2023人教版新教材A版高中數(shù)學必修第三冊同步練習-7.5 正態(tài)分布

第七章隨機變量及其分布

7.5正態(tài)分布

基礎過關練

題組一正態(tài)曲線及其特點

1.(2022河南名校期中聯(lián)考)設隨機變量X?M//,9),若P(X<1)=P(X>7),則()

A.E(X)=4,D(X)=9

B.￡(X)=3,Z)(X)=3

C.E(X)=4,D(X)=3

D.E(X)=3,D(X)=9

2.(多選X2021重慶實驗外國語學校月考)已知三個正態(tài)密度函數(shù)

fi(x)=^=e~^r(x￡R/=l,2,3)的圖象如圖所示,則下列結論正確的是()

A.(7|=(72

C.〃2=43D.(72<<73

3.(2022山東濰坊部分縣市期中聯(lián)考)甲、乙兩類產(chǎn)品的質量(單位:kg)分別服從正

態(tài)分布N3后),M//2,遨)淇正態(tài)密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是()

A.甲類產(chǎn)品的平均質量小于乙類產(chǎn)品的平均質量

B.乙類產(chǎn)品的質量比甲類產(chǎn)品的質量更集中于平均值左右

C.甲類產(chǎn)品的平均質量為1kg

D.乙類產(chǎn)品的質量的方差為2

4.(2021湖南三湘名校教育聯(lián)盟第三次大聯(lián)考)已知連續(xù)型隨機變量

X~N3wi2)(i=l,2,3)淇正態(tài)密度曲線如圖所示,則下列結論正確的是）

A.P（X92）<P（X2字1）

B.尸（X2孕2）>尸（X3孕3）

C.尸(X0/2)〈q(X2&/3)

D.PQ〃-2?！?，,+2內)=尸(出+i-2/+iSXi+］芻i+i+2s+i)(i=l,2)

5.(2022湖北武漢月考)已知隨機變量。服從正態(tài)分布NU/),若函數(shù)

危)=尸(爛0+1)為偶函數(shù)，則4=()

A《BOC.1D.l

題組二正態(tài)分布的概率計算

6.(2022江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一調)已知隨機變量X?B(3,p),Y~N(2,『),若

P(XNl)=0.657,P(0<k2)=p,貝ijP(F>4)等于()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

7.(2022廣東深圳二模)已知隨機變量有下列四個命題：

甲:尸(4<a-l)>尸(4>a+2);

乙:P0a)=O.5;

丙:尸(公。)=0.5;

丁:尸1)<尸(。+1<&Q+2).

若只有一個是假命題，則該命題為()

A.甲BZC.丙D.T

8.(2021北京朝陽期末)設隨機變量X服從正態(tài)分布N業(yè),聲,若

尸(XS2)=0.2,尸(2<X<4)=0.6,貝I〃=()

A.lB.2C.3D.4

9.設隨機變量X?M2,9),若P(X>c+l)=P(X<c-l).

⑴求c的值；

⑵求P(-4<X<8).

附:若隨機變量X~M4，/),則尸a-2在X0/+2。戶0.9545.

題組三正態(tài)分布的應用

10.(2022黑龍江七臺河勃利高級中學期中)設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨

機變量X,且X~N(800,502),則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率

為()

參考數(shù)據(jù):若貝I」P(//-o<X<4z+cr)=0.6827,Pa-2^X3，+2c)=0.9545,尸〃-

3立X0，+3c戶0.9973.

A.0.97725B.0.6827

C.0.9973D.0.9545

11.(2022河南鄭州期末)在某次高三聯(lián)考中，學生的數(shù)學成績(單位:分)服從正態(tài)分

布N(95,100).已知參加本次考試的學生有100000人，則本次考試數(shù)學成績大于

105分的大約有人.

參考數(shù)據(jù):尸&FX%+(7戶0.6827,尸色-249+2。戶0.9545.

12.紅外體溫計的工作原理是通過人體發(fā)出的紅外熱輻射來測量體溫,有一定誤差.

現(xiàn)用一款紅外體溫計測量一個體溫為36.9℃的人時，體溫計所顯示的體溫X(單

位:℃)服從正態(tài)分布刈36.9,*),若乂的值落在(36.6,37.2)內的概率約為0.9973,求

n的值.

參考數(shù)據(jù):若X?則戶0.9973.

13.(2022重慶主城區(qū)一模)某校積極響應國家號召,組織全校學生加強實心球項目

訓練，規(guī)定該校男生投擲實心球6.9米達標，女生投擲實心球6.2米達標，并擬定投

擲實心球的考試方案為每位學生可以投擲3次,一旦達標就不用再投.從該校任選

5名學生進行測試,如果有2人不達標的概率超過0.1,則該校學生還需加強實心球

項目訓練.已知該校男生投擲實心球的米數(shù)令服從正態(tài)分布M6.90.25),女生投擲

實心球的米數(shù)&服從正態(tài)分布N(6.2,0.16).

