2023-2024學年黑龍江省七臺河市數學九上期末考試試題含解析

2023-2024學年黑龍江省七臺河市數學九上期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，正方形ABCD和正方形CGFE的頂點C，D，E在同一條直線上，頂點B，C，G在同一條直線上．O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于點H，連接FH交EG于點M，連接OH．以下四個結論：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．將二次函數y＝2x2+2的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度后所得新函數圖象的表達式為（）A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝﹣2（x+3）2+1C．y＝2（x﹣3）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+13．如圖1，一個扇形紙片的圓心角為90°，半徑為1．如圖2，將這張扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為()A．1π﹣ B．1π﹣9 C．12π﹣ D．4．九（1）班的教室里正在召開50人的座談會，其中有3名教師，12名家長，35名學生，當林校長走到教室門口時，聽到里面有人在發(fā)言，那么發(fā)言人是家長的概率為（）A． B． C． D．5．如圖，拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，結合圖象分析下列結論：①；②；③當時，隨的增大而增大；④一元二次方程的兩根分別為，；⑤；⑥若，為方程的兩個根，則且，其中正確的結論有（）A．個 B．個 C．個 D．個6．把拋物線的圖象繞著其頂點旋轉，所得拋物線函數關系式是（）A． B． C． D．7．如圖，點D是等腰直角三角形ABC內一點，AB=AC，若將△ABD繞點A逆時針旋轉到△ACE的位置，則∠AED的度數為（）A．25° B．30° C．40° D．45°8．如圖，,,,四點都在上，，則的度數為（）A． B． C． D．9．某樓盤準備以每平方米16000元的均價對外銷售，由于受有關房地產的新政策影響，購房者持幣觀望．開發(fā)商為促進銷售，對價格進行了連續(xù)兩次下調，結果以每平方米14440元的均價開盤銷售，則平均每次下調的百分率為（）A．5% B．8% C．10% D．11%10．某商場降價銷售一批名牌襯衫,已知所獲利潤y(元)與降價x(元)之間的關系是y=-2x2+60x+800,則利潤獲得最多為()A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元11．正方形的邊長為4，若邊長增加x，那么面積增加y，則y關于x的函數表達式為()A． B． C． D．12．參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10

