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2024屆江蘇省啟東市建新中學(xué)高三第一次段考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.定義在上函數(shù)滿足,且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-53.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.4.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.5.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.6.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個(gè)數(shù)的和,則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為()A. B. C. D.7.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.8.向量,,且,則()A. B. C. D.9.過橢圓的左焦點(diǎn)的直線過的上頂點(diǎn),且與橢圓相交于另一點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,D是AB的中點(diǎn),若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.11.為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策,某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計(jì)繪制如圖,其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù).若該市老年低收入家庭共有900戶,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.該市總有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有1800戶C.在該市無業(yè)人員中,低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有800戶12.已知函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,,當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個(gè)點(diǎn),,,在半徑為的圓上,且,分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓,這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域,則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.14.在數(shù)列中,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____.15.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則的取值范圍是__________.16.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(ⅠⅠ)求直線與平面所成的角的正弦值.18.(12分)在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中,依據(jù)評(píng)分細(xì)則,學(xué)生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果,在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表;(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系?(3)現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析,請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的抽樣方法,并解釋理由.附:0.250.100.0251.3232.7065.02419.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)20.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)(),數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù),的值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設(shè)直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點(diǎn),.(1)若,求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn),若,求直線的斜率.22.(10分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財(cái)富通”,京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況,隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民,按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機(jī)選取2人,假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?,求的分布列及?shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】
結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【題目詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【題目點(diǎn)撥】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.2、C【解題分析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【題目詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】
函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.4、A【解題分析】
求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【題目詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】
分析:由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時(shí)候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí),若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.6、D【解題分析】
由題意,設(shè)每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項(xiàng)相消即可求解.【題目詳解】由題意,設(shè)每一行的和為故因此:故故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、C【解題分析】
先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【題目詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【題目詳解】故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.9、D【解題分析】
求得點(diǎn)的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【題目詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件,圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.10、A【解題分析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【題目詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點(diǎn),且,,即,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.11、D【解題分析】
根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表,對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷,即可得到正確答案.【題目詳解】解:由題意知,該市老年低收入家庭共有900戶,所占比例為6%,則該市總有低收入家庭900÷6%=15000(戶),A正確,該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有15000×12%=1800(戶),B正確,該市無業(yè)人員中,低收入家庭有15000×29%%=4350(戶),C正確,該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有15000×4%=600(戶),D錯(cuò)誤.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)和分析,這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容,讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】
先求出平移后的函數(shù)解析式,結(jié)合圖像的對(duì)稱性和得到A和.【題目詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱,所以,所以,的最小值是.,則,所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時(shí)需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為,再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得到最大值.【題目詳解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題,涉及到距離的最值問題,在處理這類問題時(shí),一定要數(shù)形結(jié)合,本題屬于中檔題.14、【解題分析】
由題意可得,又,數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,分別求出,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題目詳解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),則為奇數(shù),∴,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,求出通項(xiàng)公式后再由已知求出偶數(shù)項(xiàng),要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.15、.【解題分析】
配方求出頂點(diǎn),作出圖像,求出對(duì)應(yīng)的自變量,結(jié)合函數(shù)圖像,即可求解.【題目詳解】,頂點(diǎn)為因?yàn)楹瘮?shù)的值域是,令,可得或.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為,且,所以的取值范圍為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值域,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】
真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【題目詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解題分析】試題分析:(Ⅰ)連接交于,得,所以面,又,得面,即可利用面面平行的判定定理,證得結(jié)論;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求的平面的一個(gè)法向量,利用向量和向量夾角公式,即可求解與平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)連接BD交AC于O,易知O是BD的中點(diǎn),故OG//BE,BE面BEF,OG在面BEF外,所以O(shè)G//面BEF;又EF//AC,AC在面BEF外,AC//面BEF,又AC與OG相交于點(diǎn)O,面ACG有兩條相交直線與面BEF平行,故面ACG∥面BEF;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè)面ABF的法向量為,依題意有,,令,,,,,直線AD與面ABF成的角的正弦值是.18、(1)見解析;(2)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”(3)見解析.【解題分析】
(1)由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20,這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表;(2)根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算,比較后可得;(3)由于性別對(duì)結(jié)果有影響,因此用分層抽樣法.【題目詳解】解:(1)優(yōu)秀合格總計(jì)男生62228女生141832合計(jì)204060(2)由于,因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”.(3)由(2)可知性別有可能對(duì)是否優(yōu)秀有影響,所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生,這樣得到的結(jié)果對(duì)學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會(huì)比較符合實(shí)際情況.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查分層抽樣的性質(zhì).考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.屬于中檔題.19、(1);(2).【解題分析】
(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.【題目詳解】(1)令,,則,而,,故.(2)令,,則,而,,故,化簡(jiǎn)得到.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù),本題屬于容易題.20、(1)(2),.【解題分析】
(1)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式,即求解數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)法,求得,結(jié)合題意,即可求解.【題目詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),可得,即,顯然當(dāng)時(shí)上式也適合,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得,所以.因?yàn)閷?duì)恒成立,所以,.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,以及裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用,其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,以及合理利用“裂項(xiàng)法
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