第49講-直線與橢圓的位置關(guān)系(講)(解析版)

第49講直線與橢圓的位置關(guān)系（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝eq\f(2b2,a).2．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則(1)弦長(zhǎng)l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0). 題型歸納題型1直線與橢圓的位置關(guān)系【例1-1】（2020春?孝感期中）直線y＝kx+k與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+＝1總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)，利用直線y＝kx+k與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+＝1總有兩個(gè)公共點(diǎn)，列出不等式組求解即可．【解答】解：直線y＝kx+k恒過（﹣1，0），直線y＝kx+k與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+＝1總有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得：解得m∈（1，4）．故答案為：（1，4）．【例1-2】（2019秋?大興區(qū)期中）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)m取何值時(shí)，直線y＝x+m與橢圓C：有兩個(gè)公共點(diǎn)；只有一個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？【分析】（1）設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用交點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，），列出方程組，即可解出a，b的值，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立橢圓方程與直線y＝x+m，利用△的值即可求出直線y＝x+m與橢圓C：有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)時(shí)m的值．【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1，（a＞b＞0），由題意可得：，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＝1；（2）聯(lián)立，消去y得：7x2+8mx+4m2﹣12＝0，則△＝64m2﹣4×7×（4m2﹣12）＝336﹣48m2，①當(dāng)△＞0，即﹣時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴直線y＝x+m與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)△＝0，即m＝時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴直線y＝x+m與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，③當(dāng)△＜0，即m或m時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，∴直線y＝x+m與橢圓C沒有公共點(diǎn)．【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知直線l：y＝2x+m，橢圓C：+＝1，試問：當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C，（1）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒有公共點(diǎn)？【分析】直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：由，消去y化為：9x2+8mx+2m2﹣4＝0，計(jì)算△＝64m2﹣36（2m2﹣4）＝﹣12m2+144，令△＝0，得m2＝12，解得m＝±2；（1）當(dāng)﹣2＜m＜2時(shí)，△＞0，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，直線與橢圓有2個(gè)不重合的公共點(diǎn)；（2）當(dāng)m＝﹣2或m＝2時(shí)，△＝0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，直線與橢圓只有1個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)m＜﹣2或m＞2時(shí)，△＜0，方程有無實(shí)根，直線與橢圓沒有公共點(diǎn)．【名師指導(dǎo)】判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．(2)對(duì)于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn)．題型2弦長(zhǎng)問題【例2-1】（2019秋?北碚區(qū)期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（）和F2（），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線y＝x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．求：（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng)．【分析】（1）由橢圓C的焦點(diǎn)為F1（）和F2（），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB線段的中點(diǎn)為M（x0，y0），由，得10x2+36x+27＝0，故，，由此能求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵橢圓C的焦點(diǎn)為F1（）和F2（），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝2，a＝3，∴b＝1，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB線段的中點(diǎn)為M（x0，y0）由，消去y，得10x2+36x+27＝0，∴，，∴，∵，∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），＝＝．【例2-2】（2019秋?路南區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓方程；（2）過P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b，c即可；（2）設(shè)以點(diǎn)P（2，1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法求出k，然后求出直線方程，聯(lián)立解方程組，求出A，B，再求出|AB|．【解答】解：（1）由橢圓C：的離心率為＝，2b＝4得b＝2，設(shè)a＝2k，，b＝k＝2，所以a＝4，所以橢圓方程為．（2）設(shè)以點(diǎn)p（2，1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝4，則y1+y2＝2，分別代入橢圓的方程得，，，兩式相減可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）＝0，所以k＝＝﹣，∴點(diǎn)P（2，1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為x+2y﹣4＝0，由，得y（y﹣2）＝0，所以y＝0，x＝4；y＝2，x＝0，所以|AB|＝．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）橢圓＝1，過原點(diǎn)O斜率為的直線與橢圓交于C，D，若|CD|＝4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），則D（﹣m，﹣n），由弦長(zhǎng)公式可知|CD|＝＝4，由兩點(diǎn)間距離公式可知|CD|＝＝4，從而解得|m|＝1，|n|＝，代入橢圓方程求出b2的值即可得解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），則D（﹣m，﹣n），由弦長(zhǎng)公式可知，|CD|＝＝＝4，∴|m|＝1，由兩點(diǎn)間距離公式可知，|CD|＝＝4．∴|n|＝，代入橢圓方程有，，∴．∴橢圓的方程為．故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019?