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四川省三臺中學(xué)2024屆高三第三次(4月)統(tǒng)一檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若恒成立,則滿足條件的的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.32.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為則()A. B. C. D.3.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.34.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg5.某公園新購進盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排,要求郁金香不在兩邊,任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種A. B. C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.7.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機取一點,若此點取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定8.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項9.已知α,β是兩平面,l,m,n是三條不同的直線,則不正確命題是()A.若m⊥α,n//α,則m⊥n B.若m//α,n//α,則m//nC.若l⊥α,l//β,則α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,則l//β10.己知集合,,則()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則的最小值是______.14.若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________.15.在四面體中,與都是邊長為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_______.16.已知,,,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,.(1)證明:平面平面ABCD;(2)設(shè)H在AC上,,若,求PH與平面PBC所成角的正弦值.18.(12分)如圖,在三棱柱中,平面平面,側(cè)面為平行四邊形,側(cè)面為正方形,,,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的大小.19.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).20.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點,且過的直線與橢圓交于兩點,設(shè)且.(1)求點的坐標;(2)求的取值范圍.21.(12分)記拋物線的焦點為,點在拋物線上,且直線的斜率為1,當(dāng)直線過點時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點,,求直線的斜率.22.(10分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),若直線的交點為,當(dāng)變化時,點的軌跡是曲線(1)求曲線的普通方程;(2)以坐標原點為極點,軸非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,設(shè)射線的極坐標方程為,,點為射線與曲線的交點,求點的極徑.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】
由不等式恒成立問題分類討論:①當(dāng),②當(dāng),③當(dāng),考查方程的解的個數(shù),綜合①②③得解.【題目詳解】①當(dāng)時,,滿足題意,②當(dāng)時,,,,,故不恒成立,③當(dāng)時,設(shè),,令,得,,得,下面考查方程的解的個數(shù),設(shè)(a),則(a)由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得:(a)在為減函數(shù),在,為增函數(shù),則(a),即有一解,又,均為增函數(shù),所以存在1個使得成立,綜合①②③得:滿足條件的的個數(shù)是2個,故選:.【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù),重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬難度較大的題型.2、B【解題分析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運算,求得的值.【題目詳解】易知,則.故選:B【題目點撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】
根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【題目詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡得,所以.故選:B【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過樣本點的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯誤.故選D.5、B【解題分析】
間接法求解,兩盆錦紫蘇不相鄰,被另3盆隔開有,扣除郁金香在兩邊有,即可求出結(jié)論.【題目詳解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有種,然后將盆錦紫蘇放入到4個位置中有種,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有,扣除郁金香在兩邊,排盆虞美人、盆郁金香有種,再將盆錦紫蘇放入到3個位置中有,根據(jù)分步計數(shù)原理有,所以共有種.故選:B.【題目點撥】本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計數(shù)原理,不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、D【解題分析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題,是求和還是求項.7、B【解題分析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【題目詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【題目點撥】本題考查了幾何概型,定積分的計算以及幾何意義,屬于中檔題.8、B【解題分析】
由二項展開式定理求出通項,求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù),即可求解.【題目詳解】,,當(dāng),,,時,為有理項,共項.故選:B.【題目點撥】本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】
根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識,判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理,判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【題目詳解】A.若,則在中存在一條直線,使得,則,又,那么,故正確;B.若,則或相交或異面,故不正確;C.若,則存在,使,又,則,故正確.D.若,且,則或,又由,故正確.故選:B【題目點撥】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】
先化簡,再求.【題目詳解】因為,又因為,所以,故選:C.【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】
利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【題目詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為故選:B【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解題分析】
先將前兩項利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【題目詳解】解:,因為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),,時等號成立,故答案為:1.【題目點撥】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,但是由于有3個變量,導(dǎo)致該題不易找到思路,屬于中檔題.14、【解題分析】
依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【題目詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【題目點撥】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進而可得球的面積.【題目詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點,連接,,過做于點,易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【題目點撥】本題主要考查幾何體的外接球問題,外接球的半徑的求解一般有兩個思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.16、【解題分析】
由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【題目詳解】,,,,,,,,.故答案為:【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解題分析】
(1)記,連結(jié),推導(dǎo)出,平面,由此能證明平面平面;(2)推導(dǎo)出,平面,連結(jié),由題意得為的重心,,從而平面平面,進而是與平面所成角,由此能求出與平面所成角的正弦值.【題目詳解】(1)證明:記,連結(jié),中,,,,,,平面,平面,平面平面.(2)中,,,,,,,,,,平面,∴,連結(jié),由題意得為的重心,,,,平面平面平面,∴在平面的射影落在上,是與平面所成角,中,,,,.與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題考查面面垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解題分析】
(1)連接,交與,連接,由,得出結(jié)論;(2)以為原點,,,分別為,,軸建立空間直角坐標系,求出平面的法向量,利用夾角公式求出即可.【題目詳解】(1)連接,交與,連接,在中,,又平面,平面,所以平面;(2)由平面平面,,為平面與平面的交線,故平面,故,又,所以平面,以為原點,,,分別為,,軸建立空間直角坐標系,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,,,由,得,平面的法向量為,由,故二面角的大小為.【題目點撥】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解題分析】
(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結(jié)合,即可證明.【題目詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.【題目點撥】本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.20、(1);(2).【解題分析】
(1)設(shè)出的坐標,代入,結(jié)合在拋物線上,求得兩點的橫坐標,進而求得點的坐標.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,結(jié)合,求得的表達式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【題目詳解】(1)可知,設(shè)則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設(shè)則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,則所以【題目點撥】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查向量數(shù)量積的坐標運算,考查向量模的坐標運算,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運算求解能力,屬于難題.21、(1)(2)0【解題分析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)直線,與聯(lián)立,得,再由弦長公式,求解.(2)設(shè),根據(jù)直線的斜率為1,則,得到,再由,所以線段中點的縱坐標為,然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點H的縱坐標,說明直線軸,直線的斜率為0.【題目詳解】(1)依題意,,則直線,聯(lián)立得;設(shè),則,解得,故拋物線的方程為.(2),因為直線的斜率為1,則,所以,因為,所以線段中點的縱坐標為.直線的方程為,即①直線的方程為,即②聯(lián)立①②解得即點的縱坐標為,即直線軸,故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在,結(jié)論也顯然成立,綜上所述,直線
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