導(dǎo)數(shù)題型匯總解題思路精華

一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】函數(shù)在處得切線方程為，那么，?！敬鸢浮俊！纠?】〔1〕函數(shù)在點處的切線方程是?！?〕過點的函數(shù)的切線方程是?！?〕過點的函數(shù)的切線方程是?！军c評】求函數(shù)的切線問題，一定要關(guān)注所給的點是不是切點，關(guān)注字眼“在〞和“過〞。“在〞曲線上一點，該點必是切點，“過〞曲線外一點，該點必不是切點，“過〞曲線上一點，該點未必是切點?！敬鸢浮俊?〕〔2〕因為不在函數(shù)上，設(shè)函數(shù)的切點為，由得切線斜率。所以切線方程為，又切線過，代入得，所以，，，切線方程為?！?〕和。二、利用導(dǎo)數(shù)的正負性研究函數(shù)的單調(diào)性〔一〕不含參數(shù)型【例3】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！?〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解：〔1〕，令得或，令得或。所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞減，在上遞增。〔2〕。【略去解不等式過程】函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增。〔3〕【略去解不等式過程】。函數(shù)在上遞減，在上遞增?！?〕，令，得，令，得。所以在上遞減，在遞增。〔5〕，令得，令得。所以在上遞減，在上遞增。【點評】求單調(diào)區(qū)間時，題目當中假設(shè)無參數(shù)討論，一定要把導(dǎo)數(shù)求對，并且把定義域標注在后面。尤其碰到這個函數(shù)的時候。要會解簡單的指對不等式。〔二〕含有字母討論型：主要有以下四種題型【例4】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔1〕〔2〕〔3〕這里要注意，，對導(dǎo)數(shù)的正負性沒有影響。而的二次項有參數(shù)這里要注意，，對導(dǎo)數(shù)的正負性沒有影響。而的二次項有參數(shù)，與是要討論的，不能急于給出的兩根和。解：〔1〕①當時，，當時，當時，。②當時，令得或；令得。③當時，令得；令得或。綜上知，當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減；當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞減?！军c評】導(dǎo)數(shù)中，假設(shè)項有系數(shù)時，要先討論的情況。還要注意與的開口方向問題?！?〕。有兩根。①當時，恒成立。②當時，令得或；令得。③當時，令得或；令得。綜上知，當時，函數(shù)在上遞增；當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增?！军c評】當導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)時，且明確了開口方向后，假設(shè)有兩根，只需比擬兩根大小即可，不要忽略了兩根相等的情況?！?〕，。①當時，即時，恒成立。②當時，即時，有兩根。令得或；令得。綜上知，當時，函數(shù)在上遞增；當時，函數(shù)在上遞增，在遞減，在上遞增。【點評】假設(shè)導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，同時因式分解不能實現(xiàn)時，這時看看導(dǎo)數(shù)的判別式，針對來分類討論，也就是分析有根的情況。為了說的清楚，把這種情況單獨來說比擬方便?！?〕①時，當時，，當時；②時，，當時，，當時；③時，當時，，當時，，當時，；④時，在上恒成立；⑤時，當時，，當時，，當時，。綜上知，當時，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，函數(shù)在上遞增；當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增?！军c評】對于函數(shù)的定義域不是全體實數(shù)的函數(shù)來說，導(dǎo)函數(shù)一般有兩個根，其中一個為定根，另一個根含有參數(shù)。其中，定義域的邊界值和定根把整個數(shù)軸分成三局部。【如上題的定義域邊界值“0〞和定根“1〞把數(shù)軸分成了三局部?！窟@種情況下，只需把含參數(shù)的根從左向右依次在三局部上討論即可，同時不要遺漏在分界點的情況。分析時，可以畫圖輔助分析。如以下圖就是上面分類的五種分析圖。三、極值問題〔一〕何為極值？【例5】以下圖假設(shè)為函數(shù)的圖象，那么極大值點為，極小值點為。以下圖假設(shè)為的圖象，那么極大值點為，極小值點為。【點評】極值是指局部最大或局部最小。極值點是能使函數(shù)取極值的值?！纠?】函數(shù)。〔1〕假設(shè)有極值，那么；〔2〕假設(shè)為的一個極值點，并且函數(shù)的極小值為，那么，?！?