貴州省貴陽市普通中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末監(jiān)測考試數(shù)學(xué)（文）試題（含解析）

貴陽市普通中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末監(jiān)測考試試卷高三文科數(shù)學(xué)2023.1注意事項：1．本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答案一律寫在答題卡上，寫在試卷上的不給分．3．考試過程中不得使用計算器．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求集合B中函數(shù)的定義域，得到集合B，再求.【詳解】函數(shù)有意義，則有，即，，又，則.故選：D2.已知命題，則是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】含有一個量詞的命題的否定形式，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，命題，則是.故選：A.3.若某一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原出立體圖形即可得到答案.【詳解】根據(jù)其三視圖還原出其立體圖形如下圖所示，易得其為五棱柱，故選：C.4.機器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機器．它可以輔助甚至替代人類完成某些工作，提高工作效率，服務(wù)人類生活，擴大或延伸人的活動及能力范疇．某公司為了研究某機器人的銷售情況，統(tǒng)計了2022年2月至7月M，N兩店每月該機器人的營業(yè)額（單位：萬元），得到如圖所示的折線圖，則下列說法中不正確的是（）A.N店營業(yè)額的平均值是29 B.M店營業(yè)額的中位數(shù)在內(nèi)C.M店營業(yè)額的極差比N店營業(yè)額的極差小 D.M店營業(yè)額的方差大于N店營業(yè)額的方差【答案】D【解析】【分析】對A，計算N店營業(yè)額的平均值即可判斷，對B首先店的營業(yè)額從小到大排序，即可計算出其中位數(shù)，對C，計算相關(guān)數(shù)據(jù)極差即可判斷，對D首先計算出M店營業(yè)額的平均值，再計算M店和N店營業(yè)額的方差即可判斷.【詳解】對于A，N店營業(yè)額的平均值是，所以A正確；對于B，將店的營業(yè)額/萬元，從小到大排列得14,20,26,36,45,64，故其中位數(shù)為，故B正確；對于C，店營業(yè)額極差為，店的極差為，故C正確；所以B正確；對于D，M店營業(yè)額的平均值是，所以M店營業(yè)額方差為店營業(yè)額的方差為,故D錯誤，故選：D．5.若等軸雙曲線的焦距為4，則C的一個焦點到一條漸近線的距離為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先雙曲線方程化簡得，即可求解漸近線方程，根據(jù)焦距即可求出焦點坐標，則可計算焦點到漸近線距離.【詳解】由題可知，雙曲線方程化為，∴漸近線方程為.又，則，故焦點坐標為，取其中一個焦點坐標和一條漸近線方程，即∴一個焦點到一條漸近線的距離為.故選：B.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性以及的值來確定正確選項.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以排除C、D項，，所以排除B項．故選：A7.已知、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面、線線位置關(guān)系逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，若，，，則或、相交，A錯；對于B選項，若，，，則或、異面，B錯；對于C選項，由于，，可得或，若，因為，則，若，過直線作平面，使得，則，因為，則，，因此，，C對；對于D選項，若，，，則或、相交（不一定垂直），D錯.故選：C8.已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且是與的等差中項，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)條件得到關(guān)于的方程，解出，則可得到等比數(shù)列通項和其前項和，一一代入判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題得，即，代入得，化簡得，解得或（舍去），故，則，所以，對A，，故A正確，對B，，故B錯誤，對C，，故C錯誤，對D，，故D錯誤，故選：A.9.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項中不正確的是（）A.對應(yīng)的點位于第二象限 B.為純虛數(shù)C.的模長等于 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的特征、純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模長公式、以及共軛復(fù)數(shù)的概念逐項分析即可得出結(jié)論.【詳解】對于A：，對應(yīng)的點位于第二象限，故A正確；對于B：，為純虛數(shù)，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯誤.