2023海文高數(shù)趙達(dá)夫強(qiáng)化班講義

高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化講義

一函數(shù)極限連續(xù)

§1函數(shù)

一函數(shù)的基本概念

。是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，設(shè)有一個(gè)對應(yīng)規(guī)則了,使每一個(gè)xe。，都有一個(gè)確定

的實(shí)數(shù))，與之對應(yīng)，則稱這個(gè)對應(yīng)規(guī)則/為定義在。上的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，或稱

變量y是變量x的函數(shù)，記作y=/(x),xeD.

二函數(shù)的基本性態(tài)

1奇偶性

⑴定義:偶/(一幻=/(X)；奇f(-x)=/(X)0

(2)導(dǎo)函數(shù)：奇導(dǎo)偶，偶導(dǎo)奇.

(3)原函數(shù)：奇原偶，偶函數(shù)的原函數(shù)有且僅有一個(gè)為奇函數(shù)，其中

X偶J(x)奇

0.奇偶

2有界性

(1)定義：X/xeX,有\(zhòng)f(x)\<M.

(2)無界：VM>0,3x&X,有\(zhòng)f(x)\>M.

(3)無界與無窮：無界的本質(zhì)是有一個(gè)子列趨向于無窮;

無窮的本質(zhì)是隨意的子列趨向無窮。

(4)常見有界的判定：設(shè)/(x)在［a,目連續(xù)，則/(x)在［a,0有界.

設(shè)/(X)在(a,b)連續(xù),且lim/(x),lim/(x)存在，則/(x)在(a,匕)有界.

3周期性

(1)定義：/(x+T)=/(x)

(2)導(dǎo)函數(shù)：導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù)并且周期相同

注：周期函數(shù)的原函數(shù)不肯定為周期函數(shù)。

4單調(diào)性

⑴定義:遞增(遞減)當(dāng)玉<々時(shí)，均有/(%)</(%)(或〃X)〉/(工2))

(2)導(dǎo)函數(shù)：/(x)>(<)0與士/(x)單增(減)；/0)2(00^^/(%)單增(減).

題型一無界與無窮的判定

例1設(shè)/(x)=泥8sxsinx,貝獷(x)是()

(A)偶函數(shù)(B)有界函數(shù)

(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù).

例2當(dāng)x->0時(shí)，變量4sin，是

)

(A)無窮小(B)無窮大

(C)有界的，但不是無窮小量(D)無界的，但不是無窮大

題型二函數(shù)性態(tài)的判定

例3設(shè)f(x)是一個(gè)奇的連續(xù)函數(shù),則下面必定是奇函數(shù)的是()

X

(B)j(/⑺—/(T)W

(A)

00

(C)f\x)(D)依據(jù)上面條件無法推斷

例4設(shè)函數(shù)/(X)具有二階導(dǎo)數(shù)，并滿意f(x)=-/(-x),且f(x)=/(x+l).若

/,(1)>0,則()

(A)y"(-5)</'(-5)</(-5).(B)/(5)=/"(-5)</'(-5).

(07'(-5)</(-5)</"(-5).(D)/(-5)</'(-5)=/"(-5).

練習(xí)：設(shè)/(x)在(-8,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且對隨意和無2，當(dāng)王時(shí)，都有

/(.V,)>f(x2),則()

(A)對隨意x,f\x)>0(B)對隨意x,f\-x)<0

(C)函數(shù)./X-x)單調(diào)增加(D)函數(shù)/X-x)單調(diào)增加.

例5設(shè)函數(shù)加)=震器呆在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界()

A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)

三各種其他的函數(shù)

1分段函數(shù)：函數(shù)關(guān)系要用兩個(gè)或多于兩個(gè)的數(shù)學(xué)式子來表達(dá)

2復(fù)合函數(shù)S(x)]：y=/(〃)與〃=e(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，“為中間變量.

3反函數(shù)、隱函數(shù)

⑴原來的函數(shù)為y=/(x),若把y作為自變量，x作為因變量，便得一個(gè)函數(shù)

x=e(y),且/Wy)]=y，稱x=0(y)為y=/(x)的反函數(shù).

(2)隱函數(shù)：F(x,y)=Q.

4初等函數(shù)

(1)基本初等函數(shù)：常數(shù)，器，指數(shù)，對數(shù)，三角，反三角.

(2)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)，稱為初等函數(shù).

題型三分段函數(shù)的復(fù)合

方法：各種情形分別探討.

4-|0,x<02—%2,國＜1

例6設(shè)>n/(x)=(試求f[g(x)]，g"(x)].

1,x>0|x|-2,匹1

§2極限

一極限的概念

1數(shù)列極限：limx“=ao對于X/￡>0mV>0當(dāng)“〉N時(shí)有l(wèi)xn—?|<￡.

2函數(shù)的極限

(1)xf/(自變量趨向于有限值的情形)

(a)lim/(x)=Aoxf/,/(x)->AoVe>0,3<5>0,當(dāng)|<S時(shí),

有"(X)-A|<￡.

(b)lim/(x)=4(左極限)

x->b一

lim/(x)=A(右極限)<=>x->x0+,/(x)->A,.

XT%)+

(c)limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A,

XTXOXT與-1-?與+

⑵Xf8(自變量趨向于無窮大的情形)

(a)lim/(x)=A=x-oo,/(x)-AoVe>0,3M>0,當(dāng)|x|>M時(shí)，

x—>00

有|/(X)-A|V￡.

