函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1.單調(diào)性判別法2.單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用3.曲線凹凸性與拐點(diǎn)的概念4.曲線凹凸性與拐點(diǎn)的判別法一、單調(diào)性的判別法定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)(1)則函數(shù)在上單調(diào)增加;(2)則函數(shù)在上單調(diào)減少;證且應(yīng)用拉氏定理得內(nèi)若在內(nèi)若在若在內(nèi),在上單調(diào)增加.若在內(nèi),在上單調(diào)減少.則則例1討論函數(shù)的單調(diào)性.又解在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.注：函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，完數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.要用導(dǎo)而不能用一點(diǎn)處單調(diào)區(qū)間的求法問(wèn)題:如何確定函數(shù)在定義域內(nèi)各部分區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注意:導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),均可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).方法:用方程的根來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).不存在的點(diǎn)及完例2討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為，.注意區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如，但是上單調(diào)增加.完例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)解解方程得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減少；間.在上單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，單調(diào)區(qū)間為例4試證明：當(dāng)時(shí)，證作輔助函數(shù)因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，又故當(dāng)時(shí)，所以完且例5證明方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.證令因在閉區(qū)間上連續(xù)，且根據(jù)零點(diǎn)定理在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，對(duì)于任意實(shí)數(shù)有所以內(nèi)單調(diào)增加，因此曲線在與軸至多只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述可知，方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.二、曲線凹凸的概念問(wèn)題如何研究曲線的彎曲方向?定義設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),若對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有則稱在上的圖形是凹的.若對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有則稱在上的圖形是凸的.定理2設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),若在內(nèi)(1)則在上的圖形是凹的;證明在情形(1),設(shè)和為內(nèi)任意兩點(diǎn),且記并記則由拉格朗日中值公式,得(2)則在上的圖形是凸的.其中兩式相減,即得對(duì)在區(qū)間上格朗日中值公式,得再利用拉格朗日中值公式,得其中按情形(1)的假設(shè),故即亦即所以在上的圖形是凹的.完例6判定的凹凸性.解因?yàn)樗?，題設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)是凹的.完例7判斷曲線的凹凸性.解當(dāng)時(shí)，曲線在為凸的；當(dāng)時(shí)，曲線在為凹的；注意到點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn).曲線的拐點(diǎn)及其求法定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).拐點(diǎn)的求法:根據(jù)定義知,如果在點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰近處異號(hào),則點(diǎn)就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn),如果進(jìn)一步要求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則在這樣的點(diǎn)處必有此外,使函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),也可能是使導(dǎo)數(shù)符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn).綜上所述,判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點(diǎn)的曲線的拐點(diǎn)及其求法綜上所述,判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點(diǎn)的步驟為:(1)(2)并求出使不存在的點(diǎn);(3)檢查其鄰近左、右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解出全部實(shí)根,令對(duì)步驟(2)中求出的每一個(gè)點(diǎn),凹的拐點(diǎn)凸的拐點(diǎn)凹的例8求曲線的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間.解易見(jiàn)函數(shù)的定義域?yàn)榱畹盟?曲線的凹間為凸區(qū)間為拐點(diǎn)為和例9求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解函數(shù)在處不可導(dǎo)，但時(shí)，曲線是凸的，時(shí)，曲線是凹的.故點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).內(nèi)容小結(jié)1.單調(diào)性判別法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)在上單調(diào)增加;在上單調(diào)減少;若函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除在有限個(gè)點(diǎn)不可導(dǎo)以外存在且連續(xù)，只要用2.單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.的零點(diǎn)和不存在的點(diǎn)劃分的定義區(qū)間，便能確定的單調(diào)區(qū)間.3.曲線凹凸性與拐點(diǎn)的概念定義設(shè)在內(nèi)連續(xù)，若對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)恒有則稱在內(nèi)的圖形是(向上)凹(或凸)的.4.曲線凹凸性與拐點(diǎn)的判別法定