次，若共有

x

人參加聚會，則根據題意，可列方程（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如果x：y＝1：2，那么＝_____．14．如圖，在平行四邊形中，是邊上的點，，連接，相交于點，則_________．15．如圖，已知點A，點C在反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點B，OC交AB于點D，若CD＝OD，則△AOD與△BCD的面積比為__．16．若能分解成兩個一次因式的積，則整數k=_________.17．一個正n邊形的一個外角等于72°，則n的值等于_____．18．雙曲線在每個象限內，函數值y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是__________三、解答題（共78分）19．（8分）（1）如圖①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），點P在邊AC上．當AP＝時，△APB∽△ABC；（2）如圖②，已知△DEF（DE＞DF），請用直尺和圓規(guī)在直線DF上求作一點Q，使DE是線段DF和DQ的比例項．（保留作圖痕跡，不寫作法）20．（8分）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共50個，這些球除顏色外其余完全相同．王穎做摸球試驗，攪勻后，她從盒子里隨機摸出一個球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復上述過程，如表是試驗中的一組統計數據：摸球的次數n10020030050080010003000摸到白球的次數m651241783024806001800摸到白球的頻率0.650.620.5930.6040.60.60.6（1）請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近；（精確到0.1）（2）若從盒子里隨機摸出一個球，則摸到白球的概率的估計值為；（3）試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少個？21．（8分）如圖，點A、點B的坐標分別為（4，0）、（0，3），將線段BA繞點A沿順時針旋轉90°，設點B旋轉后的對應點是點B1，求點B1的坐標．22．（10分）（1）已知：如圖1，為等邊三角形，點為邊上的一動點（點不與、重合），以為邊作等邊，連接.求證：①，②；（2）如圖2，在中，，，點為上的一動點（點不與、重合），以為邊作等腰，（頂點、、按逆時針方向排列），連接，類比題（1），請你猜想：①的度數；②線段、、之間的關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，若點在的延長線上運動，以為邊作等腰，（頂點、、按逆時針方向排列），連接.①則題（2）的結論還成立嗎？請直接寫出，不需論證；②連結，若，，直接寫出的長.23．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．（1）求證：△BED≌△CFD；（2）若∠A=60°，BE=2，求△ABC的周長．24．（10分）用適當的方法解一元二次方程：（1）x2+4x﹣12＝0（2）2x2﹣4x+1＝025．（12分）某小區(qū)為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余、可回收和其他三類，分別記為，，，并且設置了相應的垃圾箱，“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分別記為，，.（1）小亮將媽媽分類好的三類垃圾隨機投入到三種垃圾箱內，請用畫樹狀圖或表格的方法表示所有可能性，并請求出小亮投放正確的概率.（2）請你就小亮投放垃圾的事件提出兩條合理化建議.26．某廣場有一個小型噴泉，水流從垂直于地面的水管OA噴出，OA長為1.5米.水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所示，落點B到O的距離為3米．建立平面直角坐標系，水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間近似滿足函數關系（1）求y與x之間的函數關系式；（2）求水流噴出的最大高度．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，從而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分線，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中點，利用中位線定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因為O為EG的中點，所以OH=OG=OE，得出點H在正方形CGFE的外接圓上，根據圓周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，從而證得△EHM∽△GHF；設HN=a，則BC=2a，設正方形ECGF的邊長是2b，則NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到，即a2+2ab-b2=0，從而求得，設正方形ECGF的邊長是2b，則EG=2b，得到HO=b，通過證得△MHO∽△MFE，得到，進而得到，進一步得到.【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE．故①正確；∵△EHG是直角三角形，O為EG的中點，∴OH＝OG＝OE，∴點H在正方形CGFE的外接圓上，∵EF＝FG，∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，∴△EHM∽△GHF，故②正確；∵△BGH≌△EGH，∴BH＝EH，又∵O是EG的中點，∴HO∥BG，∴△DHN∽△DGC，設EC和OH相交于點N．設HN＝a，則BC＝2a，設正方形ECGF的邊長是2b，則NC＝b，CD＝2a，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），故③正確；∵△BGH≌△EGH，∴EG＝BG，∵HO是△EBG的中位線，∴HO＝BG，∴HO＝EG，設正方形ECGF的邊長是2b，∴EG＝2b，∴HO＝b，∵OH∥BG，CG∥EF，∴OH∥EF，∴△MHO△MFE，∴，∴EM＝OM，∴，∴∵EO＝GO，∴S△HOE＝S△HOG，∴故④錯誤，故選A．【點睛】本題考查了正方形的性質，以及全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，正確求得兩個三角形的邊長的比是解決本題的關鍵．2、D【分析】根據二次函數圖像的平移法則進行推導即可.【詳解】解：將二次函數y＝2x2+2的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度后所得新函數圖象的表達式為y＝2（x+3）2+2﹣1，即y＝2（x+3）2+1．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖像的平移，掌握并靈活運用“上加下減，左加右減”的平移原則是解題的關鍵.3、A【分析】連接OD，如圖，利用折疊性質得由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積等于陰影部分的面積，AC=OC，則OD=2OC=1，CD=3，從而得到∠CDO=30°，∠COD=10°，然后根據扇形面積公式，利用由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積=S扇形AOD-S△COD，進行計算即可．【詳解】解：連接OD，如圖，∵扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝1，∴CD＝，∴∠CDO＝30°，∠COD＝10°，∴由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣＝1π﹣，∴陰影部分的面積為1π﹣.故選A．【點睛】本題考查了扇形面積的計算：陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積．記住扇形面積的計算公式．也考查了折疊性質．4、B【解析】根據概率=頻數除以總數即可解題.【詳解】解：由題可知：發(fā)言人是家長的概率==,故選B.【點睛】本題考查了概率的實際應用,屬于簡單題,熟悉概率的計算方法是解題關鍵.5、C【分析】利用二次函數圖象與系數的關系，結合圖象依次對各結論進行判斷．【詳解】解：拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線拋物線與軸交于點和，且由圖象知：，，故結論①正確；拋物線與x軸交于點故結論②正確；當時，y隨x的增大而增大；當時，隨的增大而減小結論③錯誤；，拋物線與軸交于點和的兩根是和，即為：，解得，；故結論④正確；當時，故結論⑤正確；拋物線與軸交于點和，，為方程的兩個根，為方程的兩個根，為函數與直線的兩個交點的橫坐標結合圖象得：且故結論⑥成立；故選C．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，關鍵在于二次函數的系數所表示的意義，以及與一元二次方程的關系,這是二次函數的重點知識.6、B【分析】根據圖象繞頂點旋轉180°，可得函數圖象開口方向相反，頂點坐標相同，可得答案．【詳解】∵，