(b)limf(x)-ox->-oo"(x)fA.

lim/(x)=4u>x—>4-oo,/(x)—>4.

XT+cc

(c)lim/(x)=Aolimf(x)=limf(x)=A.

X->CCX->-<OXT+00

(3)常見有不同極限的函數(shù)：分段函數(shù)、/,arctan無

二極限的性質(zhì)

1有界性：lim=a=>{%}有界；

lim/(x)=a=>3^>O,O<|x-x|<瓦f(x)有界

XT%o

2有理運(yùn)算性質(zhì)：

(1)若lim/(x)=A,limg(x)=B,則(a)lim[/(x)±g(x)]=A±B

XT與XT而r-?A0

(b)lim/(x)g(x)=AB(c)lim—(B0)?

X?oXT?與g(x)B

(2)推廣：加減法只要其中的一個(gè)極限存在，乘除法只要其中一個(gè)極限存在且不

為0,上述運(yùn)算法則就成立.

⑶延長：若lim/^=A,貝IJ

-g(x)

(a)limg(x)=0=lim/(%)=0;(b)limf(x)=0,A聲0nlimg(x)=0.

XT%XT與XT與XT而

例設(shè)lim二丹t=3,求。和無

esin(x2-l)

3保號性：lim/(x)>(<)0nmb>0,當(dāng)0Vx—/l<'有/(x)>(<)0

XT與

三極限的兩個(gè)存在準(zhǔn)則

(1)單調(diào)有界定理：若數(shù)列｛玉｝單調(diào)且有界，則｛%｝有極限.

(2)夾逼準(zhǔn)則：設(shè)在%的領(lǐng)域內(nèi)恒有8(x)W/(x)〈0x),且

lime(x)=limi//(x)-A,則lim/(%)=A.

XT%)X—>X0%—%

四無窮小和無窮大

1無窮大量：若lim/'(x)=8,/1(x)稱為xfX。的無窮大量.

XT與

正無窮：limf(x)=+co；負(fù)無窮：lim/(x)=-oo.

XT而X->兩

2無窮小量：若limf(x)=0,稱/(x)是xf/時(shí)的無窮小量。

(1)設(shè)/(x)、g(x)都是x-尤0時(shí)的無窮小量，若且Iim4W=/,

ig(x)

(a)1=0,稱/(x)是比g(x)高階的無窮小,記以/(x)=o[g(x)],

(b)/wO,稱/(x)與g(x)是同階無窮小。

(c)/=1,稱/(x)與g(x)是等階無窮小，記以_/(x)~g(x).

⑵若/'(x),g(x)為無窮小，且聲0,稱/'*)是g(x)的左階無窮小.

(3)無窮小的性質(zhì)：無窮小乘以有界為無窮小；

有限個(gè)無窮小的和(乘積)仍舊為無窮小.

(4)等價(jià)無窮小的作用：若a'~a,0'~0,則lim/=lim奈

(5)如何得到加減的等價(jià)無窮?。禾├斩ɡ?

3無窮小和無窮大關(guān)系：非零無窮小的倒數(shù)為無窮大；

無窮大的倒數(shù)為無窮小.

題型一：極限概念、性質(zhì)和存在準(zhǔn)則的探討

核心點(diǎn)：相關(guān)定理、定理的反問題、定理削減條件后的情形

例1設(shè)對Vx,有夕(x)</(x)Wg(x)且lim[g(x)-°(x)]=0,貝ljlim/(x)()

A存在且為0B存在但不肯定為0

C肯定不存在D不肯定存在

例2設(shè)數(shù)列｛%｝與｛y,J滿意limx,,%=0,則下面斷言正確的是()

71—>00

A若｛x,J發(fā)散，則｛y“｝必發(fā)散，B若｛X,,｝無界，則｛y,J必有界

C若｛相｝有界，則｛笫｝必為無窮小D若｛'｝為無窮小，則｛券｝必為無窮小

例3設(shè){a,,},{）“},{%}均為非負(fù)數(shù)列，且lima”=0,limb”=1,lime”=oo,則（）

Aan<Z??,V?Bbn<q,,V〃

Clima,,%不存在D不存在

例4設(shè)函數(shù)/(x)在(TO,+00)內(nèi)單調(diào)有界，｛x,J為數(shù)列，下面命題正確的是()

A若｛%｝收斂，則"(七)｝必收斂B若｛X,｝單調(diào)，貝！|｛/(x.)｝必收斂

C若"(%)｝收斂，則｛x,J收斂D若｛/”")｝單調(diào)，則｛%｝收斂

題型二求函數(shù)的極限

步驟1：四則運(yùn)算和等價(jià)無窮小

注1：四則運(yùn)算特殊要留意左右極限不同的情形.

注2：常見的等價(jià)無窮小當(dāng)x-0時(shí)，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,

arctanx?x,l-cosx-；/,exx,lim(1+x)-x,(1+x)rt-ax

nn

當(dāng)xfoo時(shí)，anx+a?_xx^++a0~anx".

例5求極限則十一2；

1+e"

例6若無一＞0時(shí)_］與尤sinx是等價(jià)無窮小，則。=

xln(l+x)

例7lim--------=_________

XT01-COSX

例8求/=lim（2>+1）"（.二1；5史+￡）

例9求/=hmx2(ex-ex+l)

XTO

例10求lim

例11求limx2(arctan——arctan----)

mexx+1

例12設(shè)limln(l+/(x)sm5x)=［，求］出/(x)

A->02"-1KT。

步驟2：恒等變形

（1）.含〃3心）的極限.

