模型E03 輔助圓模型（解析版）

輔助圓模型輔助圓模型模型講解模型講解一、定點定長1、O為定點，OA=OB，且長度固定，那么O、A、B三點可以確定一個圓，動點P在圓弧AB上運動，如圖所示，Q為圓外一定點，當P運動到OQ的連線上時，即：P落到P1處，O、P1、Q三點共線時，PQ最小。二、定弦定角2、線段AB固定，Q為動點，且∠AQB為定值，那么Q、A、B三點可以確定一個圓，動點Q在圓弧AB上運動，如圖所示，R為圓外一定點，當Q運動到OQ的連線上時，即：P落到P1處，O、P1、Q三點共線時，RQ最小。方法點撥一、題型特征：①動點的運動軌跡為圓。②圓外一點到圓上一點的距離最短：即圓外一點與圓心連線與圓的交點。③常見確定圓的模型：定點定長、定弦定角。二、模型本質：兩點之間，線段最短。例題演練例題演練1．如圖，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E為BC的中點，則DE的最小值為（）A．3﹣3 B．3 C．3﹣3 D．2【解答】解：取AB的中點O，連接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值為3﹣3，故選：C．強化訓練強化訓練1．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，點P為矩形內一動點，且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為（）A．5 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴點P在以BC為直徑的⊙O上，連接OD交⊙O于P′，連接OP、PD，如圖，∵PD≥OD﹣OP（當且僅當O、P、D共線時，取等號），即P點運動到P′位置時，PD的值最小，最小值為DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴線段PD的最小值為1．故選：B．2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形內部的一個動點，且AE⊥BE，則線段CE的最小值為2﹣2．【解答】解：如圖，∵AE⊥BE，∴點E在以AB為直徑的半⊙O上，連接CO交⊙O于點E′，∴當點E位于點E′位置時，線段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，則CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，故答案為：2﹣2．3．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2．若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點P的運動軌跡是，當O、P、B共線時，PB長度最小，設OB交AC于D，如圖所示：此時PA＝PC，OB⊥AC，則AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD?tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案為：．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面內的一個動點，且滿足∠AEB＝90°，連接CE，則線段CE長的最大值為2+2．【解答】解：∵∠AEB＝90°，∴點E在以AB為直徑的圓上，如圖所示，設圓心為O，∵AB＝4，AB是⊙O的直徑，∴OE＝2，在Rt△OBC中，OC＝，∴當點E在CO的延長線上時，CE有最大值，∴CE的最大值＝OE+OC＝2+2，∴CE的最大值＝2+2．故答案為：2+2．5．如圖1，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A，B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離．（1）探究一：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是﹣1．（2）探究二：如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′C長度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，若AD＝4，試求出線段CP的最小值．【解答】解：（1）找到BC的中點E，連接AE，交半圓于P2，在半圓上任取P1，連接AP1，EP1，可見，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CE＝BC＝1∴AE＝，∵P2E＝1，∴AP2＝﹣1．故答案為：﹣1．（2）如圖所示：因為點M是AD的中點，∴AM＝MA′＝AD＝1，由于△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN∴MA′＝AM＝1是定值，當點A′在MC上時，A′C長度最?。^點M作ME⊥DC于點E∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M為AD中點，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠EDM＝60°，∴∠EMD＝30°，∴ED＝MD＝，∴EM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝，∴A′C＝MC﹣MA′＝．答：A′C長度的最小值為．（3）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝4，∠ADC＝∠C＝90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF；由于點P在運動中保持∠APD＝90°，∴點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設AD的中點為Q，連接QC交弧于點P，此時CP的長度最小，在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2．答：線段CP的最小值為2﹣2．1．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是﹣1．【解答】解：如圖所示：∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即