隨機(jī)過程第4章課件

隨機(jī)過程與排隊(duì)論數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院胡朝明Email：math_hu2000@1/3/2024上一講內(nèi)容回顧隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的分布隨機(jī)過程的數(shù)字特征重要隨機(jī)過程獨(dú)立過程獨(dú)立增量過程1/3/20242計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐3.正態(tài)過程(高斯過程) 正態(tài)過程在電子技術(shù)中經(jīng)常遇到，例如溫度限制二極管的噪聲、電子元器件的噪聲等。正態(tài)過程在隨機(jī)過程中起著重要的作用。一方面，很多重要隨機(jī)過程都是正態(tài)過程，或者可以用正態(tài)過程來近似表示；另一方面，正態(tài)過程具有很多良好的性質(zhì)，對正態(tài)過程來說，許多問題的回答比其它過程較為容易。1/3/20243計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐正態(tài)過程的定義 給定隨機(jī)過程{X(t),tT}，如果對任意正整數(shù)n及t1,t2,…,tnT，n維隨機(jī)變量(t1),X(t2),…,X(tn))的聯(lián)合概率分布為n維正態(tài)分布，則稱隨機(jī)過程{X(t),tT}為正態(tài)過程(或高斯過程)。 設(shè){X(t),tT}為正態(tài)過程，則其有限維概率分布都是正態(tài)分布。1/3/20244計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐正態(tài)過程的一維概率分布均值函數(shù)方差函數(shù)一維概率分布一維概率密度函數(shù)一維特征函數(shù)1/3/20245計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐正態(tài)過程的二維概率分布均值函數(shù)向量二階協(xié)方差矩陣二維概率分布二維概率密度函數(shù)二維特征函數(shù)1/3/20246計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐正態(tài)過程的n維概率分布均值函數(shù)向量n階協(xié)方差矩陣n維概率分布1/3/20247計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐正態(tài)過程的n維概率分布n維概率密度函數(shù)n維特征函數(shù)1/3/20248計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐例 給定隨機(jī)過程{X(t),tT}，X(t)＝X0+Vt, 0≤t＜+∞其中X0和V是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)隨機(jī)變量。證明{X(t),tT}為正態(tài)過程，并寫出一、二、n維概率密度和特征函數(shù)。解設(shè)1/3/20249計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐例(續(xù)1)因從而故{X(t),tT}為正態(tài)過程。均值函數(shù) m(t)＝E[X(t)]＝0；協(xié)方差函數(shù) C(s,t)＝1+st；方差函數(shù) D(t)＝1+t2；一維概率分布 X(t)~N(0,1+t2)；1/3/202410計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐例(續(xù)2)一維概率密度函數(shù)一維特征函數(shù)1/3/202411計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐例(續(xù)3)二維概率密度函數(shù)二維特征函數(shù)其中 均值 O＝(0,0)T二維概率分布 (X(s),X(t))T~N(O,C) 協(xié)方差陣1/3/202412計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐例(續(xù)4)

n維概率分布1/3/202413計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐例(續(xù)5)n維概率密度函數(shù)n維特征函數(shù)1/3/202414計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐4.維納過程(Brown運(yùn)動) 英國植物學(xué)家Brown于1827年觀察到懸浮于液體中的花粉微粒的運(yùn)動是非常不規(guī)則的，后人把這種運(yùn)動稱為Brown運(yùn)動。1918年，Wiener提出了Brown運(yùn)動的精確數(shù)學(xué)公式，所以Brown運(yùn)動又稱為Wiener過程。1/3/202415計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的定義 如果隨機(jī)過程{W(t),t≥0}滿足下列條件：W(0)＝0；E[W(t)]＝0；具有平穩(wěn)獨(dú)立增量；t>0，W(t)~N(0,σ2t)，(σ>0)則稱隨機(jī)過程{W(t),t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過程(或布朗運(yùn)動)。

布朗運(yùn)動是應(yīng)用概率論中最有用的隨機(jī)過程之一，已大量地在概率統(tǒng)計(jì)分析股票價(jià)格水平、通信理論、生物學(xué)、管理科學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.1/3/202416計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的概率分布及數(shù)字特征一維概率密度函數(shù)一維特征函數(shù)增量分布協(xié)方差函數(shù)1/3/202417計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的二維概率分布均值函數(shù)向量二階協(xié)方差矩陣二維概率分布二維概率密度函數(shù)二維特征函數(shù)1/3/202418計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的n維概率分布均值函數(shù)向量n階協(xié)方差矩陣n維概率分布1/3/202419計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的n維概率分布n維概率密度函數(shù)n維特征函數(shù)1/3/202420計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的性質(zhì)維納過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。維納過程是正態(tài)過程。維納過程是馬爾可夫過程。證明2.設(shè){W(t),t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過程，0<t1<t2<…<tn。Xk＝W(tk)－W(tk-1)～N(0,σ2(tk-tk-1))，t0＝0，k=1,2,…,n相互獨(dú)立。W(tk)＝X1+X2+…+Xk，k=1,2,…,k1/3/202421計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的性質(zhì)從而1/3/202422計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的性質(zhì)因此 X～N(O,CX)故1/3/202423計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐維納過程的性質(zhì)得證{W(t),t≥0}是正態(tài)過程。1/3/202424計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院顧小豐本講主要內(nèi)容正態(tài)過程維納過