2023學(xué)年上海市格致初級高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)y=/(x)在R上可導(dǎo)且/(x)</'(x)恒成立，則下列不等式中一定成立的是()

A./(3)〉//(0)、/(2018)>e20,7(0)

B./(3)<e3/(0)>/(2018)>e2017(0)

C./⑶〉e3/(0)、/(2018)<e2017(0)

D./(3)<?7(0)./(2018)<e20,7(0)

2.如圖是一個算法流程圖，則輸出的結(jié)果是()

/輸出1/

結(jié)束］)

A.3B.4C.5D.6

3.在平面直角坐標系中，將點A(L2)繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。到點8,設(shè)直線OB與x軸正半軸所成的最小正

角為a,貝(jcosa等于()

「75

A2小B62

A.--------L?------D.——

5555

r2

4.雙曲線上一9二二1的漸近線方程是()

4

B.y=^x

2XC.y=±-D.y=±2x

2-32

5.如圖，平面a與平面夕相交于8C,ABua,CDu0，點Ae8C,氤DaBC,則下列敘述錯誤的是（）

A.直線AO與8c異面

B.過AO只有唯一平面與6C平行

C.過點。只能作唯一平面與8c垂直

D.過AO一定能作一平面與BC垂直

x-y+l>0

6.已知實數(shù)“、）‘滿足約束條件<3x—>-3<0,則z=2x+y的最大值為（）

yNO

A.-1B.2C.7D.8

7.如圖，在正方體ABCL>—A4G2中，已知E、八G分別是線段4G上的點，且4七=族=依=6?！竸t下

A.CEB.CFC.CGD.CC（

___22

8.已知點A（2后,3祈）在雙曲線*-1=1e>0）上，則該雙曲線的離心率為（）

A.巫B.典C.710D.2710

32

10.已知函數(shù)/(x)=sin3x-cos3x,給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)/(x)的值域是[-四,何；②函數(shù)/x+?為

奇函數(shù)；③函數(shù)“X)在區(qū)間|,y單調(diào)遞減；④若對任意XGR,都有/(辦)</(同4/(々)成立，則歸一引的

最小值為其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

11.已知忸+閘=2,a-be[-4,0],則同的取值范圍是()

-1

A.[0,1]B.--1C.[1,2]D.[0,2]

12.已知/為拋物線無2=4y的準線，拋物線上的點M至!]/的距離為d,點尸的坐標為(4,1),則|必+4的最小值是

()

A.717B.4C,2D.1+717

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若復(fù)數(shù)z=l-3i(i是虛數(shù)單位)，貝！|z(-10)=

14.(1+4)"展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32,則“=.

15.已知“是拋物線：/=2x上一點，N是圓/+(>-2)2=1關(guān)于直線x-y=()對稱的曲線。上任意一點，貝!||肱V|

的最小值為.

3

2-x——,x..O

2

16.已知函數(shù)/(》)=〈,若〃3加一l)>/(2—加)，則實數(shù)加的取值范圍為

3

2X——,x<0

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖所示，在四棱錐尸―ABCD中，底面ABCD為正方形，PALAB,F4=6,AB=8,PD=1O,

N為PC的中點，尸為棱8C上的一點.

(1)證明：面Q4F_L面ABC。；

(2)當尸為BC中點時，求二面角4一人丁一。余弦值.

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+4+|2x—3].

⑴當。=1時，求不等式/(x)?6的解集;

(2)若不等式"x"4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.(12分)在三棱柱ABC-A與G中，四邊形ABI%是菱形，AB=4,NA8用=60。，用G=3,BC±AB,

點M、N分別是A/、AG的中點，且

(1)求證：平面6CG4，平面448A；

(2)求四棱錐A—BCqg的體積.

20.(12分)設(shè)P(〃，Q(n,m)=q+l?,其中利?eN,.

A=Om-Vk

(1)當機=1時，求P5，DQ("，D的值;

(2)對VmeN*,證明：P("，哨?Q(〃，加)恒為定值.

)1

21.(12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列f｛q,｝的前〃項和為S,,且S“是%與一的等差中項.

%

⑴證明：｛用為等差數(shù)列，并求s.；

(2)設(shè)“——數(shù)列｛2｝的前〃項和為7“，求滿足5的最小正整數(shù)〃的值.