海安縣校級(jí)模擬）已知橢圓＝1的離心率為，以橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)與1個(gè)短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長(zhǎng)度為，求直線l的方程．【分析】（1）由題意可得：＝，?2cb＝2，a2＝b2+c2．聯(lián)立解得：a2，b2，c．可得橢圓的方程．（2）設(shè)直線l方程為：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)為：M（x0，y0）．與橢圓方程聯(lián)立化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，|AB|＝|x1﹣x2|＝．可得x0＝，點(diǎn)M到直線x＝1的距離為d＝|x0﹣1|＝．以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長(zhǎng)度為，得﹣d2＝，代入解出即可得出．【解答】解：（1）由題意可得：＝，?2cb＝2，a2＝b2+c2．聯(lián)立解得：a2＝6，b2＝2，c＝2．∴橢圓的方程為：+＝1．（2）設(shè)直線l方程為：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)為：M（x0，y0）．聯(lián)立，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，|AB|＝|x1﹣x2|＝＝．∴x0＝，點(diǎn)M到直線x＝1的距離為d＝|x0﹣1|＝|﹣1|＝．以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長(zhǎng)度為，得﹣d2＝，∴﹣＝，解得k＝±1．∴直線l的方程為：y＝±（x﹣2）．【名師指導(dǎo)】1．弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；③|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；④|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).2．弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用技巧弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計(jì)算量的大小．我們的經(jīng)驗(yàn)是：若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y＝kx＋b便于運(yùn)算，即“定點(diǎn)落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在橫軸上，一般設(shè)為my＝x－a可以減小運(yùn)算量，即“直線定點(diǎn)落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”．題型3中點(diǎn)弦問題【例3-1】（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）已知：橢圓+＝1，求：（1）以P（2，﹣1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；（2）斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程．【分析】（1）設(shè)弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），可得：+＝1，+＝1，相減化簡(jiǎn)再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．（2）設(shè)直線方程為：y＝2x+m，弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），中點(diǎn)M（x，y）．與橢圓方程聯(lián)立化為：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，由△＞0，化為：m2＜68．再利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．【解答】解：（1）設(shè)弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），可得：+＝1，+＝1，相減可得：+＝0，把＝2，＝﹣1，k＝代入可得：k＝．∴以P（2，﹣1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為：y+1＝（x﹣2），化為：x﹣2y﹣4＝0．（2）設(shè)直線方程為：y＝2x+m，弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），中點(diǎn)M（x，y）．聯(lián)立，化為：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，△＝256m2﹣68（4m2﹣16）＞0，化為：m2＜68．∴x1+x2＝﹣＝2x，化為：x＝．y＝2×+m＝．∴y＝﹣x．【例3-2】（2019?懷化模擬）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F恰為圓F：的圓心，直線l：y＝3x﹣2截C所得弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則C的短軸長(zhǎng)為10．【分析】橢圓被直線l：y＝3x﹣2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，可得中點(diǎn)M（，﹣）．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（a＞b＞0）．設(shè)直線l與橢圓相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．利用平方差法及其a2﹣b2＝50，聯(lián)立解得a2，b2．【解答】解：橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F恰為圓F：的圓心，所以c＝5，橢圓被直線l：y＝3x﹣2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)：＝，所以中點(diǎn)M（，﹣）．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（a＞b＞0）．設(shè)直線l與橢圓相交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．則，，相減可得：，又y1+y2＝﹣1，x1+x2＝1，＝＝3，又a2﹣b2＝50，聯(lián)立解得a2＝75，b2＝25．∴則C的短軸長(zhǎng)為：10．故答案為：10．【例3-3】（2019?深圳二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，且點(diǎn)F1關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為M．若MF2⊥F1F2，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【分析】畫出圖形，利用已知條件求出A的坐標(biāo)，然后求解MF1的中點(diǎn)，代入直線方程，即可求解橢圓的離心率．【解答】解：F1、F2分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于直線AB：bx﹣ay＝ab的對(duì)稱點(diǎn)M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程為x＝c，MF1的方程y＝﹣，可得M（c，﹣），MF1的中點(diǎn)為（0，﹣），代入直線bx+ay＝ab，可得：ac＝b2＝a2﹣c2，e＝＞1，可得e2+e﹣1＝0，解得e＝．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?香坊區(qū)校級(jí)三模）已知斜率為k1（k1≠0）的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C，直線OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，則k1?k2＝（）A． B．﹣4 C． D．﹣2【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），因?yàn)锳B中點(diǎn)為C，推出x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0①，再把x12+＝1，x22+＝1，兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+＝0，把①代入得1+k1k2＝0，推出k1k2＝﹣4．