2019年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題解析(一)

12019年清華大學(xué)自主招生試題解析（部分）1.一個四面體棱長分別為，求外接球的半徑同理可得的外接圓的半徑為設(shè)外接圓的圓心為，易知則外接球半徑所以外接球半徑為√-si2)2d,由分部積分法可知所以-=23.已知為單位圓上一動點，A(0,2)求的最大值S=lAPX|BP|2=＋sin)2]整理可得由三元均值不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)sinx時，等號成立，則API的最大值為354.AB為圓的直徑為中點則下列選項正確的是()A.AM=2OHB.AH=2HC.△BOHnD.忘記BC=2在與中，由余弦定理可知解得OH=,選項錯誤在中，由中線定理可知解得AH=4則AH=2OH，選項正確BH,所以△BMA，選項正確綜上所述：選為B,C5.A=1,2，3…15}是到的映射，若滿足f(z)=f(w)，則15×15=225對3情形二：當(dāng)只對應(yīng)對”有中個元素時，設(shè)有組f()=f()，組f(r)＋對，且＋b1=15,則此時“好則由柯西不等式可知225情形三：當(dāng)只對應(yīng)中個元素時，設(shè)有組f()=f(w)，組，組f(z)，則此時“好對”有++c則由柯西不等式可知+=75依次可得，易知當(dāng)對應(yīng)中有個元素時，此時“好對”的最小值為45，當(dāng)且僅當(dāng)中每3個元素對應(yīng)中一個元素時，等號成立則“好對”的個數(shù)的最小值為4546.若對，使得=f(c)成立，則稱函數(shù)滿足性質(zhì)，下列函數(shù)不滿足性質(zhì)的是()A.f(z)-3r2＋B.f(z)sin(2r＋),使得f(c)，則f()的值域是值域的子集A選項:f"()=32-6z+3=[0，+×)，f()=R,滿足題意B選項:"()=-，令z=tan，則9()=-sin2,cos2α>0時，則由四元均值不等式可知sin22α(1＋cos22α)＝27×os2)27當(dāng)且僅當(dāng)cos2x時，等號成立，所以,滿足題意因為為奇函數(shù)C選項:f"(g)=e+，f(α)eR,eR，不滿足題意f′()=f()綜上所述：選AB,57.已知若，求的最大值又i-d=1，所以此時為正三角形，求的面積解：設(shè)直線l:z=my＋2中點為，聯(lián)立整理可得AB(m2+3)y2+4mwy-2=0AB=EC＝,解得所以則的面積為XAB269.圓上一點處的切線交拋物線y2其中為坐標(biāo)原點，求。則解得73x4444＜4444"<4x4444則＜9×(4444×4＋1)×9=1599934＋9×4=415×9=45由情形一和情形二可知情形三：當(dāng)?shù)奈粩?shù)為位時，則情形四：當(dāng)?shù)奈粩?shù)位位數(shù)時，則459=12由情形三和情形四可知又所以滿足+44447(mod9),78=1(mod9)444444"=7"=(73)181×7=7(od9)444444=α=c=7(mod9)(-2)2≤1，求的最大值和最小值P=情形二：當(dāng)時，此時P=8[3,+，令tana,,則P=情形三：當(dāng)。時，此時P==tan,,則9：，A.單調(diào)遞增B.無上界c.忘記又1=3則-2)2>0，單調(diào)遞增無上界，而又無上界，所以13.若正實數(shù)α,b滿足，則的最小值為(5b)(α＋8b)=250×8b)解得再由三元均值不等式可知100+5)＋8b)＋3b5當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立14.設(shè)=|z+g()=2e，求最小值解：情形一：當(dāng)≤1時，則p(w)=f(w)+g()=2e4此時易知=p()=6情形二：當(dāng)1<<3時，則此時p()2e+2情形三：當(dāng)3時，則此時p()=2e3+2綜上所述：+g(z)最小值為615.設(shè)N，則方程-+-=的解的個數(shù)為解：不妨設(shè)C，則易知34≤≤66，而100則或100綜上所述：總共解的個數(shù)為1216.若實數(shù)滿足+898+-1=0，求的取值范圍2-1)[(+2)2++2y)-6y+1]=0情形一：當(dāng)+2)2++-6ry+1=0時，由常見不等式可知所以+2)2當(dāng)t=2y=-1時，等號成立，而滿足題意，此時情形二：當(dāng)z+2y=1時，此時令f(g)＝3(1-)，則f'(g)=2(3-4r),所以,動點17.在直三棱柱中，已知