⑴請你通過計算，說明該校學生是否還需加強實心球項目訓練；

(2)為提高學生考試達標率，該校決定加強訓練，經(jīng)過一段時間訓練后，該校女生投

擲實心球的米數(shù)X服從正態(tài)分布M6.516Q.16),且尸(XS6.832)=0.785.此時，請判斷

該校女生投擲實心球的考試達標率能否達到99%,并說明理由.(取版的值為2.15)

14.某工廠生產(chǎn)某款機器零件，因為要求精度比較高，所以需要對生產(chǎn)的一大批零件

進行質量檢測.首先由專家根據(jù)各種系數(shù)制定了質量指標值,從生產(chǎn)的大批零件中

選取100件作為樣本進行評估，根據(jù)評估結果作出如圖所示的頻率分布直方圖.

（l）（i）根據(jù)頻率分布直方圖求a的值及這100件零件的質量指標值的平均數(shù)”（同

一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；

（ii）以樣本估計總體,經(jīng)過專家研究，零件的質量指標值225）,試估計

10000件零件中質量指標值在［185,230］內的件數(shù)；

⑵設每件零件利潤為y元,質量指標值為％,利潤y與質量指標值%之間滿足函數(shù)

關系式產(chǎn)｛照著上需；＞205試估計該批零件每件的平均利潤?（同組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代香，結果四舍五入，保留整數(shù)）

參考數(shù)據(jù):若X?心,『）,貝U不Xq戶0.6827,尸@-2立戶0.9545,尸〃-

3Kx9+3。戶0.9973.

能力提升練

題組一正態(tài)分布及其概率計算

1.（2022寧夏吳忠中學高考模擬）已知隨機變量X?M2,1）,其正態(tài)密度曲線如圖所

示，則圖中陰影部分的面積為（）

附:若隨機變量PM/z,/）,則尸（//-行9+。戶0.6827,尸@-2把。9+2。戶0.9545,尸（//-

3長。+3。戶0.9973.

A.0.1359B.0.1282

C.0.1641D.0.13205

2.（2022四川成都郭都月考）已知某校高三理科學生參加“成都一診”考試的數(shù)學成

績X服從正態(tài)分布N（95〃）,則下列結論中不正確的是（）

附:若X?NQ，,/）,貝lj

3（7<X</z+3rr）~0.99.

A”越大，學生數(shù)學成績在（90,100）內的概率就越大

B.當（7=20時,P（75<X<135戶0.815

C.無論r7為何值，學生數(shù)學成績大于95的概率為0.5

D.無論。為何值，學生數(shù)學成績小于75與大于115的概率相等

3.（2022重慶八中月考）測量某一目標的距離時，所產(chǎn)生的隨機誤差X服從正態(tài)分

布N（20,102）,若獨立測量三次，則至少有一次測量誤差在［0,30］內的概率

是.

>>

附:若隨機變量X?M/z,/）,則P（//-<r<X<^+（7）~0.68,/（/z-2a<X<（f/+2（7）~0.95,/（/z-

3Kx3，+3。戶0.99,0.1852弋0.03,0.185370.006,0.815270.66,0.8153H

0.541.

題組二正態(tài)分布的應用

4.（2022內蒙古赤峰三模）某校在高三第一次聯(lián)考成績公布之后，選取了兩個班的

數(shù)學成績進行對比.已知這兩個班的人數(shù)相等，數(shù)學呼績（單位:分）均近似服從正態(tài)

分布，如圖所示.已知正態(tài)密度函數(shù)為力且P（|X”z歸2m=0.954

5,P（|X”任戶0.9973（i=l,2,分別對應1班、2班），則以下結論正確的是（）

A.1班的數(shù)學平均成績比2班的數(shù)學平均成績要高

B.相對于2班，本次考試中1班不同層次學生的成績差距較大

C.1班的成績在110分以上的人數(shù)約占該班總人數(shù)的4.55%

D.2班的成績在114分以上的人數(shù)與1班的成績在110分以上的人數(shù)相等

5.（2021四川綿陽東辰國際學校月考）為了解高三復習備考情況，某校組織了一次

階段考試.高三全體考生的數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布M100,17.5）已知成績

在117.5分以上的學生有80人，則此次參加考試的學生成績在82.5分以下的概率

為，如果成績在135分以上的為特別優(yōu)秀，那么本次考試數(shù)學成績特別優(yōu)秀

的大約有人.

附:若X?貝ij戶0.68,P5-2^X9+2b戶0.96.

