河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含解析

河北省保定市部分高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含解析高二數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)，考場號(hào)，座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)至選擇性必修第二冊(cè)第四章第2節(jié)。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線l：在x軸和y軸上的截距分別是A.，B.，C.，D.，2一只螞蟻從點(diǎn)P(1，1，0)出發(fā)，在Oxy和Oxz平面上爬行，則這只螞蟻爬到點(diǎn)Q(2，0，2)的最短距離為A.B.3C.D.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則A.12B.13C.22D.234.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足.若B，D，A1，F(xiàn)四點(diǎn)在同一個(gè)平面上，則m=A.B.C.D.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l過點(diǎn)F且傾斜角為的直線在第一象限交C于點(diǎn)A，若點(diǎn)A在l上的投影為點(diǎn)B，且|AB|=4，則p=A.1B.2C.D.46.已知A(1，0，1)，=(1，0，1)是平面α的一個(gè)法向量，且B(-1，2，2)是平面α內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面α的距離為A.B.C.D.7.如圖，花籃的外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面.已知該花籃的總高度為45cm，底面圓的直徑為20cm，上口圓的直徑為cm，最小橫截面圓的直徑為10cm，則該雙曲線的離心率為A.B.2C.D.8.觀察下列數(shù)的規(guī)律；2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，32，64，…，則第100個(gè)數(shù)為A.213R.214C.215D.216二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則A.直線l過定點(diǎn)(0，1)B.圓C的半徑為3C.當(dāng)m=0時(shí)D.圓心C到直線l的最大距離是210.下列結(jié)論正確的是A.若向量=(1，1，1)，=(2，-2，2)，=(3，-1，3)，則，，共面B若直線l的方向向量為=(1，1，1)，平面α的一個(gè)法向量為=(1，0，=1)，則l∥αC.若向量=(1，1，1)，b=(2，一2，2)，則在上的投影向最為D.已知平面α，β不重合，平面α的一個(gè)法向量為=(1，0，-1)，平面β的一個(gè)法向量為=(-3，0，3)，則α∥β11.已知F1，F(xiàn)2辨是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則A.B.棉圓C的離心率為C.△AF1F2為等邊三角形D.△ABF1為直角三角形12.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，下列說法正確的是A.若為等差數(shù)列，則的公差為1B若為等差數(shù)列，則的首項(xiàng)為1C.D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.14.已知圓M經(jīng)過點(diǎn)A(-2，0)，B(0，4)，C(0，0)，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則__________.16.已知Р是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，過點(diǎn)Р作與l夾角為30°的直線，該直線交l于點(diǎn)A，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則的最小值為__________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知直線l過點(diǎn)A(-2，1).(1)若直線l與第二，四象限的角平分線平行，求直線l的方程；(2)若b>0，直線l與圓M：相切于點(diǎn)A，求直線l的方程.18.(12分)已知雙曲線C的實(shí)軸長為4，且與雙曲線有公共的焦點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程；(2)已知M(0，3)，P是C上的任意一點(diǎn)，求的最小值.19.(12分)已知正三棱錐A-BCD中的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直.(1)證明：AD⊥BC.(2)已知點(diǎn)E滿足，求平面ABC與平面ABE夾角的大小.20.(12分)已知定點(diǎn)F(3，0)，定直線l：，動(dòng)圓M過點(diǎn)F，且與直線l相切，記動(dòng)圓的圓心M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2若過點(diǎn)F的直線與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且|AB|=36，求直線AB的方程.21.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式.(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.22.(12分)已知A，B分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，P(1，)為橢圓C上的點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且直線AM與BN相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D在直線上，證明：直線l過定點(diǎn).高二數(shù)學(xué)考試參考答案1.D【解析】本題考查直線的方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).令y=0，得，令x=0，得，故直線l：在x軸和y軸上的截距分別是，.2.C【解析】本題考查空間直角坐標(biāo)系，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).將平面Оxz翻折到與平面Oxy共面，此時(shí)點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q'(2，-2，0)，所以這只螞蟻從點(diǎn)P(1，1，0)出發(fā)爬到點(diǎn)Q(2，0，2)的最短距離為.3.C【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).，即.又因?yàn)椋?4.B【解析】本題考查空間向量的基本定理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).連接AC圖略)，，則.因?yàn)锽，D，A1，F(xiàn)四點(diǎn)在同一個(gè)平面上，所以，解得.5.B【解析】本題考查拋物線，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由拋物線定義可知.因?yàn)椤螦FB=，所以△ABF為等邊三角形，所以，∠BFA=60°，所以∠BFO=60°.