X=14-----1

2

22.(10分)在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為La為參數(shù))，以坐標原點。為極點，以X軸正

y=2------1

I2

半軸為極軸，建立極坐標系，曲線。的極坐標方程為夕=4cos8.

(1)寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)設(shè)直線/與曲線C相交于AB兩點，AE43的頂點P也在曲線C上運動，求AR43面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設(shè)g(x)=￡^,利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到g'(x)>0,得出函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

得到g(。)<g(3)<g(2018),進而變形即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)g(x)="，則g'(x)=/'("(彳⑺右)'=/'(x)-,

eeex

又由/(x)<f(x),所以g'(x)=/〉0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

貝！)g(0)<g(3)<g(2018)，即犁=/(0)<隼<,

eee

變形可得7(3)>e3/(0),/(2018)>e238/(o).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函

數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.

2.A

【解析】

執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：

第1次循環(huán)：滿足判斷條件，x=2,y=\t

第2次循環(huán)：滿足判斷條件，x=4,y=2；

第3次循環(huán)：滿足判斷條件，x=8,y=3；

不滿足判斷條件，輸出計算結(jié)果y=3,

故選A.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止

循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

設(shè)直線直線04與x軸正半軸所成的最小正角為夕，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得sin￡的值，依題有

。4，。8,則&="+90',利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.

【詳解】

如圖，設(shè)直線直線Q4與x軸正半軸所成的最小正角為夕

22#)

因為點A（l,2）在角夕的終邊上，所以sin^=于=

依題有OA±03,則a=J3+90°,

2x/5

所以cosa=cos(1+90°)=-sin/?=-------,

故選：A

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.

【詳解】

由題意可知，雙曲線產(chǎn)=1的漸近線方程是丫二土彳.

故選：C.

【點睛】

本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運用.

5.D

【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對選項中的命題判斷.

【詳解】

A.假設(shè)直線與8C共面，則A,D,B,C共面，則AB,CD共面，與COu,矛盾，故正確.

B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AO只有唯一平面與8C平行，故正確.

C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.

D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AO不一定能作一平面與垂直，故錯誤.

故選：D

【點睛】

本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

6.C

【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當直線過點。時，z取得最大值.

【詳解】

解：作出約束條件表示的可行域是以(-1,0),(1,0),(2,3)為頂點的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示:

當目標函數(shù)經(jīng)過點。(2,3)時，二取得最大值，最大值為7.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識,屬于中檔題.

7.B

【解析】

連接AC,使AC交8。于點。，連接4。、CF,可證四邊形4。。尸為平行四邊形，可得4?！?。尸，利用線面平

行的判定定理即可得解.

【詳解】

如圖，連接AC,使AC交于點。，連接A。、CF,則。為AC的中點,

在正方體ABC。一A中，AV/CG且A4=CG，則四邊形A4CC為平行四邊形，

4G"4c且4G=AC,

???0、/分別為AC、AG的中點，二人/7〃。。且

所以，四邊形4。。尸為平行四邊形，則c/〃4。，

?.?CFZ平面48。，AOU平面AB。，因此，c尸〃平面AB。.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題.

8.C

【解析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進而求得離心率.

【詳解】

將x=2Gy=3而代入方程?方=1e>0）得人=3屈，而雙曲線的半實軸”而，所以0

得離心率e=￡=W,故選C.

a

【點睛】

此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.

【詳解】

當x>l時，/（x）=ln（x-—）,

由y=-',y=1在（1,+<?）遞增，

X

所以"X-,在（1,用）遞增

X

又y=ln/是增函數(shù)，

所以〃x）=ln（x-3在（1,用）遞增，故排除B、C

當時/（x）=e8S"x,若xe（0,l）,貝!J?%€（0,%）

所以f=COS4X在（0,1）遞減，而〉=一是增函數(shù)

所以/（》）=68s◎在（0,1）遞減，所以A正確，D錯誤

故選：A

【點睛】

本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，

減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.

10.C

【解析】

71

化/(X)的解析式為應(yīng)sin(3x—7)可判斷①，求出/[x+的解析式可判斷②，由xe。得

n3冗、冗

3%一一e[—結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由

444

"%)w/(x)w“W)得k，-^L=!可判斷④.

【詳解】

由題意，/(x)=0sin(3x-?),所以/(x)e[-夜，夜],故①正確；/卜+?

