立體幾何解題技巧及高考類型題-老師專用

立體幾何解題技巧及高考類型題—老師專用【命題分析】高考中立體幾何命題特點(diǎn)：1.線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系．2.空間“角”與“距離”的計算常在解答題中綜合出現(xiàn)．3.多面體及簡單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn)．4.有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點(diǎn)．此類題目分值一般在1722分之間，題型一般為1個選擇題，1個填空題，1個解答題.【考點(diǎn)分析】掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念.掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念.【高考考查的重難點(diǎn)】空間距離和角“六個距離”：1、兩點(diǎn)間距離；2、點(diǎn)P到線l的距離（Q是直線l上任意一點(diǎn)，u為過點(diǎn)P的直線l法向量）；3、兩異面直線的距離（P、Q分別是兩直線上任意兩點(diǎn)，u為兩直線公共法向量）；4、點(diǎn)P到平面的距離（Q是平面上任意一點(diǎn)，u為平面法向量）；直線與平面的距離（P為直線上的任意一點(diǎn)、Q為平面上任意一點(diǎn)，u為平面法向量）；平行平面間的距離（P、Q分別是兩平面上任意兩點(diǎn)，u為兩平面公共法向量）；“三個角度”：1、異面直線角[0，]，cos=;【辨】直線傾斜角范圍[0，）；2、線面角[0，]，sin=或者解三角形；3、二面角[0，]，cos或者找垂直線，解三角形。不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成，即寓證明于運(yùn)算之中，證是本專題的一大特色.求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。其中，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定，是解決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具時，使得高考題具有很強(qiáng)的套路性?！纠}解析】考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題1、（福建卷）如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點(diǎn)．ABCDA1ABCDA1C1B1（Ⅱ）求二面角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)到平面的距離．考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．ABCDC1OFABCDC1OF為正三角形，．正三棱柱中，平面平面， G平面．連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．，為二面角的平面角．在中，由等面積法可求得，又，．又由于，即，解得故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程.考點(diǎn)3直線到平面的距離偶爾會再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.典型例題3．如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.BACDOGH解：解法BACDOGH上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面的距離,，，平面,又平面平面，兩個平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解法二∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則,即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4異面直線所成的角【重難點(diǎn)】此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.（1）求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進(jìn)而利用平面幾何知識（余弦定理、正弦定理、射線定理（））求解，整個求解過程可概括為：一找二證三求。（2）求異面直線所成角的步驟：①選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置斬點(diǎn)。②求相交直線所成的角，通常是在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行計算。③因為異面直線所成的角的范圍是0°＜≤90°，所以在三角形中求的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角。3、“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。4、利用向量，設(shè)而不找，對于規(guī)則幾何體中求異面直線所成的角也是常用的方法之一。方法總結(jié)：直接平移法、中位線平移、補(bǔ)形平移法、向量法典型例題4、長方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小。選題意圖，通過該題，讓學(xué)生進(jìn)一步理解異面直線所成角的概念，熟練掌握異面直線所成角的求法。分析：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問題，解三角形求之。解法一：如圖①連結(jié)B1C交BC1于0，過0點(diǎn)作OE∥DB1，則∠BOE為所求的異面直線DB1與BC1所成的角。連結(jié)EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE=∴∠BOE=解法二：如圖②，連DB、AC交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE∥DB1，過E點(diǎn)作EF∥C1B，則∠OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過O點(diǎn)作OM∥DC，連結(jié)MF、OF。