函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

內(nèi)容回顧其中拉格朗日形式的余項或皮亞諾形式的余項n

階泰勒公式當時為n

階麥克勞林公式.1常用函數(shù)的麥克勞林公式2解3解法24三次多項式5練習(xí)6四、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計算中的應(yīng)用誤差M為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.可解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數(shù)n;2)已知項數(shù)

n

和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.7已知例1.計算無理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計算可知當n=9

時上式成立,因此的麥克勞林公式為8例2.用近似公式計算cos

x

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當時,由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到0.005.92.利用泰勒公式求極限解103.利用泰勒公式證明不等式例4.證明證:11兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),則當

時,等式左邊為整數(shù);矛盾!例5證明e

為無理數(shù).證:時,當故e

為無理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).12解13例7解利用麥克勞林公式14泰勒公式的應(yīng)用(2)近似計算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(1)利用多項式逼近函數(shù),常用函數(shù)的麥克勞林公式(P140~P142)15第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性16函數(shù)的單調(diào)性xyoxyo1718一、單調(diào)性的判別法定理說明:1.該定理的條件是充分條件而非必要條件定理’1920觀察下面的圖形,你能得出什么結(jié)論？綜上所述,可知:21(1)確定函數(shù)定義域;判斷函數(shù)單調(diào)性的方法總結(jié):22例1解23二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．方法:24例2解單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為25例3解單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為26時,成立不等式證:

令從而因此且證例427*證明令則從而即28例5證利用單調(diào)性判別方程根的情況2930利用單調(diào)性判別方程根的情況的一般步驟:第一步第二步第三步31利用函數(shù)處理數(shù)列例6證32觀察以下曲線各曲線有什么不同?..三、曲線的凹凸性彎曲方向不同33曲線凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方凸