黑龍江齊齊哈爾市部分地區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

齊齊哈爾市部分地區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每題5分，共40分）1.已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】利用交集的性質(zhì)得出，從而得到集合元素個(gè)數(shù)．【詳解】即集合中共有3個(gè)元素．故選C．【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是找出集合A與集合B共有的元素，即可得到中的元素．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通過(guò)復(fù)數(shù)除法將，化簡(jiǎn)為，再利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3.有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問(wèn)一共屠了多少兩肉？"在這個(gè)問(wèn)題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（）A.35 B.75 C.155 D.315【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列模型，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.4.平面向量，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示求出，再利用夾角公式求解作答.【詳解】向量，則，即，因此，而，則，所以與的夾角是.故選：C5.現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法共有（）種.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①，將4名男生分成1、3的兩組，②，將6名女生全排列，排好后有7個(gè)空位，③，將分好的2組安排到7個(gè)空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①，將4名男生分成1、3的兩組，有種分組方法，其中三人組三人之間的順序有種，②，將6名女生全排列，有種情況，排好后有7個(gè)空位，③，將分好的2組安排到7個(gè)空位中，有種情況，則不同的排法有種，故選：D．6.已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，求出周期，算出的值，再根據(jù)求出的值，即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，所以，所以，所以，又因?yàn)椋裕獾?，因?yàn)?，所以，所?故選：B.7.已知點(diǎn)在同一個(gè)球面上，，若四面體體積的最大值為10，則這個(gè)球的表面積是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，從而可得球心在過(guò)中點(diǎn)與面垂直的直線上，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得，當(dāng)過(guò)球心時(shí)體積最大，由四面體體積的最大值為10，求出，再利用勾股定理求出球的半徑，從而可求出球的表面積【詳解】解：由，可得，所以，則球心在過(guò)中點(diǎn)與面垂直的直線上，因?yàn)槊娣e為定值，所以四面體的高最大時(shí)體積最大，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得，當(dāng)過(guò)球心時(shí)體積最大，因?yàn)樗拿骟w的最大體積為10，所以，可得，在中，，所以，得，所以球的表面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；②可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；③特殊幾何體可以直接找出球心和半徑；④設(shè)球心（在過(guò)底面多邊形外接圓圓心與底面垂直的直線上），利用待定系數(shù)法求半徑.8.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，進(jìn)而可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】等價(jià)于．令函數(shù)，則，故是增函數(shù)．等價(jià)于，即．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：C.二、多選題（每題5分，共20分，漏選得2分，錯(cuò)選不得分）9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.x＝－是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BCD【解析】【分析】首先求出的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得，對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，，故函數(shù)不是偶函數(shù)，A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閷?duì)稱軸滿足，解得，則時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D正確.故選：BCD.10.若甲組樣本數(shù)據(jù)，，…，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，則下列說(shuō)法正確的是（）A.a的值為-2 B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合平均數(shù)、方差、中位數(shù)、極差的概念以及平均數(shù)的和差倍分性質(zhì)，及一組數(shù)據(jù)同時(shí)乘一個(gè)數(shù)，同時(shí)加一個(gè)數(shù)對(duì)方差的影響，逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知：，故，故A正確；乙組樣本數(shù)據(jù)方差為，故B正確；設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故C錯(cuò)誤；甲組數(shù)據(jù)極差為，則甲組數(shù)據(jù)的極差為，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故D正確；故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總成立B.當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】證明平面即可判斷A；二面角即是二面角，即可判斷B；建立坐標(biāo)系利用向量法即可判斷C；求出三棱錐的體積可判斷D，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?，，所以面，因?yàn)槊?，所以，同理可證，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以總成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：平面即平面，而平面即平面，所以當(dāng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角大小不變，選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：建立如圖所示的空間幾何體，則，，因?yàn)樵谏?，且，故可設(shè)，，設(shè)平面法向量為，又，所以，取，則，平面的法向量為，所以，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，當(dāng)，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值即取最小值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋c(diǎn)到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD.12.下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則最大值是B.若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3C.若，，，則的最小值是2D.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，湊分母，結(jié)合基本不等式，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)基本不等式的變式，整理出關(guān)于所求整式的二次不等式，可得答案；對(duì)于D，采用換元法，設(shè)，，可將原式化簡(jiǎn)為，結(jié)合基本不等式，可得答案．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閤，y，z都是正數(shù)，且，所以，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因?yàn)?，所以，所以，所以，解得（舍去）或，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)∴則的最大值為，故D正確．故選：ABD.三、填空題（每題5分，共20分）13.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)得變量．ξ在內(nèi)取值的概率為，則ξ在內(nèi)取值的概率為_(kāi)_____．【答案】0.4##【解析】【分析】根據(jù)題意和正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可知曲線的對(duì)稱軸是，即可求解.