裂紋尖端應(yīng)力分量的表達(dá)式可得：(23)由于(23)式是在雙向應(yīng)力σ作用下導(dǎo)出來(lái)的，為了得到單項(xiàng)拉伸下的應(yīng)力場(chǎng)公式，可在x方向疊加一套應(yīng)力，，，但這并不改變裂紋尖端的奇異性和KⅠ值，這套應(yīng)力在裂紋內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)均勻的應(yīng)力場(chǎng)，故x方向的合力為：則單向拉伸時(shí)x軸上的應(yīng)力為：(24)(25)將(25)式代入到(22)之中得：(26)在遠(yuǎn)離裂紋處，只有在y方向的均勻拉應(yīng)力，這時(shí)σ1+σ2=σy=σ,該處的m用表示，代入到(22)式得：(27)聯(lián)立(26)式和(27)式得：(28)由于一般KⅠ的表達(dá)式為：(29)將(29)式代入(28)式得：(30)由可得：(31)聯(lián)立(28)式和(31)式，得：(32)其中，N為裂紋線上距裂紋頂端為r的干涉條紋序數(shù)，N*為遠(yuǎn)離裂紋其應(yīng)力等于均勻拉應(yīng)力處的條紋序數(shù)。按(32)式可以為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系中將實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫(huà)出，它是一條直線，其斜率就是Y。將Y值代入到式即可得到KⅠ值。實(shí)時(shí)全息條紋法只能得到二維問(wèn)題的裂紋尖端數(shù)值解，對(duì)于三維裂紋問(wèn)題則不可行。5近幾年求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的新進(jìn)展近幾年來(lái)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的新方法主要有廣義參數(shù)有限元法[12]、利用G*積分理論求解[13]、單元初始應(yīng)力法[14]，區(qū)間分析方法[15]、擴(kuò)展有限元法[16]、蒙特卡羅方法[17]、樣條虛邊界元法[18]、無(wú)網(wǎng)格—直接位移法[19]、半解析有限元法[20]等。廣義參數(shù)有限元法建立了裂尖處應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算的W單元。利用修正的Williams級(jí)數(shù)建立裂尖附近奇異域的整體位移場(chǎng)，使得計(jì)算模型中含有與應(yīng)力強(qiáng)度因子直接相關(guān)的參數(shù)，便于直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而避免了奇異單元需要外推計(jì)算且人為選擇直線和計(jì)算點(diǎn)帶來(lái)的計(jì)算誤差和種種不便，不僅便于應(yīng)用，而且計(jì)算精度較高。直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的擴(kuò)展有限元法以常規(guī)有限元法為基礎(chǔ),利用單位分解法思想,通過(guò)在近似位移表達(dá)式中增加能夠反映裂紋面的不連續(xù)函數(shù)及反映裂尖局部特性的裂尖漸進(jìn)位移場(chǎng)函數(shù),間接體現(xiàn)裂紋面的存在,從而無(wú)需使裂紋面與有限元網(wǎng)格一致,無(wú)需在裂尖布置高密度網(wǎng)格,也不需要后處理就可以直接計(jì)算出應(yīng)力強(qiáng)度因子,并且大大簡(jiǎn)化了前后處理工作。應(yīng)用區(qū)間分析方法對(duì)具有不確定參數(shù)的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行估計(jì)。該方法以區(qū)間數(shù)學(xué)為基礎(chǔ),將不確定參數(shù)描述為區(qū)間變量;再利用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)通過(guò)區(qū)間運(yùn)算得到應(yīng)力強(qiáng)度因子的區(qū)間范圍,從而為工程設(shè)計(jì)提供可信的數(shù)據(jù)。區(qū)間分析方法優(yōu)于傳統(tǒng)的概率分析方法的是:它不需要預(yù)先知道關(guān)于不確定參數(shù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)信息,并且具有計(jì)算方法簡(jiǎn)便、實(shí)用和精度高的特點(diǎn)。運(yùn)用蒙特卡羅方法求解線性代數(shù)方程組時(shí)，僅僅是求得解得一個(gè)分量Xi，而與其它分量無(wú)關(guān)。這條性質(zhì)跟我們邊界配置法所需要的相一致。因?yàn)?，邊界配置法最后就是得到一個(gè)線性方程組，而且為了求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，就只是需要求出其中一個(gè)解的分量。運(yùn)用蒙特卡羅方法求解由邊界配置法得出的線性方程組，即求出的應(yīng)力強(qiáng)度因子。采用差分方程求解的蒙特卡羅方法采用的游動(dòng)網(wǎng)格為規(guī)則網(wǎng)格，對(duì)于不規(guī)則的幾何邊界問(wèn)題，由于邊界的近似處理，計(jì)算精度受到了很大的影響。采用不規(guī)則游動(dòng)網(wǎng)格的蒙特卡羅方法，改善了蒙特卡羅方法求解復(fù)雜邊界問(wèn)題的精度，大大的擴(kuò)寬了蒙特卡羅方法的應(yīng)用。采用基于Kelvin基本解的樣條虛邊界元法，結(jié)合位移外推法，給出了斷裂問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法通過(guò)對(duì)兩個(gè)典型斷裂問(wèn)題的分析，對(duì)邊界子段與虛邊界元的劃分、小單元的采用以及擬合點(diǎn)位置的確定等關(guān)鍵問(wèn)題展開(kāi)了討論，獲得了相關(guān)計(jì)算參數(shù)的選取規(guī)律，為該法在斷裂問(wèn)題的進(jìn)一步應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的無(wú)網(wǎng)格法一般均采用J積分方法,但由于該方法為間接求解,降低了求解精度與求解效率。