(a)若干脆計(jì)算且M(X)->1,干脆利用公式

limu(x)v(x)=exp((w(x)—l)v(x))

(b)將u(x)vW寫成“(x)心)=exp(v(x)Inu(x))求解.

例13求lim(但吧丫9”.

3J

2+cosx

例14lim-1)

*f°x3

(2)有理化變形&-初=:一”廠,也-。=「。二「

&+揚(yáng)行+疹+病

例15/^lim^cVx+S-Vx+T)

XTOO

(3)分子、分母同時(shí)除以最大的無窮大方

00

常見的無窮比較：%—>+8,Inx?xa(a>0)?x。(0>0)?a\a>1)

例16求lim"“丁1+山

17yjx2+COSX

mi…小1/、vsin2x+2d”cosx_p._.

例17設(shè)/(x)=lim--------------------,求hvm/(xz).

xf°x+eio

步驟3：洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)定義

（1）先進(jìn)行步驟1和2,然后再用第3步，符合洛必達(dá)法則用洛比達(dá)法則；

（2）若洛必達(dá)法則無法運(yùn)用，則利用導(dǎo)數(shù)定義求解，此類問題一般為抽象型問

題.

X2

x2-jcosrdt

例18求lim----%----

iosinx

,丫56

例19設(shè)函數(shù)〃x)=]Lsin(/."⑴4+2■，則當(dāng)x.0時(shí)，/(%)

是g（x）的（）［無窮小量的比較］

（A）低階無窮小（B）高階無窮小

（C）等價(jià)無窮小（D）同階但不等價(jià)的無窮小

例20

X

,f(x+xy)

例21設(shè)/（幻〉0且可微，求極限lim

y->0/(x)

步驟3'：泰勒定理

含：sinx,cosx,(l+x)a,ln(l+x),e*可干脆利用Peano形式的泰勒定理.

例22求lim(止二-工).

“。1-""x

題型三求數(shù)列的極限

方法1：將〃換成x,干脆利用求函數(shù)極限的方法求解.

例23limtan"(-+-).

”->84n

/啦(l-cos!)

例24求lim---,——--

—V?2+l-?

方法2：單調(diào)有界必有極限，應(yīng)用在遞推數(shù)列求極限

例25設(shè)0〈再<3,且/川=,怎(3—七),證明｛當(dāng)｝極限存在并且此極限.

方法3：夾逼準(zhǔn)則.

例26求lim業(yè)；+田+…+,其中p〉0,q.>0.

題型四求數(shù)列連加和的極限

方法1：干脆合并

門22〃2

例27求lim-y+—2++—

n'n

方法2：夾逼準(zhǔn)則

一般狀況下只放分母不放分子，且必需使左右兩邊的放縮項(xiàng)極限相同.

例28求limf-i1+-i2,+.+〃

2”〃6+〃7?6+2Hy/n6+n2J

方法3：定積分定義.若函數(shù)/Xx）在區(qū)間［0,1］上可積，則

例29求lim|+———F+---

n+ln+2n+n

(.n.2%

sin—sin——

sm7

例30lim―———+

…n+1l

n+n+r

I2nJ

練習(xí)：lim"(1+-)(1+-)(1+-)

8Vnnn

題型五已知極限求未知參數(shù)

1若是Xf8的多項(xiàng)式型問題，考慮多項(xiàng)式的最高次數(shù).

2若是9型，依據(jù)分子或分母極限為0得到一個(gè)參數(shù)再求解其他參數(shù).

0

例31設(shè)+3/+2)'=1,求c,/.

例32確定〃也c值,使lim-.h0).

-Ldt

,t

§3連續(xù)

一連續(xù)與間斷

1連續(xù)的概念

⑴若limf(x)=y(x),則稱/(x)在點(diǎn)x處連續(xù)。

XT%)0Q

⑵若lim/(x)=/(x),則稱函數(shù)/(尤)在點(diǎn)/處左連續(xù)；假如lim/(x)=/(x),

KT壇0X->后0

則稱函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處右連續(xù).假如函數(shù))=/(X)在點(diǎn)X。處連續(xù)，則/(X)在X。

處既是左連續(xù)，又是右連續(xù).

2間斷點(diǎn)的分類：非連續(xù)點(diǎn)鷺〃尤)47(%)

(1)第一類間斷點(diǎn)：lim/(x)與lim/(x)都存在的間斷點(diǎn)：

X->X0XTX().

若lim/(%)*lim/(x),則稱與為跳動(dòng)型間斷點(diǎn).

X->XQ~

若Hm/(x)=lim/(x),則稱/為可去間斷點(diǎn).

(2)其次類間斷點(diǎn)：lira/(x)與lira/。)中至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)

+

工-?而x->x0

若lim/(x)與lim./(x)中至少有一個(gè)為無窮大，則稱與為無窮型間斷點(diǎn).

+

x->x0~A->A0

當(dāng)XfX。時(shí)函數(shù)值在搖擺，稱為搖擺型間斷點(diǎn).

3間斷點(diǎn)可能情形：定義域的端點(diǎn)、分段函數(shù)分段點(diǎn).

二連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1連續(xù)函數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).

(1)若y(x),g(x)在與連續(xù)，則y(x)士g(x),y(x)g(x)在與連續(xù)，若還有條件

g(xo)*O,則等在在小也連續(xù).

g(x)

(2)若/(x)在X。連續(xù)，g(x)在八龍。)連續(xù)，則g(/(x))在在X。連續(xù).

(3)初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù).

2閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)/(x)

(1)(有界性定理)/(x)在［a,b］上有界。

(2)(最值定理)/(x)在［a,b］上有最大值和最小值.

(3)(介值定理)設(shè)利,M為/(幻在［a,b］上的最小值最大值，則對Vc(,〃<c<M),

至少存在一點(diǎn),使/(")=c.

(4)(零點(diǎn)定理)若/(a〉/?<0,則至少存在一點(diǎn)4《凡可，使/C)=0.

注：若/'(辦/(加<0,則至少存在一點(diǎn)穴。力)，使/O=0.

題型一：探討連續(xù)性與間斷點(diǎn)的類型

詳細(xì)函數(shù)：一般利用連續(xù)與間斷的定義.

抽象函數(shù)：一般利用連續(xù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì).

例1設(shè)/(X)和夕(X)在(YO+8)內(nèi)有定義，/(X)為連續(xù)函數(shù)，且/(X)H0,0(X)有

間斷點(diǎn)，則

(A)0［"力］必有間斷點(diǎn)。(B)e［/(x)］2必有間斷點(diǎn)。

(C)/［。(切必有間斷點(diǎn)。(D)必有間斷點(diǎn)。

1+X

例2設(shè)函數(shù)/(x)=lim----—探討函數(shù)/（X）的間斷點(diǎn)，其結(jié)論為（）

"f81+x

（A）不存在間斷點(diǎn)（B）存在間斷點(diǎn)％=1

（C）存在間斷點(diǎn)％=0（D）存在間斷點(diǎn)％=-1

-yIn[1+x3)sin—,x<0,

xv'x

例3設(shè)/(x)=<0,x=0,則/(x)在彳=。處()

—￡sin(r)dt,x>0,

（A）極限不存在（B）極限存在，但不連續(xù)

（C）連續(xù)，但不行導(dǎo)（D）可導(dǎo)

例4求0m…⑴的間斷點(diǎn)，并判別其類型。

f'sinx）

題型二：證明遮/C)=C或者方程F(x)=c有根.

若詳細(xì)已知了某些函數(shù)值或者函數(shù)值的等式，用零點(diǎn)定理；

若沒有這些信息，一般實(shí)行介值定理，只要證明mWcWM.

例5設(shè)/.(x)在［a,句連續(xù)，且犬］,々，.，七e(a,b),求證存在使得

f?=Nf(x)f(X2)/(。).

例6設(shè)八幻是［0,1］上非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且/(0)=/⑴=0.證明：對隨意實(shí)數(shù)廣

(0<r<l),必存在%€［0,必使得y+re［0,l］,且/(/)=/(%+廠)。

例5設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù),即(0)=/⑴，

(1)證明：存在Je［0,1］,使/■?=/?+》；

(2)證明：存在〃e［0,1］，使/?(〃)=/(〃+，)(〃>2且”為正整數(shù)).

其次章一元函數(shù)微分學(xué)

§1導(dǎo)數(shù)與微分

一導(dǎo)數(shù)與微分的基本概念

1導(dǎo)數(shù)的概念：/5)=lim/(/+?>/(/)=lim"x)T(x。)

ADAr1%x-x(.

左導(dǎo)數(shù)：￡，)=lim/右導(dǎo)數(shù)：/5)=lim/X。十八')一”~>)

?THAX-—Ax

導(dǎo)數(shù)存在O左右導(dǎo)數(shù)存在且相等

2微分的基本概念

(1)/(x)在/可微：/(x0+Ax)-/(x0)=AAx+<?(Ax)(Ax->0).

/(x)在x=/的微分"(x)|*=而=AAx=Adx

(2)/(x)在x<)可微o/(x)在/可導(dǎo)且A=/'(x0)

4(x)|"=/'U0)Ax=fXx^dx

3可導(dǎo)(微)、連續(xù)關(guān)系：1(%)存在o/(x)在與可微/(x)在x0連續(xù).

4導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率

題型一：可導(dǎo)性的探討

核心點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義，特殊要對于分段函數(shù)要分左右導(dǎo)數(shù)探討.

例1設(shè)函數(shù)/(幻在x=0連續(xù)，則下面命題錯(cuò)誤的是()

(A)若1加絲存在，則/(0)=0(B)若Am存在,則/(0)=0

x->0%x-?0x

(C)若lim//存在，則尸(0)存在(D)若lim'⑴二"R存在,則尸(0)存在

xf0xx->0%

例2設(shè)/(0)=0,/(x)在x=0可導(dǎo)的充要條件的是()

(A)lim/(i°sh)存在(B)linT/O-e)存在

。->0h220h

(C)"…)存在⑺1用伽f㈤存在

A—>0h~A->oh

例3設(shè)/(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=/(x)(l+|sinx|),則/(0)=0是/(幻在x=0可導(dǎo)的()條件

(A)充分必要(B)充分非必要(C)必要非充分(D)即非充分也非必要

注：若，(%)=|工-々|9(%)且夕(%)在％=4連續(xù),廣(4)存在。0(。)=0.

例4函數(shù)/(x)=(f—x—2獷_耳有()個(gè)不行導(dǎo)點(diǎn).

(A)3；(B)2；(C)1；(D)0.

二導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算公式

1導(dǎo)數(shù)的有理運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算法則

(1)"±力)'=工.±￡(2)"6)'=/工+工￡

(3)夕(4)"(力(x))]'=/"(》))&'(x)

2微分的有理運(yùn)算和形式不變性

/八、jjJ』、vdu-udv

⑴d{u±v)=au±av,a(wv)=vdu+udv,a(—)=--------

vv-

(2)df(u)=f'(u)du,不管〃是最終變量還是中間變量.