故選：D.10.定義在R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，則（）A.0 B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知函數(shù)的周期為4，所以，代入到相關(guān)解析式即可.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，則，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)，則.故選：B.11.若為圓上的動點，當(dāng)?shù)街本€的距離取得最大值時，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標，分析可知當(dāng)為射線與圓的交點且時，點到直線的距離最大，求出直線的斜率，可得出直線的斜率.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，將直線的方程變形為，由得，故直線過定點，如下圖所示：當(dāng)為射線與圓的交點且時，點到直線的距離最大，因為，則直線的斜率為.故選：B.12.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，由，可得，則直線與函數(shù)的圖象有三個公共點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，無零點，所以.由，可得，令，其中，因為函數(shù)有三個零點，所以直線與函數(shù)的圖象有三個公共點，，由，可得或，列表如下：減極小值增極大值減如下圖所示：由圖可知，當(dāng)，即時，直線與函數(shù)的圖象有三個公共點，即有三個零點，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.已知向量，，則_________．【答案】【解析】【分析】求出向量的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得的值.【詳解】因為，，則，因此，.故答案為：.14.在平面直角坐標系中，角以O(shè)為頂點，軸為始邊，的終邊與單位圓O相交于第四象限的點；角的終邊是將角的終邊繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】首先計算出，再利用兩角和與差的正切公式即可得到答案.【詳解】由題意得，而，故.故答案為：.15.已知數(shù)列滿足，若，則__________．【答案】【解析】【分析】法一：由遞推式，結(jié)合依次求出即可；法二：構(gòu)造數(shù)列，證明其為等差數(shù)列，即可求出.【詳解】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由題得，則等式兩邊同取倒數(shù)得，則，，則數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，則，當(dāng)，則，則，故答案為：.16.設(shè)點是棱長為的正方體表面上的動點,點是棱的中點,為底面的中心,則下列結(jié)論中所有正確結(jié)論的編號有______________．①當(dāng)點在底面內(nèi)運動時,三棱錐的體積為定值;②當(dāng)點在線段上運動時,異面直線與所成角的取值范圍是;③當(dāng)點在線段上運動時,平面平面;④當(dāng)點在側(cè)面內(nèi)運動時,若到棱距離等于它到棱的距離,則點的軌跡為拋物線的一部分.【答案】①③④【解析】【分析】對于①,根據(jù)點到平面的距離即為點到平面的距離為即可判斷;對于②,異面直線與所成角即為直線與所成角,轉(zhuǎn)化為在中,與所成角即可判斷;對于③,根據(jù)為底面的中心和正方體的性質(zhì),證明得平面即可得到結(jié)論;對于④,點在側(cè)面內(nèi)運動時,根據(jù)平面,則到棱的距離等于的距離,結(jié)合拋物線定義即可判斷;【詳解】對于①,當(dāng)點在底面內(nèi)運動時,點到平面的距離即為點到平面的距離為,則,故①正確;對于②,如圖:點在線段上運動時,因為,所以異面直線與所成角即為直線與所成角.因為,所以為等邊三角形,當(dāng)點在線段的中點時,,即直線與所成角為,當(dāng)點向兩個端點運動時,直線與所成角越來越小,當(dāng)點與點或點重合時,直線與所成角為,所以直線與所成角的取值范圍是,即異面直線與所成角的取值范圍是,故②錯誤;對于③,如圖:為底面的中心,,平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,平面平面,故③正確;對于④,點在側(cè)面內(nèi)運動時,平面,到棱的距離等于的距離,到棱的距離等于它到棱的距離即為點到的距離等于點到棱的距離,根據(jù)拋物線的定義,又點在側(cè)面內(nèi)運動,點的軌跡為拋物線的一部分.故答案為:①③④.