【詳解】因?yàn)棣畏险龖B(tài)分布，所以曲線的對(duì)稱軸是，因?yàn)棣卧趦?nèi)取值的概率為0.8，所以ξ在內(nèi)取值的概率為0.4．故答案為：0.4.14.函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線2x+y﹣3＝0垂直，則a＝_____．【答案】【解析】【分析】函數(shù)求導(dǎo)，利用切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值求出a的值．【詳解】解：由題意得：．又∵切線與直線垂直，故切線斜率．∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在曲線上點(diǎn)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為．特別地，如果曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，則此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，由切線定義可知，切線方程為.15.過(guò)直線：上任意點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)切線長(zhǎng)最小時(shí)，△PAB的面積為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意作出圖形，如圖，由于,所以當(dāng)取最小值時(shí)，最小，此時(shí)與直線垂直，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出的長(zhǎng)，從而可得的值，由圓的對(duì)稱性和切線長(zhǎng)定理可知，，從而可求出△PAB的面積【詳解】依據(jù)題意作出圖形，如下圖：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與圓相切于點(diǎn)A，所以，所以，要使得最小，則要最小，由題可得：的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．此時(shí)，，所以由切線的對(duì)稱性可得：所以△PAB的面積為，故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線長(zhǎng)公式及圓的有關(guān)性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，還考查了點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于中檔題．16.拋物線上一點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，解得或．當(dāng)時(shí)，，故舍去，所以拋物線方程為∴，所以是正三角形，邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓方程為，如圖所示，∴．設(shè)點(diǎn)（為參數(shù)），則，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線性質(zhì)的運(yùn)用，參數(shù)方程的運(yùn)用，三角函數(shù)的兩角和公式合一變形求最值，屬于難題，對(duì)于這類題目，首先利用已知條件得到拋物線的方程，進(jìn)而可得到為等邊三角形和內(nèi)切圓的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，可利用內(nèi)切圓的方程設(shè)出點(diǎn)含參數(shù)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，從而得到其取值范圍，因此正確求出內(nèi)切圓的方程是解題的關(guān)鍵.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量求出通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，代入已知求出，對(duì)裂項(xiàng),通過(guò)裂項(xiàng)相消求和可解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）可求得，所以，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及用裂項(xiàng)法求和.（1）等差數(shù)列基本量計(jì)算問(wèn)題的思路：與等差數(shù)列有關(guān)的基本運(yùn)算問(wèn)題，主要圍繞著通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，在兩個(gè)公式中共涉及五個(gè)量：，已知其中三個(gè)量，選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個(gè)量．用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律:(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．18.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求B；（2）若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)即可得解；（2）由題意可得ac＝4，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，∵，所以，所以，∴；【小?wèn)2詳解】解：依題意，∴ac＝4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又由余弦定理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)取等號(hào)，所以的周長(zhǎng)最小值為．19.某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)（單位：元）與印刷數(shù)量（單位：千冊(cè)）的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．15.253630.2692085.5－230.30.7877.049表中（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：與哪一個(gè)模型更適合作為該圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)（單位：元）與印刷數(shù)量（單位：千冊(cè)）的回歸方程（只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由）．(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程．（回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01）(3)若該圖書(shū)每?jī)?cè)的定價(jià)為10元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78840元？（假設(shè)能夠全部售出，結(jié)果精確到1）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（…，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．（3）10千冊(cè)．【解析】【詳解】（1）由散點(diǎn)圖判斷，適宜作為每?jī)?cè)成本費(fèi)與印刷冊(cè)數(shù)的回歸方程．（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，∵，∴，∴關(guān)于的線性回歸方程為，從而關(guān)于的回歸方程為．（3）假設(shè)印刷千冊(cè)，依題意，，即，∴，∴至少印刷10千冊(cè)．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是4長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為PA的中點(diǎn)，PA＝PD＝．（1）求證：PC∥平面BMD；（2）求二面角M－BD－P的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】連接AC交BD于N，連接由三角形中位線知MN∥PC即得證；取AD的中點(diǎn)O，連接OP，說(shuō)明OP、OD、ON兩兩相互垂直，則分別以O(shè)D、ON、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法即可求出二面角的大小.【小問(wèn)1詳解】連接AC交BD于N，連接在正方形ABCD中，，∴N是AC的中點(diǎn).又M是AP的中點(diǎn)，∴MN是的中位線，，∵面BMD，面BMD，∴∥平面BMD，【小問(wèn)2詳解】取AD的中點(diǎn)O，連接OP，在中，，O是AD的中點(diǎn)，∴，又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面在正方形ABCD中，O，N分別是AD、BD的中點(diǎn)，∴，∴OP，OD，ON兩兩相互垂直，分別以O(shè)D，ON，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，∴，，設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量，則，即取，得，∴是平面MBD的一個(gè)法向量：同理，是平面PBD的一個(gè)法向量，∴，設(shè)二面角的大小為，由圖可知，，，且為銳角，∴，故二面角的大小是21.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1．（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，l2與拋物線C交于C，D兩點(diǎn)，M，N分別為弦AB，CD的中點(diǎn)，求|MF|·|NF|的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程