3特殊函數(shù)求導(dǎo)法

⑴反函數(shù)求導(dǎo)：力(丁)=士，2T

>(》)[y'W]

⑵參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)：女=皿，⑺。

dxx\t)dx-[%,(?)]

(3)隱函數(shù)求導(dǎo)三大方法：干脆求導(dǎo)、干脆微分、公式法.

⑷變上限函數(shù)求導(dǎo)：設(shè)/(x)在L㈤上連續(xù)，則=

推廣：=，[網(wǎng)(x)M'(x)-f(切，(x)

4連環(huán)相乘的對數(shù)求導(dǎo)法：應(yīng)用在形如/"）=/（幻”">〃2（%）"“"“。產(chǎn)⑴的函數(shù)

兩邊取對數(shù)Inf(x)=v,(x)Inu,(x)+v2(x)Inu2(x)++v?(x)lnM?(X)

從而=(Vj(x)Inu}(x)+v2(x)Inu2(x)++vn(x)Inwn(x))'

fM

題型二：求顯函數(shù)的導(dǎo)師

（1）定義：探討可導(dǎo)性、分段函數(shù)求導(dǎo)；求函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).

（2）公式：四則、復(fù)合、對數(shù).

例5設(shè),/?*）=:二巨三，求尸（尤）

(3+4

(x-l)(x-2)(100)求

例6設(shè)f(x)=(x+l)(x+2)(x+100)'」

例7設(shè)/（幻=（1+/產(chǎn)”,求廣（無）.

jf(xt')dt,x<0

例8設(shè)尸(x)在x=0連續(xù)，且lim/^=2,令尸(x)=|0,x=0,求F(x).

10X

y--z-?/_VQ__y--f-

例9設(shè)夕(x)=(/，且/(x)在x=0可導(dǎo)，令/(%)=/"(%)),求小(0).

0,x=0

題型三：隱函數(shù)和參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)有三種方法：一般情形下求導(dǎo)和求微分的方法等價(jià).但若只要求隱函

數(shù)在某點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))一般實(shí)行干脆求導(dǎo)得到的關(guān)系，不實(shí)行解出

)，'再求導(dǎo)的方法而實(shí)行干脆對關(guān)系式求導(dǎo)的方法.

例10函數(shù)y=y(x)由方程y=tan(x+y)確定,求

例11設(shè)可導(dǎo)函數(shù)＞=y(x)由方程sinx-j°(M)JM=0確定,其中可導(dǎo)函數(shù)

X

且9(0)=0(0),求y”(0).

1=3廠+2，+3匕匚*々上d~y.

例12設(shè)設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程"-)，+1=。所確定'求U"

三高階導(dǎo)數(shù)

⑴r(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)稱為“X)在點(diǎn)X。處的二階導(dǎo)數(shù)，記以/〃(x0).若“X)

的〃-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為y=f(x)的〃階導(dǎo)數(shù)，記為例)(無)或

ax

(2)運(yùn)算法則:(〃(x)+v(x))""=〃(x嚴(yán)+v(x)⑺，(心)v(x))⑺=￡C3(X)%(X)(M)

k=0

⑶常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：(優(yōu)嚴(yán)=a'(lna)",(/嚴(yán)=",

sin(ox+0)""'=a"sin(ax+(p+m

[(1+x)'"]⑺=[m(m-l)-(7??-?+1)(1+x)'n~n,m>n

0,m<n

題型四求高階導(dǎo)數(shù)

1干脆將函數(shù)寫成常見函數(shù)的加減式，然后利用常見函數(shù)的公式求解.

2若函數(shù)為/(x)=fg(x),利用萊布尼茨公式求解.

3若只求某點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)/"Q),利用泰勒公式〃x)=￡/⑼⑷(X-。)"

n=0

例13設(shè))求/伙》).

x-5x+6

例14求函數(shù)/(x)=fin(l+x)在0點(diǎn)的100階導(dǎo)數(shù)/<100,(0).

§2中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一微分中值定理

1洛爾定理：設(shè)函數(shù)/(X)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(。力)內(nèi)可導(dǎo)

f(a)=f(b),則存在)w(a,。),使得r?=0.

2拉格朗日定理：設(shè)函數(shù)/(九)在閉區(qū)間[a,“上連續(xù)，在開區(qū)間(a㈤內(nèi)可導(dǎo)，則

存在Jw(a,彷，使得叱)-/(")=『⑥.

b-a

推論：若在(a,乃內(nèi)可導(dǎo)，且:(x)=0,則/(x)在(a㈤內(nèi)為常數(shù)。

冗

例證明arctanex+arctanex=—.

3柯西中值定理:設(shè)函數(shù)/(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,河內(nèi)皆連續(xù)，在開區(qū)間(a⑹內(nèi)

/⑸―加)/團(tuán)

皆可導(dǎo)，且g'(x)N0,則存在使得(a<J<〃)。

g0)-g(a)g'G)

二泰勒定理(泰勒公式)

⑴Lagrange余項(xiàng)：設(shè)/(x)在包含/的區(qū)間(?？?內(nèi)有〃+1階導(dǎo)數(shù)，在上有

”階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對xe[a,“，有公式

/(x)=〃x°)+牛(x-x°)+售(x-x。-…+

⑵皮亞諾余項(xiàng)：設(shè)f(x)在X。處有〃階導(dǎo)數(shù)，則有

小)=/小)+乎(》7。)+空(x-xj++^^(xr°)"+H(xrj]

1!2!n\L」

注：上面展式稱為以與為中心的〃階泰勒公式；x0=0時(shí)，也稱為麥克勞林公式。

(3)ex,sinx,cosx,ln(l+x)和(l+x)0等的〃階泰勒公式.