則OF=，∠OEF=，∴異面直線B1D與BC1所成的角為。解法三：如圖③，連結(jié)D1B交DB1于O，連結(jié)D1A，則四邊形ABC1D1為平行四邊形。在平行四邊形ABC1D1中過點(diǎn)O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，則∠DOF或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。解法四：如圖④，過B1點(diǎn)作BE∥BC1交CB的延長線于E點(diǎn)。則∠DB1E就是異面直線DB1與BC1所成角，連結(jié)DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=∴∠DB1E=。解法五：如圖⑤，在平面D1DBB1中過B點(diǎn)作BE∥DB1交D1B1的延長線于E，則∠C1BE就是異面直線DB1與BC1所成的角，連結(jié)C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。分析：在已知圖形外補(bǔ)作一個相同的幾何體，以例于找出平行線。解法六：如圖⑥，以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個高為4的長方體ABCD-A2B2C2D2，連結(jié)D2B，則DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角，連C1D2，則△C1D2C2為Rt△，∠C1BD2=－，∴異面直線DB1與BC1所成的角是。解法七：如圖⑦，連結(jié)DB、DC1，設(shè)異面直線DB1與BC1所成的角為，，而=()=+=〈，〉+〈，〉∵BB1∥DD1∴〈，〉=〈，〉=∠D1DB1∠D1DB1=〈，〉=180°－∠DB1C1∵∠DB1C1=∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7∴=，解法八：如圖⑧，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。設(shè)和的夾角為，則=∴異面直線與所成的角為?？傊惷嬷本€所成的角是立體幾何中的重要概念，也是我們學(xué)習(xí)的第一個空間角，它的求法體現(xiàn)了立體幾何將空間圖形問題化歸為平面圖形問題的基本思想。典型例題5、長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。解法1：平移法設(shè)A1C1與B1D1交于O，取B1B中點(diǎn)E，連接OE，因為OE//D1B，所以∠C1OE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角△C1OE中，所以異面直線所成的角為解法2：補(bǔ)形法在長方體ABCD—A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個同樣大小的長方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，，所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖2解法3：利用公式設(shè)OA是平面α的一條斜線，OB是OA在α內(nèi)的射影，OC是平面α內(nèi)過O的任意一條直線，設(shè)OA與OC、OA與OB、OB與OC所成的角分別是、1、2，則（注：在上述題設(shè)條件中，把平面α內(nèi)的OC換成平面α內(nèi)不經(jīng)過O點(diǎn)的任意一條直線，則上述結(jié)論同樣成立）D1B在平面ABCD內(nèi)射影是BD，AC看作是底面ABCD內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的一條直線，BD與AC所成的角為∠AOD，D1B與BD所成角為∠D1BD，設(shè)D1B與AC所成角為，，。所以所以異面直線A1C1與BD1所成的角為解法4：向量幾何法：設(shè)為空間一組基向量所以異面直線A1C1與BD1所成的角為解法5：向量代數(shù)法：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC、DA、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），所以異面直線A1C1與BD1所成的角為解法6：利用公式定理：四面體A—BCD兩相對棱AC、BD間的夾角必滿足圖6解：連結(jié)BC1、A1B在四面體中，異面直線A1C1與BD1所成的角是，易求得圖7由定理得：所以小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點(diǎn)5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算.典型例題6、（全國卷Ⅰ理）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，，．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。疾槟康模罕拘☆}主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．解：解法一：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，DBCAS得DBCAS因為，所以，又，故為等腰直角三角形，，由三垂線定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，故，由，，，得，．的面積．連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得．設(shè)與平面所成角為，則．所以，直線與平面所成的我為．解法二：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．因為，所以．又，為等腰直角三角形，．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，，，，，，DBCAS，，所以DBCAS（Ⅱ）取中點(diǎn)，，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．，，．，，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．