∴該拋物線的頂點坐標是（1，3），

∴在旋轉之后的拋物線解析式為：．

故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移和旋轉，解決本題的關鍵是理解繞拋物線的頂點旋轉180°得到新函數的二次項的系數符號改變，頂點不變．7、D【分析】由題意可以判斷△ADE為等腰直角三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，由旋轉變換的性質知：∠EAD=∠CAB，AE=AD；

∵△ABC為直角三角形，

∴∠CAB=90°，△ADE為等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

故選：D．【點睛】該題考查了旋轉變換的性質及其應用問題；應牢固掌握旋轉變換的性質．8、C【分析】根據圓周角定理求出∠A，根據圓內接四邊形的性質計算即可．【詳解】由圓周角定理得,∠A=∠BOD=，∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∴∠BCD=?∠A=，故選：C.【點睛】本題考查了圓周角定理以及圓內接四邊形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.9、A【分析】設平均每次下調的百分率為x，根據該樓盤的原價及經過兩次降價后的價格，即可得出關于x的一元二次方程，即可得出結果．【詳解】設平均每次下調的百分率為x，依題意，得：16000（1﹣x）2＝14440，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合題意，舍去），答：平均每次下調的百分率為5%.故選：A．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，找出等量關系，列出關于x的方程，是解題的關鍵.10、D【分析】將函數關系式轉化為頂點式，然后利用開口方向和頂點坐標即可求出最多的利潤.【詳解】解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250∵-2＜0故當x=15時，y有最大值，最大值為1250即利潤獲得最多為1250元故選:D.【點睛】此題考查的是利用二次函數求最值，掌握將二次函數的一般式轉化為頂點式求最值是解決此題的關鍵.11、C【分析】加的面積=新正方形的面積-原正方形的面積，把相關數值代入化簡即可．【詳解】解：∵新正方形的邊長為x+4，原正方形的邊長為4，∴新正方形的面積為（x+4）2，原正方形的面積為16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故選：C．【點睛】本題考查列二次函數關系式；得到增加的面積的等量關系是解決本題的關鍵．12、C【分析】如果人參加了這次聚會，則每個人需握手次，人共需握手次；而每兩個人都握了一次手，因此一共握手次.【詳解】設人參加了這次聚會，則每個人需握手次，依題意，可列方程.故選C.【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據合比性質，可得答案．【詳解】解：，即．故答案為．【點睛】考查了比例的性質，利用了和比性質：．14、【分析】設△AEO的面積為a，由平行四邊形的性質可知AE∥CD，可證△AEO∽△CDO，相似比為AE：CD＝EO：DO＝3：4，由相似三角形的性質可求△CDO的面積，由等高的兩個三角形面積等于底邊之比，可求△ADO的面積，得出的值．【詳解】解：設△AEO的面積為a，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∵，∴AE＝CD＝AB，由AB∥CD知△AEO∽△CDO，∴，∴，∵設△AEO的面積為a，，∴S△CDO＝，∵△ADO和△AEO共高，且EO：DO＝3：4，，∴S△ADO＝，則S△ACD＝S△ADO＋S△CDO＝，∴故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質．關鍵是由平行線得出相似三角形，利用相似比求相似三角形的面積，等高的三角形面積．15、1．【分析】作CE⊥x軸于E，如圖，利用平行線分線段成比例得到＝＝＝，設D（m，n），則C（2m，2n），再根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到k＝4mn，則A（m，4n），然后根據三角形面積公式用m、n表示S△AOD和S△BCD，從而得到它們的比．【詳解】作CE⊥x軸于E，如圖，∵DB∥CE，∴＝＝＝，設D（m，n），則C（2m，2n），∵C（2m，2n）在反比例函數圖象上，∴k＝2m×2n＝4mn，∴A（m，4n），∵S△AOD＝×（4n﹣n）×m＝mn，S△BCD＝×（2m﹣m）×n＝mn∴△AOD與△BCD的面積比＝mn：mn＝1．故答案為1．【點睛】考核知識點：平行線分線段成比例，反比例函數；數形結合，利用平行線分線段成比例，反比例函數定義求出點的坐標關系是關鍵.16、【分析】根據題意設多項式可以分解為：（x+ay+c）（2x+by+d），則2c+d=k，根據cd=6，求出所有符合條件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=1聯立求出a、b的值，a、b是整數則符合，否則不符合，最后把符合條件的值代入k進行計算即可．【詳解】解：設能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6時，ad＋bc=6a＋b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=6，d=1時，ad＋bc=a＋6b=0,與2a＋b=1聯立求解得，②c=2，d=3時，ad＋bc=3a＋2b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=3，d=2時，ad＋bc=2a＋3b=0，與2a＋b=1聯立求解得,③c=-2，d=-3時，ad＋bc=-3a-2b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，與2a＋b=1聯立求解得，④c=-1，d=-6時，ad＋bc=-6a-b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=-6，d=-1時，ad＋bc=-a-6b=0，與2a＋b=1聯立求解得，∴c=2，d=3時，c=-2，d=-3時，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=1，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-1，∴整數k的值是1，-1．