三極值

1若對點(diǎn)x。，存在它的某一鄰域，使得其中vMxw/)，總有〃x)<(>)/(占)，

稱/'(%)為函數(shù)/(x)的一個(gè)極大(小)值，稱X。為極大(小)值點(diǎn).

2必要條件：/口。)為微小值n/'(x0)=0(駐點(diǎn))或“X)的不行導(dǎo)點(diǎn).

3充分條件：一階判別法和二階判別法

(1)玉,為可能極值點(diǎn)，/'(X)在(與-5,工0)和(尤0，入0+6)異號，左邊小于0右邊

大于0為極大值，反之為微小值.

(2)/⑴在/處有二階導(dǎo)數(shù)，且/&)=0,尸&Ho,則當(dāng)1r&)<0,fM

為極大值，/為極大值點(diǎn).

題型一：極值的推斷與求解

1若只知道函數(shù)的連續(xù)性，利用極值的定義求解.

2若已知函數(shù)可導(dǎo)，先求可能的極值點(diǎn)，然后再用充分條件推斷.

注：極值的兩個(gè)充分條件不能相互替代，例如求隱函數(shù)的極值問題只能用二階導(dǎo)

數(shù)判別法.

例1設(shè)/(x)在x=0處連續(xù)，若lim以3=1,問

.v->0

(1)當(dāng)x=0時(shí)，/(x)是否存在？

(2)x=0是否為/(x)的極值點(diǎn)？

例2設(shè)y=y(x)由方程2>3一2>2+2封=1確定，求y=y(x)的極值點(diǎn)和極值.

例3求函數(shù)f(x)=\(x2-t)e-,2dt的單調(diào)區(qū)間與極值.

四最大值和最小值

1閉區(qū)間卜力]上最值

(1)求出/(x)在內(nèi)全部駐點(diǎn)，和不行導(dǎo)點(diǎn)X1,…,4；

⑵計(jì)算/(^}???,f(xk),f{a),f(b)；

(3)比較上面的值，最大者就是最大值M；其中最小者就是最小值機(jī).

2開區(qū)間(。力)上最值

(1)求出駐點(diǎn),利用圖表法劃分單調(diào)區(qū)間；

(2)作出草圖，求出最值.

X2

例4求函數(shù)〃x)=](2T)eT力的最大值與最小值.

五凹凸性與拐點(diǎn)

1若，(x)<0稱/(x)是凸的，若/"(x)>0則稱/(幻是凹的.曲線上凹與凸的分

界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn).

2必要條件：/〃(x)=0或/(x)不存在。

充分條件：去心鄰域二階可導(dǎo)，/"(X)在x=x0左右變號。

題型二：推斷凹凸性和拐點(diǎn)

例5設(shè)/(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且/(())=0,又也彳乎=1,則()

(A)/(0)是/(x)的極大值(B)/(0)是/⑴的微小值

(0(OJ(O))是曲線y=/(x)的拐點(diǎn)

(D)/(0)不是/(x)的極值，(0,/(0))不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn)

例6設(shè)/(x)在連續(xù)，且在(TO,0)5。,”)內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(x)

的圖形如右，則y=/(尤)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

(A)4,4,4(B)4,4,3(C)4,3,4(D)5,4,4

六漸進(jìn)線

1垂直漸近線x=c：lim/(x)=8或lim/(x)=℃.

X->C-XTC+

2有斜率的漸近線：lim(/(x)-依+。)=0或lim(/(x)-or+b)=0,

,r—>-H?A—>-O0

其中Q=lim區(qū)。力=lim(/(x)-ox)或〃=lim"^,b=lim(/(%)-ar)

Xf+OOXXf+00XT-00XX->-00

題型三求漸近線方程

1垂直漸進(jìn)線：先求可能點(diǎn)(定義域的端點(diǎn))+定義推斷

2有斜率的漸近線：先求工一物的情形，再求xf-oo的情形

例7設(shè)/(x)=(1口一也，求/(x)的漸近線.

(x-1)arctanx

例8/(%)=arctanx+—X—?則/(x)具有漸近性的條數(shù)為()

1-e

(A)1(B)2(C)3(D)4

題型四方程根的探討

1寫出方程對應(yīng)的函數(shù)/(x).

2求/(幻的駐點(diǎn),利用圖表法將函數(shù)分解成幾個(gè)小的單調(diào)區(qū)間.

3作了(幻草圖，分析各單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)值(或極限值)的符號，得到根的個(gè)數(shù)

例9試探討方程lnx=±-l的實(shí)根個(gè)數(shù).

e

例10試確定方程x=ae，(a>0)的實(shí)根個(gè)數(shù).

題型四中值定理的等式證明

情形一：一個(gè)中值點(diǎn)、一階導(dǎo)數(shù)

1參數(shù)放在等式右邊，左邊為了⑸二△曳或了⑷二的形式,干脆利用拉格

b-ag(b)_g(a)

朗日或者柯西中值定理.

2協(xié)助函數(shù)法

注：特殊要留意變上限函數(shù)的情形.