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），則x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，①因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在橢圓x2+＝1上，所以x12+＝1，x22+＝1，兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+＝0，把①代入得，1+＝1+k1k2＝0，故k1k2＝﹣4．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019秋?寧陽縣校級(jí)期中）已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)在橢圓上，（Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）斜率為k的直線l過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直，直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，由橢圓可得，解出即可得出．（Ⅱ）解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），直線AB的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），代入橢圓方程可得（3k2+2）x2﹣6k2x+3（k2﹣2）＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N的坐標(biāo)，可得AB的垂直平分線NG的方程為，進(jìn)而得出．解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入橢圓方程相減可得：，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式可得斜率k＝﹣，又，可得，又（x0，y0）在橢圓內(nèi)，即，可得0＜x0＜1，利用AB的垂直平分線為，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，則由（2）得6a2+3b2＝4a2b2（3）由（1）得b2＝a2﹣1代入（3）得6a2+3（a2﹣1）＝4a2（a2﹣1），即4a4﹣13a2+3＝0，即（4a2﹣1）（a2﹣3）＝0a2＝3，或∵a2＞1，∴a2＝3，得，∴b2＝2，，∴橢圓方程為．（Ⅱ）解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），直線AB的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），代入，整理得（3k2+2）x2﹣6k2x+3（k2﹣2）＝0，∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則，，∴，，∴AB的垂直平分線NG的方程為，y＝0時(shí)，，∵k≠0，∴3（3k2+2）＞6，，，∴．解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），由，（1）﹣（2）得，斜率，又，∴，∴，得0＜x0＜1，∵（x0，y0）在橢圓內(nèi)，即，將代入得，解得x0＜3∴0＜x0＜1，則AB的垂直平分線為，y＝0時(shí)，．【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020?婁底模擬）已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，A、B兩點(diǎn)是橢圓E上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，若△ABF能構(gòu)成一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率e＝（）A． B． C．﹣1 D．2﹣【分析】取右焦點(diǎn)F'，連接BF'，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【解答】解：如圖，設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F'，連接BF'，則四邊形FABF'為等腰梯形，其中，∴，，，∴在焦點(diǎn)三角形△FF′B中，，即橢圓E的離心率為．故選：C．【名師指導(dǎo)】1.處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq\f(y1－y2,x1－x2)三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式可求得斜率．(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解．2.求解橢圓上對(duì)稱問題的常用方法（1）將對(duì)稱兩點(diǎn)所在的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由Δ＞0建立不等關(guān)系，再由對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)系消參，由不等關(guān)系確定范圍．（2）用參數(shù)表示中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式得參數(shù)范圍．題型4橢圓與向量的綜合問題【例4-1】（2020春?山西期中）設(shè)點(diǎn)M和N分別是橢圓C：＝1（a＞0）上不同的兩點(diǎn)，線段MN最長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過點(diǎn)Q（0，2），且＞0，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)線段MN為長(zhǎng)軸時(shí)，其長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以4＝2a，a＝2，于是可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx+2，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0解得，寫出韋達(dá)定理，并求得y1y2＝，因?yàn)椋詘1x2+y1y2＞0，又解得k2＜4，故①．然后設(shè)直線OP的斜率為k'，利用點(diǎn)差法可得②，由①②即可求出直線OP斜率的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)榫€段MN最長(zhǎng)為4，所以4＝2a，即a＝2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知，直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx+2，聯(lián)立，整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12＝16（4k2﹣3）＞0，可得．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝．因?yàn)?，所以，即k2＜4，故．設(shè)直線OP的斜率為k'，因?yàn)?，兩式相減得，所以，則，故直線OP的斜率的取值范圍是．【例4-2】（2019秋?洛陽期末）已知P（2，0）為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C的長(zhǎng)軸上，過點(diǎn)M且不與x軸重合的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若＝2，求△OAB面積的最大值．【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），可得kPA?kPB＝＝﹣．又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，a＝2，解得b，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線AB的方程為：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立化為：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，有＝2，可得y1＝﹣2y2，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：m2＝．△OAB的面積S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，即可得出．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），則kPA?kPB＝＝﹣．又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，又a＝2，解得b＝1．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+y2＝1．（2）設(shè)直線AB的方程為：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2