6.（2022廣東茂名聯(lián)考）當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中

聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，

保證學生健康成長的有效措施.某地區(qū)2021年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考

生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其

中立定跳遠15分，擲實心球15分,1分鐘跳繩20分.某學校在初三上學期開始時想

要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到如下

頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如表：

頻率

().050

（）165175185195205215每分鐘跳繩彳、

每分鐘跳繩個數(shù)

[165,175)

[175,185)

[185,195)

[195,205)

[205,215]

⑴現(xiàn)從抽取的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；

（2）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布心,心,用樣本數(shù)據(jù)的平

均值和方差估計總體的平均值和方差（結果四舍五入到整數(shù)）,已知樣本方差

s2R7.8（各組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過

一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設明年正式測試時

每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時的個數(shù)增加10,利用新得的正態(tài)分布模

型解決下列問題.

⑴若全年級恰好有1000名學生，試估計正式測試時每分鐘跳193個及以上的人

數(shù);（結果四舍五入到整數(shù)）

（ii）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳

202個及以上的人數(shù)為。求隨機變量q的分布列和期望.

附:若隨機變量X服從正態(tài)分布M/z/r2）,則P（/Z-<T<X<^+<7）~0.6827,Pq-

2KX%+2。戶0.95451〃-30%+3）戶0.9973.

答案與分層梯度式解析

第七章隨機變量及其分布

7.5正態(tài)分布

基礎過關練

1.A隨機變量X~M//,9),且「(*<1)=2(*>7),，02=9,〃=子=4,，改為=4,。(田=9.故選A.

2.ACD根據(jù)正態(tài)曲線關于直線時稱，且〃越大，曲線越靠近右邊，可知川<〃2=〃3,故B錯誤,C正確；

又。較小時,峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，所以6="%故A、D正確.故選ACD.

3.A由題圖可知，甲類產(chǎn)品的平均質量為川=0.5kg,乙類產(chǎn)品的平均質量為〃2=1kg,甲類產(chǎn)品質量的方

差明顯小于乙類產(chǎn)品質量的方差，

故甲類產(chǎn)品的質量比乙類產(chǎn)品的質量更集中于平均值左右，故A正確,B、C錯誤;由正態(tài)密度函數(shù)的解

1(一)2

析式於尸旖e-b，

可知當X=A時7U)取得最大值，

?1j?]

?,西標T…嗔南’

-聲2,故D錯誤.

故選A.

4.D對于A,P(X日2)是題中產(chǎn)/i(x)的圖象在第二條豎向虛線左側的部分與x軸圍成的圖形的面

積是題中y》(x)的圖象在第一條豎向虛線左側的部分與x軸圍成的圖形的面積，

由題圖可知P(X曰2)>P(X20/i),故A錯誤；

對于B,尸(X2型2)W，P(X3孕3)號則P(X2型2)=P(X3初3),故B錯誤；

對于C,與A中分析相同,P(X3,2)>P(X03),故c錯誤；

對于D,由于正態(tài)分布中，隨機變量X落在某區(qū)間的概率表示曲線和x軸及對應直線圍成的圖形的面積,

與，?或計1無關，

故尸Qi-2底㈤=尸(出+]-2<7i+iWXi+i9i+i+2<7i+i)(i=l,2)成立，故D正確.故選D.

5.C?.?函數(shù)yu)=p(爛0+1)為偶函數(shù)，

二人㈤女)，

/.P(-爛白-x+l)=P(后0+1),

“三出.故選c.

6.A由題意知『(心l)=l-P(X=O)=l-(l-p)3=o257,解得p=0.3,

貝ijP(0<y<2)=0.3,

所以P(?4)=P(y<0)=0.5-P(0<y<2)=0.2.

7.D

8.C因為隨機變量X服從正態(tài)分布M/VJ2),

所以此正態(tài)曲線的對稱軸為直線可，

因為P(%2)=0.2,P(2<X<4)=0.6,

所以P(2<X<4)=1-2P(XW2),

所以對稱軸為直線可=3.

故選C.

9.解析(1)由X~N(2,9)可知，正態(tài)曲線關于直線戶2對稱，

因為P(X>c+l)=P(X<c-l),

所以201)=?4)-2,

解得c=2.

⑵由X~W(2,9)得〃=2,k3,

所以P(-4<X<8)=P(2-2x3<X<2+2x3)=P(//-2a<X<u+2(7)~0.9545.

10.A?.國天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機變量X,且X~M800,502),

/.P(X<900)=P(X<800)+P(700sX~90°)~0.5+g^=0.97725.

故選A.