例11證明：*€(a,b)使得,aeh-bea=(1-4)*(a-b)

例12設(shè)/（x）在［a,勿連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，證明：使得

［妙⑷一af（b）］=+/（初.

b-a

\_

例13/（九）在連續(xù)，在（0,1）可導(dǎo)，/⑴=3jei"（x）公，證明

0

至G（（M）使得/c）=2〉e）

例14/（x）在［0,1］連續(xù)，在（0,1）可導(dǎo)，且滿意了（0X/⑴=0"（；）=1,證明

1）存在〃eg,1），/（〃）=〃；

2）V4存在＜，/G）-4）=1.

例15/（X）在［0,1］連續(xù)，在（0,1）可導(dǎo)，且］7（x）公=0,證明:

0

三4e(0,1)使得］7(幻公=苫/C)

0

情形二女階導(dǎo)數(shù)一個(gè)中值點(diǎn)

方法：多次利用洛爾定理.

例16/(元)在［0,1］上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(0)=〃1)=0,F(X)=X3/(X),

證明：*e(0,l)使得尸"(9=0.

情形三1階導(dǎo)數(shù)2個(gè)中值點(diǎn)

1三個(gè)點(diǎn)，用二次Lagrange中值定理.本狀況下的中值點(diǎn)必定是相異的.

2將兩個(gè)參變量分別在等式的兩邊，與形式作對比,確

g?h\Tj)g(b)-g(a)

定g(x),〃(x),利用柯西中值定理即得.

例17設(shè)/(x)在&句連續(xù)，在(a,。)可導(dǎo)，證明：

變力式a,b)使得f迂)=詈f⑺.

例18設(shè)/(x)在口,勿連續(xù)，在(a/)可導(dǎo)，/(x)w0,證明

三小謝使得憑h.“

例19設(shè)/(x)在［0,1］連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且滿意/(0)=0,/⑴=1,,證明

⑴存在央(O,1)"C)=1Y；

⑵存在不同的點(diǎn)4&僅?！?,。'(幻尸4)=1?

題型五不等式的證明

情形一：不含中值點(diǎn)

方法1參數(shù)放在等式右邊，左邊為/(力二八/或F3)二的形式,

b-agS)-g(a)

干脆利用拉格朗日或柯西中值定理.

例20若0</7<a<工，證明：a<tana-tanp.

2cos2p

例21設(shè)e<a<Z?</,證明：In2/?-In2a>^(b-d).

方法2：協(xié)助函數(shù)法

1設(shè)置一個(gè)自變量,構(gòu)造自變量的函數(shù)；

2對函數(shù)求導(dǎo)，通過探討導(dǎo)數(shù)求最值，

(1)詳細(xì)而言，要么求出廣(x)=0的根設(shè)法證明其中一個(gè)根為最值點(diǎn);

要么證明/(x)>0或/(x)<0,得到單調(diào)性.

⑵假如無法把，⑴探討清晰，就通過探討尸'(X)得到廣⑶的性質(zhì).

3將最值和要證明的值做比較

例22若x>0,證明(x2—l)lnxN(x—l)2.

例23若x>—l,證明(l+x)"Nl+〃x。

例24證明：當(dāng)0<%<軍時(shí)，—>—

2xsinx

情形二：含中值點(diǎn)或者maxf")(x)

核心點(diǎn)：Lagrange中值定理和泰勒定理，在導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)信息最多的點(diǎn)綻開.

例25若/(幻在儂,加上二階可導(dǎo)，f\a)=f\b)=Q,證明：

至?〃力)使得I/'WI>4"(?二?加?

例26若f(x)在［0,1］上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(O)=/(l)=O,min/(%)=-1,證明:

至?區(qū)。)使得maxf'\x)>8..

三積分及其應(yīng)用

§1不定積分

一不定積分的基本概念

1定義：尸(x)=/(x)在區(qū)間/上成立，則稱F(x)為/(X)在區(qū)間/的原函數(shù)./(X)

在區(qū)間/中的全體原函數(shù)稱為J,(x)在區(qū)間/的不定積分，記為J/(@Zr=Mx)+C.

2充分條件：若/(x)連續(xù)則必有原函數(shù).

注：sinRcosV,如，吧,-L,e*等函數(shù)有原函數(shù)但原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示.

xxInx

3不定積分的性質(zhì)J/(x)必;=E(x)+C

(1)jF(x>ir=F(x)+C(2)=/(x)

(3)^kf^x)dx=k^(左wO)(4)士g(x)}ir=Jf[x}dx+^g[x}dx

二第一類類換元法

1公式：設(shè)jf(u)du=F(M)+C,又°(x)可導(dǎo)，則Jf\g)^x^'(x)dx=Jf\(p{x^fl(p{x}.

2常用的湊微分

(1)cbc=-d(ax+b)(2)sinxdx=-dcosx,cosxdx=Jsinx

a

(3)sec2xdx=dtanx,secxtanxdx=Jsecx(4)exdx=de\axdx=dax

Ina

(5)/dx-darcsinx,----彳cbc=darctanx

71^7i+f

1〃工一]i

(6)xadx^\^\',特殊的。=1,一上,一2要記處.

2

d\n\x\,a=-1

.1

1sin一

例求[二——-dx,[―^dx

練習(xí)：f——dx

J7777

注：fr■二公和f/1—2很有用要記住.

"+尤2JVa2-%2

二其次類類換元法

1公式：若夕⑺可導(dǎo)、單調(diào)且e")00則J/oa=力.

