矩陣理論-第三講

矩陣理論-第三講1上節(jié)內(nèi)容回憶方陣相似的定義相似矩陣的性質(zhì)自反性對稱性傳遞性保秩性行列式相等矩陣函數(shù)相似特征多項式、特征值相同2上節(jié)內(nèi)容回憶〔Continue〕方陣可對角化的定義方陣可對角化的充要條件3上節(jié)內(nèi)容回憶〔Continue〕可對角化方陣的對角化方法由的基構(gòu)成的矩陣可使4上節(jié)內(nèi)容回憶〔Continue〕定義Jordan塊Jordan矩陣5Jordan標準形〔Continue〕化方陣A為Jordan標準形特征向量法設(shè)如果是A的單重特征值在A的Jordan矩陣中構(gòu)造一個1階的Jordan塊如果是A的重特征值 有k個線性無關(guān)的特征向量或者此方法適用于以下能唯一確定Jordan塊的特殊情形：

：個1階的約當塊，實際上是一個對角塊在A的Jordan矩陣中構(gòu)造k個以為對角元素的Jordan塊k個Jordan塊的階數(shù)之和等于6Jordan標準形〔Continue〕特征向量法求矩陣的Jordan標準形舉例(1)在A的Jordan矩陣中構(gòu)造1個以1為對角元素的Jordan塊此Jordan塊的階數(shù)等于2單重根：7Jordan標準形〔Continue〕特征向量法求矩陣的Jordan標準形舉例(2)在A的Jordan矩陣中構(gòu)造2個以2為對角元素的Jordan塊此Jordan塊的階數(shù)等于38Jordan標準形〔Continue〕初等變換法多項式矩陣〔λ矩陣〕元素都是變數(shù)λ的復(fù)系數(shù)多項式，稱為多項式矩陣或λ-矩陣

多項式矩陣的初等變換和秩的定義與常數(shù)矩陣類似

多項式矩陣等價的定義也與常數(shù)矩陣類似由經(jīng)有限次初等變換得到矩陣多項式對，定義為矩陣A的多項式非零子式的最高階數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)9Jordan標準形〔Continue〕多項式矩陣的Smith標準型可通過有限次初等變換化為

其中都是首一多項式，且：多項式

整除由唯一確定，稱之為的Smith標準形等價的多項式矩陣具有相同的Smith標準形方陣的特征矩陣是一個特殊的多項式矩陣10Jordan標準形〔Continue〕不變因子稱的Smith標準形中非零的對角線元素為的不變因子初等因子將次數(shù)大于0的不變因子分解為互不相同的一次因式的冪的乘積〔在復(fù)數(shù)域內(nèi)，這樣的分解是可能的〕稱為的一個初等因子不變因子和初等因子的性質(zhì)多項式矩陣經(jīng)過初等變換后，其秩、不變因子、初等因子均不變規(guī)定:11Jordan標準形〔Continue〕例：求多項式矩陣的Smith標準形和不變因子解：

12Jordan標準形〔Continue〕

13Jordan標準形〔Continue〕

14Jordan標準形〔Continue〕

Smith標準形不變因子：15Jordan標準形〔Continue〕用初等變換法求Jordan標準形的步驟用初等變換化特征矩陣為Smith標準形，求出不變因子〔不恒等于0〕將次數(shù)大于0的不變因子分解為互不相同的一次因式的冪的乘積寫出的全部初等因子：

其中

可能相同16Jordan標準形〔Continue〕寫出每個初等因子對應(yīng)的Jordan塊以這些Jordan塊構(gòu)成的Jordan矩陣

即為方陣A的Jordan標準形17Jordan標準形〔Continue〕初等變換法求矩陣的Jordan標準形舉例(1)18Jordan標準形〔Continue〕初等變換法求矩陣的Jordan標準形舉例(1)——Continue

不變因子：初等因子：

A的Jordan標準形：19Jordan標準形〔Continue〕初等變換法求矩陣的Jordan標準形舉例(2)20Jordan標準形〔Continue〕初等變換法求矩陣的Jordan標準形舉例(1)——Continue

不變因子：初等因子：

A的Jordan標準形：21Jordan標準形〔Continue〕問題：求矩陣的特征矩陣的不變因子和初等因子解：

A的特征矩陣為

22Jordan標準形〔Continue〕多項式矩陣的行列式因子設(shè)對于，稱的一切k階子式的最大公因式為的k階行列式因子是一個變數(shù)λ的多項式；規(guī)定的最高次項的系數(shù)是1〔降冪排列是首一的〕規(guī)定

23Jordan標準形〔Continue〕必有相同的秩及相同的各級行列式因子；多項式矩陣的行列式因子和不變因子之間的關(guān)系 設(shè)，那么的k階行列式因子為 其中是的不變因子不變因子的等價定義 設(shè)，為的k階行列式因子，那么稱 為的不變因子24Jordan標準形〔Continue〕問題：求矩陣的特征矩陣的不變因子和初等因子解：

A的特征矩陣為

25Jordan標準形〔Continue〕的行列式因子為的不變因子為的全部初等因子為

26Jordan標準形〔Continue〕行列式因子法求方陣的Jordan標準形的步驟求特征矩陣的n個行列式因子根據(jù) 求出的不變因子求出的初等因子，并據(jù)此寫出A的Jordan標準形27Jordan標準形〔Continue〕行列式因子法求方陣的Jordan標準形舉例(1)——上三角陣考察的一個三階子式：28Jordan標準形〔Continue〕行列式因子法求方陣的Jordan標準形舉例(1)——Continue 顯然，要讓

同時整除上面的三階子式及是不可能的，所以： 從而 于是的不變因子為： 的初等因子為：

A的Jordan標準形為：29Jordan標準形〔Continue〕行列式因子法求方陣的Jordan標準形舉例(2)

考察的一個三階子式：30Jordan標準形〔Continue〕行列式因子法求方陣的Jordan標準形舉例(2)——Continue考察的一個三階子式： 比較： 顯然，要讓同時整除上面的三階子式及是不可能的，所以：31Jordan標準形〔Continue〕行列式因子法求方陣的Jordan標準形舉例(2)——Continue 從而 于是的不變因子為： 的初等因子為：

A的Jordan標準形為：

32Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求法：設(shè)

對應(yīng)的Jordan塊A的屬于的廣義特征向量A的屬于的特征向量33Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求法——Continue：首先進行相容性判定：，那么非其次線性方程組無解，那么有解，且其解為34Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求解舉例〔1〕：

設(shè)相似變換矩陣，由可得35Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求解舉例〔1〕——Continue：考察增廣矩陣36Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求解舉例〔1〕——Continue： 所以，的通解為：取k=1，那么，那么所用的相似變換矩陣為37Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求解舉例〔2〕：

設(shè)相似變換矩陣，由可得38Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求解舉例〔2〕——Continue：考察增廣矩陣39Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求解舉例〔2〕——Continue：考察增廣矩陣有解的條件是取，那么40Jordan標準形〔Continue〕的相似變換矩陣P的求解舉例〔2〕——Continue：由可得令，那么41