〕假設(shè)，且有3個不同的根，那么?！痉治觥俊?〕有極值，不是說有解就行，而是說的值要有正有負。這需要。【】〔2〕函數(shù)在處取極值，可知，可求出來。但未必是函數(shù)的極小值點，還應(yīng)繼續(xù)分析函數(shù)的單調(diào)性，找到在哪里取極小值。【】〔3〕通過分析函數(shù)單調(diào)性，再求出極大值和極小值，就可以畫出函數(shù)的草圖，通過分析，只需并且，的圖象就會和軸有3個不同的交點?！尽俊纠?】函數(shù)有極大值，那么。解：。當時，函數(shù)在，在，在，所以，解得。當時，函數(shù)在，在，在，所以，解得?！军c評】研究函數(shù)極值問題時，必須要分析導(dǎo)數(shù)的正負性，研究函數(shù)的單調(diào)性。【例8】求函數(shù)的極值。解：。令得，列表如下：所以，當時，，當時，，當時，?！军c評】求極值的解答題，一定要列表，在表中要表達導(dǎo)數(shù)的正負性和單調(diào)性。列表的好處是，導(dǎo)數(shù)的正負性可以代數(shù)試出來。【編者語】所有求單調(diào)區(qū)間的題目都可以改為求極值問題。如前面的【例3】和【例4】，要注意由【例4】改編來的求極值問題，那可是需要討論的。四、閉區(qū)間上函數(shù)最值問題【例9】函數(shù)?！?〕求函數(shù)在上的最值；〔2〕求函數(shù)在上的最值；〔3〕當時，求函數(shù)在上的最值。解：。令得和?！?〕當時，，，，所以，?！?〕當時，，，。所以，?！军c評】求最值，要注意，極值點不在給定區(qū)間內(nèi)的點的函數(shù)值不要研究?！?〕在，在，在當時，函數(shù)在，，；當時，函數(shù)在，在。，最小值在與之間產(chǎn)生。，。。因為，所以。所以。所以。當時，函數(shù)在，在，在。最大值在和之間產(chǎn)生，最小值在和之間產(chǎn)生。，。所以。，。所以。綜上知，當時，，；當時，，；當時，。?！军c評】對于此題，把函數(shù)圖象草圖畫出來，讓參數(shù)從逐步向右移動，觀察圖象變化，分析出最大值和最小值的產(chǎn)生點，問題就會迎刃而解了。五、不單調(diào)問題【例10】函數(shù)?！?〕假設(shè)的單調(diào)遞減區(qū)間為，那么；〔2〕假設(shè)在上單調(diào)遞減，那么；〔3〕假設(shè)在上不單調(diào)，那么。解：?！?〕的單調(diào)遞減區(qū)間為，即指的解為。所以，的兩根為和。進而求得或?！尽俊?〕在上單調(diào)遞減，指在上恒成立。因為開口向上的二次函數(shù)。所以只需或，解得或?！尽俊?〕在上不單調(diào)，指在內(nèi)函數(shù)值有正有負，即的函數(shù)圖象要從內(nèi)穿過。所以只需或，解得或。即。六、恒成立問題【例11】函數(shù)?！?〕假設(shè)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；〔2〕假設(shè)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍。解：〔1〕在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，只需在上的最小值即可。，對稱軸為，①當時，只需，解得，此時無解；②當時，只需，解得；③當時，只需，解得，此時無解。綜上，在上單調(diào)遞增，的取值范圍是?！?〕在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即，即恒成立，又，所以在上恒成立。令，只需求在上的最小值即可?？赏ㄟ^研究單調(diào)性得知時，取最小值。，即?！舅悸伏c撥】函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，是指在所給區(qū)間上恒成立，這句話一定要在解題時寫上。注意是“〞。假設(shè)導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，均可通過研究軸與區(qū)間的位置關(guān)系來求解，另外，如何能輕松的將參數(shù)別離，也是一個好方法。思考：此題中，第一問為什么沒用參數(shù)別離思想做呢？【例12】。對恒成立，求的取值范圍。解：在上恒成立，令，，即即可。，。當，單調(diào)遞減；當，單調(diào)遞增。所以，當時，。所以。【點評】恒成立，不是指，而是指。七、存在性問題【例13】函數(shù)，假設(shè)在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：因為，且，令，得到，假設(shè)在區(qū)間上存在一點，使得成立，其充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可.〔1〕當，即時，對成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上的最小值為，由，得，即?！?〕當，即時，=1\*GB3①假設(shè)，那么對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，在