設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為P，則，，所以p=2.6.D【解析】本題考查空間向量的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).=(-2，2，1)，點(diǎn)A到平面α的距離.7.B【解析】本題考查雙曲線的方程，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).在花籃的軸截面所在平面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其中DE為最小橫截面圓的直徑.設(shè)雙曲線的方程為是為，M(，m)，N(10，m-45)(0<m<45)，所以解得，m=30，所以該雙曲線的離心率為.8.B【解析】本題考查數(shù)列，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因?yàn)?，?dāng)n=13時(shí)，，當(dāng)n=14時(shí)，，所以第100個(gè)數(shù)為.9.BCD【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).直線l：，即l：，聯(lián)立，解得，，所以直線l過定點(diǎn)(1，0)，故A錯(cuò)誤；圓C的方程可化為，C的半徑為3，故B正確；當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為y=0，則圓心C到直線AB的距離d=2，，故C正確；直線l過定點(diǎn)(1，0)，且該點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，則圓心C到直線l的最大距離是，故D正確.10.AD【解析】本題考查空間向量及其運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)?，所以，，共面，故A正確；因?yàn)椋?，所以l//α或l在α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?/β，故D正確.11.BD【解析】本題考查橢圓的方程以及幾何性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).如圖，由已知可設(shè)，則，.由橢圓的定義知，所以.在△AF1B中，由余弦定理推論得，所以∠F1AB=.在△AF1F2中，，即，所以橢圓C的離心率為，.故選BD.12.ACD【解析】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因?yàn)椋?，兩式相減得.若數(shù)列為等差數(shù)列，則的公差d=1.又，所以，解得=0，所以A正確，B錯(cuò)誤.，所以，所以C正確.因?yàn)閚∈N+，所以，即成立，所以D正確.13.【解析】本題考查拋物線，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).可化為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.14.【解析】本題考查圓的方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)圓M的方程為，則，解得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.15.97【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由，可得，那么利用累加法可知.16.【解析】本題考查雙曲線以及幾何性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)P在l上的投影，F(xiàn)2為雙曲線C的右焦點(diǎn)(圖略)，則，，所以.顯然當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，且Р在F2，Q之間時(shí)，有最小值，且最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，可得l的方程為或.由題知F2(，0)，則點(diǎn)F2到直線l的距離為，故的最小值為.17.解：(1)第二、四象限的角平分線方程為，……2分所以直線l的斜率為-1，….........…3分所以直線l的方程，即，….…5分(2)由題可知點(diǎn)A在圓M：上，則，解得b=0(舍去)或b=2，.................…6分所以的圓心坐標(biāo)為M(0，2).因?yàn)?，?.......................…7分所以直線l的斜率為-2，….......................…8分所以直線l的方程為，即.……10分18.解：(1)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，…...……1分則設(shè)雙曲線C的方程為.……2分由題可知，，......……4分解得，b=1，所以雙曲線C的方程為.....…6分(2)設(shè)P，則，所以....…9分因此當(dāng)時(shí)，|PM|取得最小值，最小值是.…..…12分19.(1)證明；因?yàn)锳D⊥AC，AD⊥AB，AC∩AB=A，所以AD⊥平面ABC.….........……......…3分又因?yàn)锽C平面ABC，所以AD⊥BC.…...............……5分(2)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=1，則C(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，0，1)，E(1，1，1)，則=(0，1，0)，=(1，1，1).……...........................…7分設(shè)平面ABE的法向量為=(x，y，z)，則，所以可設(shè)=(1，0，-1).……9分易知=(0，0，1)是平面ABC的一個(gè)法向量，….....................…10分設(shè)平面ABC與平面ABE的夾角為θ，所以，所以.……12分20.解：(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，圓M與直線l：的切點(diǎn)為N.因?yàn)閯?dòng)圓M過點(diǎn)F(3，0)，且與直線l：相切，則，............................…1分所以點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)О為頂點(diǎn)﹐F(3，0)為焦點(diǎn)的拋物線，…….….…….......…............…3分則C的方程為.…..............….......………5分(2)設(shè)直線AB的方程為，A，B.聯(lián)立，整理得，…...........…7分所以，，…...…8分則，……10分解得，所以直線AB的方程為.……12分21.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，，……1分當(dāng)n≥2時(shí)，由，可得，….........…2分兩式相減得，，…................…3分所以，….....................…4分又符合上式，所以.….…5分(2)，……7分所以.……9分故.因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以令，則.………….……………….……11分所以，解得.……12分22.(1)解：由題可知A(-a，0)，B(a，0)，所以，…………1分解得=2.….....….............….……......................................….2分因?yàn)镻(1，)為橢圓C上的點(diǎn)，所以，解得=1，….......…...……3分所以