2常見代換模式

⑴yJa2—x2,令x=asinf,

22

⑵yla2+x2,令x=atanf,fw[-3，勺

22

⑶yjx2-a2，令x=asect,f6[055€弓,乃]

(4)f(x,yjax+b)或/(x,t回+與),令，=Nax+b或t=J""'

\ex+a\ex+d

3說明：其次類換元法并不局限于上面的代換模式，其他類型的困難

函數(shù)也可嘗試此法.

1

例求Jdx.

xyJx2-1

三分部積分法

1公式：設(shè)“(X)，v(x)均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則J〃(xWv(x)=〃(x)v(x)—Jv(xM〃(x)。

2在選用分部積分法時(shí)，選取U的依次為三角、指、幕、有理、反對數(shù)、反三角.

例求J(arccosxydx.

四特殊函數(shù)的積分

1有理函數(shù)積分

(1)特型方法：除、拆.

(2)一般情形下，低次問題才會(huì)用特型方法，高次問題用第一類換元法.

1丫3〃-1

例求［------------dx和f----—dx

Jx~(x-l)(x-2)?"1+x

2三角函數(shù)的積分

/=tan—c12c

(1)萬能公式法：J/(sinx,cosx)t/x=J/(—一

(2)一般情形下，式子比較簡潔才會(huì)用萬能公式,其他用湊微分.

例求j—碼——

Jsinx+cosx

題型一求解不定積分

^.^arctanx

例1求/=J

Tdx

(l+f)2

arctanx

2Je

例求/=,2xdx.

例3計(jì)算不定積分

dx

例4設(shè)Jxf(x)dx=arcsinx+C,則J

/(x)

dx和.小了

例5求解JJ

X4-X8Jsinxcosx

題型二求分段函數(shù)的不定積分

1在各段先求出不定積分

2分界點(diǎn)的連續(xù)性（少數(shù)時(shí)候用到可導(dǎo)性），得到一系列方程并求解.

例6設(shè)|皿sin2xx,+xl<）0,x,>0,求〃x）的_原函數(shù)?⑸

§2不定積分

一定積分的基本概念

1定義:ff(x)dx=limS-

adfOi=\1

特殊的：￡/(皿TimW》或。(%39加力打(?).

〃n—>00j=\，，，，ft〃f8/=]ri，，

2充分條件：函數(shù)在[a,句連續(xù)或函數(shù)在小句有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn).

必要條件：函數(shù)有界

3定積分的重要性質(zhì)

(1)[\Af{x)±Bg{x)]dx=f(x)dx±g(x)dx.

JaJaJa

(2)J*f(x)dx=-￡f(x)dx,fftf(.x)dx=[f(x)dx+fAf(.x)dx.

JaJbJaJaJc

(3)若/(x)〈g(x),xe[a,b],則ff(x)dx<fg(x)dx.特殊的：

JaJa

又有/(x),g(x)連續(xù)，但兩個(gè)函數(shù)不全相等，則\hf(x)dx<「g(x)公.

JaJa

(4)中值定理.設(shè)/(x)在上連續(xù)，則存在使得

j'f(x)dx=f(^b-a).

(5)定積分是一個(gè)數(shù)

題型一定積分的概念和基本性質(zhì)

例1limsin—Vcos2-=_________.

〃->+°°nM幾

例2設(shè)〃力為連續(xù)函數(shù)，且/(x)=x+2j；J(k〃，求/(x).

二微積分基本定理

1設(shè)/(x)在［a,可上連續(xù)，則

推廣：=/［02(X)］。；(X)-(X)］/(X)o

注：我們只能計(jì)算被積函數(shù)為/⑺的變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若為/(f,x)必需通過

提取X或變量代換將積分函數(shù)化成只和/有關(guān)的函數(shù)。

2(N—L)/⑺在［a㈤上可積，尸⑴為一原函數(shù)，則1)&如=從《=尸⑸一尸⑷.

3不定積分與定積分的轉(zhuǎn)換

b叭b)

(1)Jf((p(x))(p\x)dx=Jf(u)duo

奴a)

(2)￡f(x)dx=f［(p(t^p'(t)dt(x=0(。在［a,/7］單調(diào)，(p(a)=a,(p(0)=b)；

(3)fu{x}v'(x)dx=M(%)V(X］—［。

\aJ"

注：無論是哪一種換元在計(jì)算中肯定要變換積分限。

題型二關(guān)于變上限函數(shù)的求導(dǎo)

例3設(shè)/(x)在(F,”)連續(xù)且3(x)=，s'"(x"-s")ds,求①'(x).

例4設(shè)/(x)在(-oo,+oo)連續(xù)，又。(%)=；［；。-/)"?)山，求。(x),O"(x).

例5設(shè)。(x)=￡(/詈7出妙，求。"(x).

三反常積分

1無窮區(qū)間上的廣義積分

⑴定義：若極限存在，則稱廣義積分是

Jaft—>4<oJaJa

收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分是發(fā)散的.

⑵其他類型：ff[x}dx=limf/f{x}dx

J-ooiT-ooJa

J二Ax)dx=Lf(9+ff［x}dx=bm￡Mdx+&ff(x)dx

+00-J收斂,P>1

(3)一個(gè)結(jié)論：［—dx=<

iI、發(fā)散，p<\

2無界區(qū)間上的廣義積分(瑕積分)

⑴定義：設(shè)/(X)在[a㈤內(nèi)連續(xù)，且limf(x)=00,則稱6為f(x)的瑕點(diǎn)。定義

x—>b

lim若極限存在，則稱廣義積分工/(x"x收斂，且它的

值就是極限值，若極限不存