第二十一章 一元二次方程 能力提升卷（B卷）（解析版）

2023-2024學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)第一單元一元二次方程B卷?能力提升卷（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。1．（2023?古丈縣一模）實(shí)數(shù)a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0【答案】C【解答】解：設(shè)一元二次方程為ax2+bx+c＝0當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原方程化為a﹣b+c＝0所以一元二次方程為ax2+bx+c＝0有實(shí)數(shù)根，所以b2﹣4ac≥0．故選：C．2．（鞍山）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得：k≤且k≠0．故選：C．3．（2023?瑞安市開(kāi)學(xué)）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2時(shí)，因式分解結(jié)果正確的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0【答案】C【解答】解：9x2＝（x﹣2）2，9x2﹣（x﹣2）2＝0，（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，（4x﹣2）（2x+2）＝0，4（2x﹣1）（x+1）＝0，故選：C．4．（2023?下陸區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知方程x2﹣3x+2＝0的兩根是x1，x2，則的值是（）A．1 B．2 C．1.5 D．2.5【答案】C【解答】解：由題意，x1+x2＝3，x1?x2＝2，∴．故選：C．5．（2023春?密云區(qū)期末）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是明代數(shù)學(xué)家程大位．書(shū)中記載了一道“蕩秋千”問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉；良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“秋千靜止的時(shí)候，踏板離地1尺，將它往前推送兩步（兩步＝10尺）時(shí)，此時(shí)踏板升高離地5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)秋千繩索有多長(zhǎng)？”若設(shè)秋千繩索長(zhǎng)為x尺，則可列方程為（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2【答案】D【解答】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2＝102+（x﹣4）2．故選：D．6．（2023春?金安區(qū)校級(jí)期末）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+2m+n+2022的值是（）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m2+m﹣3＝0，m+n＝﹣1，∴m2+2m+n+2022＝m2+m﹣3+（m+n）+2025＝0+（﹣1）+2025＝2024，故選：C．7．（2023?荔城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）定義運(yùn)算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．則方程2☆x＝0的根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得x2﹣2x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．8．（2022秋?建平縣期末）建平縣某中學(xué)九年級(jí)各班舉行籃球比賽，每?jī)蓚€(gè)班之間都要賽一場(chǎng)，共賽10場(chǎng)，設(shè)共有x個(gè)班參賽，根據(jù)題意可列方程為（）A． B．x（x﹣1）＝10 C． D．x（x+1）＝10【答案】A【解答】解：∵共有x個(gè)班參賽，∴每個(gè)班需要比賽（x﹣1）場(chǎng)，又∵每?jī)蓚€(gè)班之間都要賽一場(chǎng)，共賽10場(chǎng)，∴，故選：A．9．（2023?錫林浩特市三模）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+2m+n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n＝﹣1，m2+m＝6，∴m2+2m+n＝m2+m+（m+n）＝6﹣1＝5，故選：B．10．（2022秋?江北區(qū)期末）對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說(shuō)法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則⑤存在實(shí)數(shù)m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正確的（）A．只有①②④ B．只有①②④⑤C．①②③④⑤ D．只有①②③【答案】B【解答】解：①若a+b+c＝0，則x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正確；②∵方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正確；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正確．⑤令y＝ax2+bx+c，則存在實(shí)數(shù)m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正確．故選：B．填空題(本題共6題,每小題3分，共18分）。11．（2023?沂源縣一模）如果恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，則k的值為±3或﹣5．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：①當(dāng)原方程是一個(gè)一元一次方程時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則k2﹣9＝0，解得k＝±3，②如果方程是一元二次方程時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0解得：k＝﹣5．故答案為±3或﹣5．12．（2023?威遠(yuǎn)縣校級(jí)二模）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝16．【答案】16．【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，∴m2+3m＝1，n2+3n＝1，（m2+3m+3）（n2+3n+3）（1+3）（1+3）＝4×4＝16，故答案為：16．13．（2023?荔城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)根，則+2x1+x2＝2022．【答案】2022．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2＝﹣1，+x1＝2023，∴+2x1+x2＝+x1+x1+x2＝2023﹣1＝2022．故答案為：2022．14．（2023春?蔡甸區(qū)月考）電腦病毒傳播快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有121臺(tái)電腦被感染，若每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，則x＝10．【答案】10．【解答】解：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，列方程得：1+x+x（1+x）＝121，∴x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10．答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染10臺(tái)電腦．故答案為：10．15．（2023?岳陽(yáng)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α、β，且α+2β＝5，則m的值為1或﹣1．【答案】1或﹣1．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α、β，∴α+β＝2，αβ＝﹣3m2，∵α+2β＝5，∴β＝5﹣2＝3，∴α＝2﹣3＝﹣1，∴αβ＝﹣3，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3＝﹣3m2，解得m＝1或﹣1．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3m2）＝4+12m2＞0，故m的值為1或﹣1．故答案為：1或﹣1．16．（2023春?肇源縣月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0，若方程的兩根分別是x1，x2，且滿足x1+x2＝x1?x2，則k＝1．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的兩根分別是x1，x2，∴x1+x2＝﹣k，x1?x2＝﹣1，∵x1+x2＝x1?x2，∴﹣k＝﹣1，解得k＝1．故答案為：1．三、解答題（本題共5題，共52分）。17．（10分）（2023春?岳麓區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，求m的取值范圍；（2）若此方程的兩根互為倒數(shù)，求的值．【答案】（1）；（2）7．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣3）＞0，即9﹣4m+12＞0，∴；（2）∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1，x2且互為倒數(shù)，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴．18．（10分）（2022秋?大連期末）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感．（1）試求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有多少個(gè)人會(huì)患流感？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，根據(jù)題意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染8個(gè)人．（2）81+81×8＝729（人）．答：經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有729人會(huì)患流感．19．（10分）（2023春?江州區(qū)期末）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批服裝，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件服裝每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天就可以多售出2件．（1）若每件服裝降價(jià)x元，求用含x的代數(shù)式表示商場(chǎng)平均每天可售的件數(shù)；（2）若使商場(chǎng)每天盈利1200元，每件服裝應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】（1）（20+2x）件；（2）應(yīng)降價(jià)20元或10元．【解答】解：（1）若每件服裝降價(jià)x元，則商場(chǎng)平均每天可售的件數(shù)為：（20+2x）件；（2）根據(jù)題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200．解得x1＝20，x2＝10．答：應(yīng)降價(jià)20元或10元．20．（10分）（2023?湟中區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是256萬(wàn)元，假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本．【答案】（1）20%；（2）204.8萬(wàn)元．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1﹣x）2＝256，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合題意，舍去）．答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為20%．（2）256×（1﹣20%）＝204.8萬(wàn)元）．答：預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為204.8萬(wàn)元．21．（12分）（2023春?蓬萊區(qū)期中）（一）閱讀：求x2+6x+11的最小值．解：x2+6x＝11，＝x2+6x+9+2，＝（x+3）2+2，由于（x+3）2的值必定為非負(fù)數(shù)，所以（x+3）2+2，即x2+6x+11的最小值為2．思想總結(jié)：等式變形的關(guān)鍵是將“11”拆分成“9+2“，形成完全平方式“x2+6x+9”再逆用公式變形為平方形式．（二）解決問(wèn)題：（1）若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求（）﹣3的值；（2）對(duì)于多項(xiàng)式x2+y2+2x﹣2y+6，當(dāng)x，y取何值時(shí)有最小值，最小值為多少？【答案】（1）﹣1；（