夜$也[3。+彳)-3]=&5皿(3彳+7)=夜8531為偶函數(shù)，故②錯誤；當xe

qrjTT,i7T

時，3x--e[—,—],/(x)單調(diào)遞減，故③正確；若對任意xeR,都有

〃石)</(64/(々)成立，則可為最小值點，Z為最大值點，則|百一電|的最小值為

：T=￡n,故④正確.

23

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的綜合運用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的

問題.

【解析】

設(shè)比=21+日，可得小行=方?比一2萬2目40],構(gòu)造(。一工玩)242+-1-病，結(jié)合同=2,可得a-me

4164_22

根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.

【詳解】

設(shè)方=25+5,則慟=2,

2

b=m-2a9ab=a-m-23e[-4,0],

1111

:.(a——m)2=i?——5?玩dm?2<2Hm92

421616

I比|2=比』4,所以可得：土=_L,

82

11,1,1,9

配方可得—=一比242（汗-一疣）244+—比2一,

28482

13

所以-9-

22

又網(wǎng)7：陽區(qū)。[玩1勺萬葉山I列

44

則同e[0,2].

故選：D.

【點睛】

本題考查了向量的運算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

12.B

【解析】

設(shè)拋物線焦點為尸，由題意利用拋物線的定義可得，當P，M，F(xiàn)共線時，|函+”取得最小值，由此求得答案.

【詳解】

解：拋物線焦點尸(0,1),準線y=-l,

過M作MNAJ交I于低N,連接FM

由拋物線定義耳=d,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\>\PF\=J^=4,

當且僅當三點共線時，取“=”號，

.??|加+"的最小值為4.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.30i

【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.

【詳解】

-.-z=l+：.z(z-10)=(l-3/)(1+3z-10)=30z.

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應(yīng)用.

14.4

【解析】

由題意可得項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結(jié)果.

【詳解】

觀察式子可知

?.?8<C；+C；+y=2"<32,.”=4，

故答案為：4.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)二項式定理的問題，涉及到的知識點有展開式中項的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題目.

15.73-1

【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標，求出對稱圓的圓坐標到拋物線上的點的距離的最小值，減去半徑即可得到|阿的

最小值.

【詳解】

假設(shè)圓心(0,2)關(guān)于直線x-y=()對稱的點為(%,%),

=2

則有《“°,解方程組可得

%為+2=0Jo=0，

(22

所以曲線C的方程為(x—2)2+丁=1,圓心為C(2,0),

設(shè)M(x,y)(x>0),貝!J\MCf=(x—2'+/，

又V=2無，所以|MC「=(x—2)2+y2=x2_2x+4=(x_l)2+3,

12

.?.|MC|mjn=3,Bp|MC|m,n,所以=6—1,

故答案為：V3-1.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)動點距離的最小值問題，涉及到的知識點有點關(guān)于直線的對稱點，點與圓上點的距離的最小值為到

圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.

16.（-p|）

【解析】

畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)/（乃=/（可）和單調(diào)性可解.

【詳解】

作出函數(shù)“X）的圖如下所示，

觀察可知，函數(shù)/（%）為偶函數(shù)，且在（口,0）上單調(diào)遞增，

在（0,+8）上單調(diào)遞減，故/（3加—1）>/（2一加）U3加-11<|2-加|o

,13

8〃廠一2機一3<0。一一<m<-,

24

13

故實數(shù)/〃的取值范圍為（-一,一）.

24

13

故答案為：

24

【點睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

⑴如果函數(shù),/'（x）是偶函數(shù)，那么/（%）=/（W）.

（2）奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）證明見解析；（2）—士叵.

61

【解析】

（1）要證明面面ABC。，只需證明已4_1面48。。即可；

（2）以A為坐標原點，以AB,AD,AP分別為％,z軸建系，分別計算出面ANE法向量;1，面PBC的法

UU

向量〃2,再利用公式計算即可.

【詳解】

證明：（1）因為底面ABC。為正方形，所以AQ=AB=8

又因為PA=6,PD=W,滿足曰2+A￡>2=P￡>2，

所以

又叢_LAB,A￡>u面ABC。，AB1面ABC。，

ABr>AD=A>

所以。4_1面43?！辏?

又因為PAu面R3,所以，面叩_1面43。。.