，．，，所以，直線與平面所成的角為．小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計算——常用解三角形的方法求角，④結(jié)論——點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6二面角【重點(diǎn)】此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個合適的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)=1\*GB3①從一條直線出發(fā)的兩個半平面所成的圖形叫做二面角，記作：二面角α—l—β。=2\*GB3②以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。=3\*GB3③范圍：2、二面角出現(xiàn)的狀態(tài)形式有哪些？ 豎立式橫臥式2、二面角的類型及基本方法（1）四種常規(guī)幾何作求法 定義法垂面法；三垂線法；射影面積法=S射影多邊形/S多邊形（2）向量法：=1\*GB3①設(shè)和分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量、的夾角為，如圖：結(jié)論=1\*GB3①：設(shè)和分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量、的夾角為，則有或結(jié)論=2\*GB3②：一般地，若設(shè)分別是平面的法向量，則平面與平面所成的二面角的計算公式是：或，其中銳角、鈍角根據(jù)圖形確定。1、定義法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。2、三垂線定理及逆定理法：自二面角的一個面上的一點(diǎn)向另一個面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)。斜足與面上一點(diǎn)連線，和斜足與垂足連線所夾的角即為二面角的平面角。3、作棱的垂面法:自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角的兩條射線所成的角就是二面角的平面角。4、投影法：利用s投影面=s被投影面這個公式對于斜面三角形，任意多邊形都成立，是求二面角的好方法。尤其對無棱問題PCBPCBAEEF2=m2+n2+d2－2mn典型例題7、若p是所在平面外一點(diǎn)，而和都是邊長為2的正三角形，PA=,求二面角P-BC-A的大小。分析：由于這兩個三角形是全等的三角形，故采用定義法解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE、PE AC=AB，PB=PC AEBC，PEBC為二面角P-BC-A的平面角在中AE=PE=，PA==900二面角P-BC-A的平面角為900。典型例題8、已知是正三角形，平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。[思維]二面角的大小是由二面角的平面角來度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來作平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn)間距離公式求二面角的平面角。解1：（三垂線定理法）取AC的中點(diǎn)E，連接BE，過E做EFPC,連接BFEPCBAF平面ABC，PAEPCBAF平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PAC由三垂線定理知BFPC為二面角A-PC-B的平面角設(shè)PA=1,E為AC的中點(diǎn)，BE=,EF=tan==arctan解2：（三垂線定理法）取BC的中點(diǎn)E，連接AE，PE過A做AFPE,FMPC,連接FMPCBPCBAEFM AEBC,PEBC BC平面PAE,BC平面PBC 平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE由三垂線定理知AMPC為二面角A-PC-B的平面角設(shè)PA=1，AM=,AF=PCBAEsinPCBAE=argsin解3：（投影法）過B作BEAC于E,連結(jié)PE平面ABC，PA平面PAC圖3平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC圖3BE平面PAC是在平面PAC上的射影設(shè)PA=1,則PB=PC=,AB=1EPCBEPCBAD由射影面積公式得，,解4：（異面直線距離法）過A作ADPC,BEPC交PC分別于D、E設(shè)PA=1,則AD=,PB=PC=圖4BE==,CE=,DE=圖4由異面直線兩點(diǎn)間距離公式得AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBE,=[點(diǎn)評]本題給出了求平面角的幾種方法，應(yīng)很好掌握。典型例題9、二面角的大小為，A是它內(nèi)部的一點(diǎn)，AB，AC,B、C為垂足。求證：平面ABC,平面ABC當(dāng)AB=4cm,AC=6cm時求BC的長及A到EF的距離。分析：本題采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）設(shè)過ABC的平面交平面于BD,交平面于CDAB,AB平面ABC 平面ABC,同理平面ABCABCD（2）ABABCDABEF同理ACEFEF平面ABDCBDEF,CDEF=BC=cm有正弦定理得點(diǎn)A到EF的距離為：d=cm過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法.以錐體為載體，對求角的問題進(jìn)行研究典型例題10、如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面積法來求，這里只要求出S△SCD與S△SAB即可，圖1SDC圖1SDCBA==。點(diǎn)評：（1）若利用射影面積法求二面角的大小，作為解答題，高考中是要扣分的，因為它不是定理.（2）由學(xué)生討論解決，教師根據(jù)學(xué)生的解答情況進(jìn)行引導(dǎo)、明確學(xué)生的解答。解法2：（三垂線定理法）解：延長CD、BA交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.又∵DA⊥平面SAB，∴過A點(diǎn)作SE的垂線交于