文中采用無(wú)網(wǎng)格—伽遼金方法,選取帶有擴(kuò)展基的奇異基函數(shù),以精確計(jì)算裂紋尖端位移場(chǎng),并借鑒有限元法中計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的直接位移法,提出一種計(jì)算含裂結(jié)構(gòu)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的新方法,即無(wú)網(wǎng)格—直接位移法。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,該方法具有簡(jiǎn)捷、高效的特點(diǎn),可以準(zhǔn)確計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。半解析有限元法，從彈性力學(xué)哈密頓理論出發(fā)，在裂紋尖端構(gòu)造了一個(gè)解析的超級(jí)單元，該單元能夠準(zhǔn)確描述平面裂紋尖端場(chǎng)，將該超級(jí)單元與普通有限單元相結(jié)合可求解任意幾何形狀和載荷的平面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算問(wèn)題。該方法將解析法與有限元法相結(jié)合，各取所長(zhǎng)，發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)。6結(jié)語(yǔ)(1)數(shù)學(xué)分析法中的復(fù)變函數(shù)法一般只能解決彈性平面問(wèn)題，且比較簡(jiǎn)單方便，但對(duì)于較為復(fù)雜的三維問(wèn)題則無(wú)法用復(fù)變函數(shù)去求解。此外，對(duì)于積分變換法，同樣也只能較為方便的去求解彈性平面中的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，故數(shù)學(xué)分析法有著其本質(zhì)的局限性。(2)邊界配置法其本質(zhì)是根據(jù)邊界上的配置點(diǎn)建立線性方程組，以滿(mǎn)足平衡條件和邊界條件，最后由計(jì)算機(jī)程序求解線性方程組，但其結(jié)果的精度與邊界配置點(diǎn)的選取相關(guān)，且需要有編程的基礎(chǔ)才能較為方便快捷的計(jì)算出應(yīng)力強(qiáng)度因子。(3)有限元法是目前用的較為普遍的一種計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法，該方法能夠解決平面和三維的各種裂紋情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并且還能復(fù)合裂紋的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，且計(jì)算結(jié)果的精度也比較高。因此，該方法在今后將會(huì)得到越來(lái)越廣泛地應(yīng)用，但利用有限元計(jì)算強(qiáng)度因子的建模過(guò)程很繁瑣，它需要將裂紋尖端附近的網(wǎng)格劃分的十分密集，工作量很大。(4)光彈性法屬于實(shí)驗(yàn)分析的一種方法，因此，用光彈性法首先需要有實(shí)驗(yàn)儀器上的支持。此外，光彈性法中的實(shí)時(shí)全息條紋法只能得到二維問(wèn)題的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解，無(wú)法解決三維裂紋問(wèn)題。現(xiàn)在通過(guò)三維光彈性?xún)鼋Y(jié)技術(shù)通過(guò)切片后在偏振光場(chǎng)中觀察到裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)的最大剪應(yīng)力條紋，可以估算出KⅠ。(5)對(duì)于應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算還有其它的一些計(jì)算方法，如柔度標(biāo)定法、權(quán)函數(shù)法以及無(wú)網(wǎng)格直接位移法等，針對(duì)不同的問(wèn)題應(yīng)該選擇合適、簡(jiǎn)便的方法去求解，因?yàn)槊糠N計(jì)算方法都有著其各自的局限性或缺點(diǎn)。總之，隨著斷裂理論的不斷發(fā)展，應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法將越來(lái)越成熟，計(jì)算三維空間復(fù)雜裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因也得到一定的發(fā)展，也是今后發(fā)展的重要方向。參考文獻(xiàn)：[1]雷振德.解讀應(yīng)力強(qiáng)度因子[J].武鋼職工大學(xué)學(xué)報(bào),2000,11(1):68~76.[2]尹雙增.斷裂、損傷理論及應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社,1992.[3]崔德渝,張行.求解正交各向異性含內(nèi)部裂紋板應(yīng)力強(qiáng)度因子的復(fù)變函數(shù)—分區(qū)廣義變分解法[J].航空學(xué)報(bào),1991,12(1):87~94.[4]陳宜周.利用特定復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算裂紋端的應(yīng)力強(qiáng)度因子[J].江蘇工學(xué)院學(xué)報(bào),1986,7(3):1~6.[5]李炳鋒,董世方.應(yīng)力強(qiáng)度因子的積分變換與數(shù)值求解法的比較[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,18(4):26~28.[6]熊先仁,袁去惑,楊菊梅等.應(yīng)力強(qiáng)度因子的邊界配置法程序及工程應(yīng)用[J].江西科學(xué),1996,14(2):106~113.[7]徐德福,羅景文.用邊界配置法計(jì)算正交各向異性材料單邊裂紋試件的應(yīng)力強(qiáng)度因子[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào),1982,(2):283~291.[8]陳家權(quán),