11.答案15865

解析設本次聯(lián)考中學生的數(shù)學成績?yōu)閄分，由題意知X-M95,100),.,-//=95,<7=10,?.P(85<X<105)-0.682

7,/.P(X>105)=1~°^827=0.15865,...本次考試數(shù)學成績大于105分的大約有100000x0.15865=15865(A).

12.解析?.?體溫X(單位:C)服從正態(tài)分布N(369,甯,

...〃=36.9,標=手,：*的值落在(36.6,37.2)內的概率約為0.9973,且P(|X-〃|v30戶

0.9973,二P(36.6<X<37.2)=P(36.9-0.3<X<36.9+0.3)=P(36.9-3<7<X<36.9+3o),；.3o=0.3,解得

(7=0.1,；.空^=0.01,解得n=5.

n

13.解析(1)由該校男生投擲實心球的米數(shù)g服從正態(tài)分布M6.9,0.25),女生投擲實心球的米數(shù)星服從

正態(tài)分布M62Q16),

可知該校男生和女生達標的概率均為也不達標的概率均為也所以選5人進行測試時，有2人不達標的概

率為啥(9=>。/.

所以該校學生還需加強實心球項目訓練.

⑵由題意知X~N(6.516,0.16),P第6.832)=0.785,

即P(X<6.516+0.316)=0.785,

P(股6.516-0.316)=P(矣6.2)=P(XW6.832)=0.785,

又V10=2.15,—=0.215,—=0.2153=0.01,

101000

則女生的達標率為1-(1-0.785)3=0.99,

所以該校女生投擲實心球的考試達標率能達到99%.

14.解析⑴⑴由10x(a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+4)=1,得a=0.002.

〃=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200.

(ii)由⑴及題意知X-M200,152),

所以P(185<X<230)^°^2710^45=o.8186.

10000x0.8186=8186,

所以10000件零件中質量指標值在［185,230］內的件數(shù)約為8186.

(2)由題意得)，=O.8xl7OxO.O2+O.8xl8OxO.O9+O.8xl9()xO.22+O.8x2(X)xO.33+(0.16x210+200)x0.24+

(0.16x220+200)x0.08+(0.16x230+200)x0.02=181.536-182,

所以估計該批零件每件的平均利潤為182元.

能力提升練

1.A由題意易知圖中陰影部分的面積為尸(0SXW)必經(jīng)色產(chǎn)編="若竺盟=0.1359.

故選A.

2.A當k5時,P(90<X<100戶0.68,又P(95-<7〈X〈95+o)X).68為定值，所以。越大，學生數(shù)學成績在(90,100)

內的概率就越小，所以A中結論錯誤；

當戶20時,P(75<X<135)

=P(75<X<115)+P(55<X<135)r理茨=()815,...R中結論正確；

由正態(tài)曲線關于直線495務稱可知學生數(shù)裁成績大于95的概率為0.5,與。無關，所以C中結論正確；

由正態(tài)曲線關于直線x=95對稱可知學生數(shù)學成績小于75與大于115的概率相等，與。無關，所以D中

結論正確.

故選A.

3.答案0.994

解析由題意可知,"-2o=20-2xl0=0於30=20+10="+0,則在一次測量中誤差在［0,30］內的概率尸=P(//-

2r7<X^+(7)=|p(W-2<7<X<iz+2<7)+|P^-o<X^+cr)^x(0.95+0.68)=0.815,

測量三次,每次測量誤差均不在［0,30］內的概率為(1-0.815)3=0.1853=0.006,

，獨立測量三次，至少有一次測量誤差在［0,30］內的概率約是1-0.006=0.994.

4.D由題意結合題中正態(tài)曲線可得,1班的數(shù)學平均成績?yōu)?00分,2班的數(shù)學平均成績?yōu)?02分，故A

錯誤;由題圖可得,1班的數(shù)學成績的標準差為5,2班的數(shù)學成績的標準差為6,相對于2班，本次考試中1

班不同層次學生的成績差距較小，故B錯誤;1班的成績在110分以上的概率為

P(XI>110)~1~°,^545=0.02275,故1班的成績在110分以上的人數(shù)約占該班總人數(shù)的

0.02275xl00%=2.275%,故C錯誤;2班的成績在114分以上的概率為P(X2>114)上等竺=0.02275,故2

班的成績在114分以上的人數(shù)約占該班總人數(shù)的0.02275xl00%=2.275%,又這兩個班的人數(shù)相等，所以

2班的成績在114分以上的人數(shù)與1班的成績在110分以上的人數(shù)相等，故D正確.故選D.

5.答案0.16;10

解析由題意得P(X〈82.5)=P(Xv〃-㈤=0.5-里匕呼空巴=0.5-0.34=0.16,

P(X>117.5)=P(X>〃+㈤=0.5-"“一?"嘰0.5-0.34=0.16,

因為成績在117.5分以上的學生有8