（2）由（1）知AB,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標原點，以AB,AD,AP分別為x,>,二軸建系如圖所示,

則A（0,0,0）,尸（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,。（0,8,0）則"（4,4,3）,以8,4,0）.

所以麗=（8,4,0）,而=（4,4,3）,BC=（0,8,0）,PC=（8,8,-6）,

一z、\n,-AF=Q得，…=。

設(shè)面A/VF法向量為勺=（xi，y,zj,則由《一_

n,?AN—04%+4y+3Z]=0

八?33口口一「33八

令Z|=i得玉=7，yi=-->即

同理，設(shè)面P3C的法向量為馬=（X2，%，Z2），

%?定=0,|8X-6Z

2+8y2=0

則由，

n-BC=02

2^W=°

令z2=4得％=3,%=°，即%=（3,0,4%

設(shè)二面角4一版一。的大小為。，則

所以二面角A—版―C余弦值為-％畫.

61

【點睛】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運算求解能力，此類問題關(guān)鍵是準確寫出點的坐標,

是一道中檔題.

18.(1){x]—l〈x<2}(2)(—oo,—7jUfl,-^00)

【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值，結(jié)合圖象，從而求得不等式/(%)<6的解集；

(2)求出函數(shù)“X)的最小值，把問題化為Ax*024,從而求得。的取值范圍.

【詳解】

(1)當。=1時，

所以不等式/(X)<6的解集為{x\-l<x<2}.

(2)等價于|2x+a|+|2x-3|24,

jto|2x+?|+|2x-3|>|?+3|,

故等價于|a+3|",

所以。+3之4或。+3VY,

即。21或a4-7,

所以實數(shù)a的取值范圍為(F,-7]U[1,+8).

【點睛】

本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏

輯推理能力、運算求解能力，難度一般.

19.(1)證明見解析；(2)873-

【解析】

(1)要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出3CJ_平面4片曲即可；

(2)求出點A到平面BCGU的距離，然后根據(jù)棱錐的體積公式即可求出四棱錐A-8CG4的體積.

【詳解】

(1)連接AC，由ACGA是平行四邊形及N是AG的中點，

得N也是AC的中點，因為點M是AB的中點，所以MN//BC,

因為所以BCJ.AB-

又AB^AB^A,所以3CJ_平面AqBA,

又8Cu平面BCC4,所以平面BCC4，平面AB|BA；

(2)過A作A。，交4B于點a

因為平面BCG4J■平面平面BCGB|Cl平面4片區(qū)4=3乃，

所以AO平面BCCR,

由A^BA是菱形及ZABBi=60。，得AA網(wǎng)為三角形，則AO=26，

由3CJ_平面ABIRA,得BCLB]B,從而側(cè)面8CC4為矩形,

所以匕-8CG8=2XQAXBCX4B=2X

DLL］。］1

【點睛】

本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.

20.（1）1（2）1

【解析】

分析：（1）當m=1時可得尸（〃,1）=9,2（〃,1）=〃+1,可得P（L1）?Q（〃,1）=L（2）先得到關(guān)系式

〃I〃21]

P（n,m）=---P（n-l,m）,累乘可得P（〃向=麗嬴尸（°明）=聲-,從而可得P（〃租）-Q（〃,加）=1,即為

定值.

詳解：（1）當加=1時，。（〃1）=力（一1）C：亡J=C：：：=777

4=0[十K〃十14=0〃十I

又Q（〃,l）=C：+i=〃+1,

所以尸（〃」）?。（〃,1）=1.

…*琰&+*品+（7）"m

m+k

=I+￡（T）"C3

k=\

=P（〃TM+￡（T）F島

=w+竺￡（一1）七；m

nk=0m+k

=P（n-l,m）+—P（n,m）

n

即=一-—,

m+n

由累乘可得「（〃9）=/P（Q"?）=；，

（"+加）！Q+,“

又。（n,m）=C：+m，

所以P（n,m）-Q（n,m）=l.

即尸（〃，m）Q（n,〃?）恒為定值1.

點睛：本題考查組合數(shù)的有關(guān)運算，解題時要注意所給出的「（〃,〃?）和。（〃,加）的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由

于運算量較大，解題時要注意運算的準確性，避免出現(xiàn)錯誤.

21.（1）見解析，S1t=&