故答案為：．【點睛】本題考查因式分解的意義，設成兩個多項式的積的形式是解題的關鍵，要注意6的所有分解結果，還需要用a、b進行驗證，注意不要漏解．17、1．【分析】可以利用多邊形的外角和定理求解．【詳解】解：∵正n邊形的一個外角為72°，∴n的值為360°÷72°＝1．故答案為：1【點睛】本題考查了多邊形外角和，熟記多邊形的外角和等于360度是解題的關鍵．18、【分析】根據反比例函數的性質可知，y隨x的增大而增大則k知小于0，即m-2＜0，解得m的范圍即可.【詳解】∵反比例函數y隨x的增大而增大∴m-2＜0則m＜2【點睛】本題考查了反比例函數的性質，函數值y隨x的增大而增大則k小于0，函數值y隨x的增大而減小則k大于0.三、解答題（共78分）19、（1）；（2）見解析.【分析】（1）根據相似三角形的判定方法進行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及結合做一角等于已知角進而得出答案．【詳解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，則,即,∴AP=.（2）解：作∠DEQ＝∠F,如圖點Q就是所求作的點【點睛】本題考查了相似變換，正確掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．20、（1）0.6；（2）0.6；（3）盒子里黑顏色的球有20只，盒子白顏色的球有30只【分析】（1）觀察表格找到逐漸穩(wěn)定到的常數即可；（2）概率接近于（1）得到的頻率；（3）白球個數＝球的總數×得到的白球的概率，讓球的總數減去白球的個數即為黑球的個數，問題得解．【詳解】（1）∵摸到白球的頻率約為0.6，∴當n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.6；故答案為：0.6；（2）∵摸到白球的頻率為0.6，∴若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為0.6；（3）黑白球共有20只，白球為：50×0.6＝30（只），黑球為：50﹣30＝20（只）．答：盒子里黑顏色的球有20只，盒子白顏色的球有30只．【點睛】考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：部分的具體數目=總體數目×相應頻率．21、B1點的坐標為（7，4）【分析】如圖，作B1C⊥x軸于C，證明△ABO≌△B1AC得到AC=OB=3，B1C=OA=4，然后寫出B1點的坐標．【詳解】如圖，作B1C⊥x軸于C．∵A（4，0）、B（0，3），∵OA＝4，OB＝3，∵線段BA繞點A沿順時針旋轉90°得AB1，∴BA＝AB1，且∠BAB1＝90°，∴∠BAO+∠B1AC＝90°而∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠B1AC，∴△ABO≌△B1AC，∴AC＝OB＝3，B1C＝OA＝4，∴OC＝OA+AC＝7，∴B1點的坐標為（7，4）．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．22、（1）①見解析；②∠DCE＝110°；（1）∠DCE＝90°,BD1+CD1＝DE1．證明見解析；（3）①（1）中的結論還成立，②AE＝.【分析】（1）①根據等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出結論；②由△ABD≌△ACE，以及等邊三角形的性質，就可以得出∠DCE＝110°；

（1）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根據勾股定理得出CE1+CD1=DE1，即可得到BD1+CD1=DE1；

（3）①運用（1）中的方法得出BD1+CD1=DE1；②根據Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得進而得出CD=8-6=1，在Rt△DCE中，求得最后根據△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的長．【詳解】（1）①如圖1，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE,∠ACE＝∠B＝60°,∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝110°；（1）∠DCE＝90°,BD1+CD1＝DE1．證明：如圖1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE1+CD1＝DE1，∴BD1+CD1＝DE1；（3）①（1）中的結論還成立．

理由：如圖3，∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD與△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，

∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°=∠ECD，

∴Rt△DCE中，CE1+CD1=DE1，

∴BD1+CD1=DE1；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴BD=CE=8，

∴CD=8-6=1，

∴Rt△DCE中，∵△ADE是等腰直角三角形，【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等，對應角