三、解答題：第17至21題每題12分，第22、23題為選考題，各10分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在2022年9月貴陽市疫情防控期間，某學(xué)校高一學(xué)生居家學(xué)習(xí)，為了解學(xué)生的自主學(xué)習(xí)狀況，隨機抽取了該年級40名學(xué)生進行網(wǎng)上問卷調(diào)查，獲得了他們一周（五天）平均每天白主學(xué)習(xí)時間的數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并分組整理得到如下頻率分布表：組別分組頻數(shù)頻率40.110sn0.380.2mt（1）學(xué)校要進一步研究學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間與學(xué)業(yè)成績的相關(guān)性，在這5組內(nèi)的40名學(xué)生中，用分層抽樣的方法再選取20人進行對照研究，求從組中抽取的人數(shù)；（2）在（1）的條件下，從組和組所抽取的學(xué)生中再隨機抽取兩人做一個心理測試，求所抽兩人中至少有一人來自于組的概率，【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）首先利用分層抽樣的特點及表中數(shù)據(jù)求出的值，則可求出從組所抽人數(shù)；（2）分別求出在從和組所抽人數(shù)，再列出所有基本事件和滿足條件的結(jié)果，即可得到概率.【小問1詳解】由已知得,所以,因此,利用分層抽樣,設(shè)從組所抽人數(shù)為,則有,所以從組所抽人數(shù)為3.【小問2詳解】由(1)知,在組中抽取的人數(shù)為,在組中抽取的人數(shù)為,記從組中抽取的學(xué)生為,從組所抽取的學(xué)生為.從這6人中抽取2人的所有基本事件有:,，共有15個基本事件,滿足條件的結(jié)果為,共有9個基本事件,所以所求概率為:,即所抽兩人中至少有一人來自于組的概率為.18.已知平面四邊形中，，若，的面積為．（1）求的長；（2）求四邊形周長的最大值．【答案】（1）（2）周長的最大值為【解析】【分析】（1）由的面積求得，再由余弦定理求的長；（2）與已知，由余弦定理求的最大值，即可得四邊形周長的最大值．【小問1詳解】在中，由題意有，解得，又由余弦定理得，所以．【小問2詳解】，，設(shè)，四邊形周長設(shè)為，則，由題可知，，在中，由余弦定理得(，則所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即四邊形周長的最大值為19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，△是正三角形，側(cè)面底面，是的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐與四棱錐的體積比.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）若要證明線面垂直，只要證該直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可；（2）不妨設(shè)，由體積公式得，再根據(jù)等積轉(zhuǎn)換得求比值即可得解.【詳解】（1）因為平面平面，底面為正方形，，所以平面，所以，又因為△是正三角形，是的中點所以，所以平面.（2）設(shè)，，，所以20.已知，為圓上的動點，線段的垂直平分線交于點．（1）求的值，并求點軌跡的方程；（2）若過點的直線交軌跡于、兩點，求面積的最大值．【答案】（1），軌跡的方程為（2）【解析】【分析】（1）由中垂線的性質(zhì)可求得的值，結(jié)合橢圓的定義可得出軌跡的方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與軌跡的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)三角形的面積公式、韋達定理結(jié)合基本不等式可求得面積的最大值.【小問1詳解】解：圓的圓心為，半徑為，由中垂線的性質(zhì)可得，所以，，故點軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，因為，則，因此，軌跡的方程為.【小問2詳解】解：若直線與軸重合，直線、、三點共線，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故面積的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點和極值；（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)a的最小值．【答案】（1）零點為1；極小值為，無極大值（2）1【解析】【分析】（1）令，可得零點，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得單調(diào)遞減區(qū)間，進而得到極小值無極大值；（2）對分進行討論，討論的最值或范圍，即可得到的最小值為1.【小問1詳解】依題意，因為，所以，令，解得，即零點為1；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在處，取得極小值，無極大值；【小問2詳解】由（1）知為極小值也為最小值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若，令，，則，由于，所以，顯然不符合題設(shè)要求；當(dāng)時，，由，所以，當(dāng)時，對任意，都有成立；綜上可知，的最小值為1.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，極值和最值；考查了零點的求法，不等式成立問題的解法.注意運用轉(zhuǎn)化思維與函數(shù)的單調(diào)性，對運算能力與分析轉(zhuǎn)