山東省聊城市東昌府區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平檢測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本題共12個(gè)小題，共36分．在每個(gè)小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知α為銳角，且sin（α﹣10°）＝，則α等于（）A.70° B.60° C.50° D.30°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得α﹣10°＝60°，進(jìn)而可得α的值．【詳解】解：∵sin（α﹣10°）＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．2.下列圖形中不一定是相似圖形的是()A.兩個(gè)等邊三角形 B.兩個(gè)等腰直角三角形C.兩個(gè)正方形 D.兩個(gè)長(zhǎng)方形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似來分析解答本題.【詳解】等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是，所以任意兩個(gè)等邊三角形一定存在兩對(duì)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等，再由相似三角形判定定理得兩個(gè)等邊三角形一定相似，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；等腰直角三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，所以任意兩個(gè)等腰直角三角形一定存在兩對(duì)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等，再由相似三角形判定定理得兩個(gè)等腰直角三角形一定相似，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；正方形可以看作是兩個(gè)全等的直角三角形拼接而成，故任意兩個(gè)正方形也相似，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；任意兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬對(duì)應(yīng)比例不確定，長(zhǎng)之比和寬之比不一定相等，所以任意兩個(gè)長(zhǎng)方形不一定相似，故正確答案為D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的定義和判定定理以及正方形相似和長(zhǎng)方形相似的判定方法.3.如圖，是某商店售賣的花架簡(jiǎn)圖，其中，，，，則長(zhǎng)為（）．A. B. C.50 D.30【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．由，利用平行線分線段成比例，可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：，，即，，的長(zhǎng)是．故選：D．4.如圖，若△ABC內(nèi)接于半徑為R的⊙O，且∠A＝60°，連接OB、OC，則邊BC的長(zhǎng)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延長(zhǎng)BO交圓于D，連接CD，則∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得BC=R.【詳解】解：延長(zhǎng)BO交⊙O于D，連接CD，則∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故選D.【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了圓周角定理、直角三角形30°角的性質(zhì)、勾股定理，注意：作直徑構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.5.如圖，把一根長(zhǎng)的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)處離地面的高度為，則石壩的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】證明，可得，即，即可求出結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得，即石壩的高度為2.7m，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，點(diǎn)D，E分別在的邊上，增加下列條件中的一個(gè)：①，②，③，④，使與一定相似的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定定理．根據(jù)相似三角形的判定定理“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”即可判斷．【詳解】解：①添加，又，∴，成立；②添加，且，∴，成立；③添加，但不一定與相等，故與不一定相似；④添加且，∴，成立．綜上，使與一定相似的有①②④，故選：B．7.以原點(diǎn)O為位似中心，作的位似圖形，與的相似比為，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，注意在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：在同一象限內(nèi)，∵與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，其中相似比是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴則點(diǎn)的坐標(biāo)為：；不在同一象限內(nèi)，∵與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，其中相似比是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，故選：D．8.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，則∠BCD的度數(shù)為()A.100° B.110° C.115° D.120°【答案】B【解析】【分析】連接AD，BD，由圓周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，從而可求得∠BAD＝70°，再由圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到∠BCD=110°.【詳解】如下圖，連接AD，BD，∵同弧所對(duì)的圓周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°-20°=70°，∴∠BCD=180°-70°=110°.故選B【點(diǎn)睛】本題考查圓中的角度計(jì)算，熟練運(yùn)用圓周角定理和內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵.9.如圖，△ABC是面積為27cm2的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積為（）A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.12cm2【答案】A【解析】【分析】先證明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵是面積為的等邊三角形∴∵矩形平行于∴∴∵被截成三等分∴，∴∴∴圖中陰影部分的面積故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解題意并能靈活運(yùn)用相關(guān)判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)M是的外心，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，根據(jù)是等邊三角形可知，設(shè)，則，利用銳角三角函數(shù)的定義用表示出的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，∵是等邊三角形，點(diǎn)M是的外心，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11.如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A.90° B.95° C.100° D.105°【答案】D【解析】【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線的性質(zhì)可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【詳解】如圖：連接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝OD，∴OC＝OB．∵OC⊥AB，∴,∴∠OBC＝30°．∵，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．12.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3，BP=CQ，連接AQ，DP交于點(diǎn)O，并分別與邊CD，BC交于點(diǎn)F，E，連接AE，下列結(jié)論：①AQ⊥DP；②OA2=OE?OP；③S△AOD=S四邊形OECF；④當(dāng)BP=1時(shí)，tan∠OAE=，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP與△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正確；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2=OD?OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE?OP；故②錯(cuò)誤；在△CQF與△BPE中，∴△CQF≌△BPE，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF與△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；∵BP=1，AB=3，∴AP=4，∵△AOP∽△DAP，∴，∴BE=，∴QE=，∵△QOE∽△PAD，∴，∴QO=，OE=，∴AO=5﹣QO=，∴tan∠OAE==，故④正確，故選C．點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共5個(gè)小題，共15分）13.如圖，已知四邊形四邊形，若，，則的長(zhǎng)為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)．根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．14.如圖，中，ACB=90°,AC=4,BC=3,則_______.【答案】【解析】【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解即可．【詳解】在Rt△ABC與Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，因而求一個(gè)角的函數(shù)值，可以轉(zhuǎn)化為求與它相等的其它角的三角函數(shù)值．15.已知：在⊙O中，弦AB將圓周分為5：1兩段弧，則弦AB所對(duì)的圓周角為__________°．【答案】30°或150°【解析】【分析】求出，再利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解決問題即可；【詳解】如圖，∵弦AB將圓周分為5：1兩段弧，∴，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)C，連接AC，BC，在劣弧AB上取一點(diǎn)D，連接AD，BD，∵，，∴，；故答案是30°或150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16.正六邊形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為___．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)確認(rèn)其內(nèi)切圓和外接圓的圓心位置，再利用正六邊形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形連接AD、CF，交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G由正六邊形性質(zhì)可知，點(diǎn)O是正六邊形的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，OC為其外接圓的半徑，OG是其內(nèi)切圓的半徑，且是等邊三角形設(shè)則在中，，因此，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)確定圓心的位置是解題關(guān)鍵．17.如圖，是的切線，B為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)C，以點(diǎn)A為圓心、以的長(zhǎng)為半徑作，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】【解析】【分析】先證明再利用陰影部分的面積等于三角形面積減去扇形面積即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接OB，是的切線，設(shè)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，掌握“整體求解扇形的面積”是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共8個(gè)小題，共計(jì)69分．解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推理步驟．）18.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，然后根據(jù)二次根式的乘法法則運(yùn)算；（2）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，再行二次根式的混合運(yùn)算．【小問1詳解】解：．【小問2詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解決問題的關(guān)鍵．19.如圖，O為原點(diǎn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（1）以O(shè)為位似中心在y軸左側(cè)將放大兩倍，并畫出圖形；（2）分別寫出兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知為內(nèi)部一點(diǎn)，寫出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析（2）點(diǎn)（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可．（2）由圖可直接得出答案．（3）觀察點(diǎn)的變化規(guī)律，可得答案．【小問1詳解】解：如圖，即為所求．【小問2詳解】解：由圖可得，點(diǎn)．【小問3詳解】解：由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的作圖及性質(zhì)，根據(jù)題意正確地作出已知圖形的位似圖形是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可知∠B=∠C，再證∠DEB=∠ADC=90°即可解決問題；（2）先求出AD的長(zhǎng)，由?AD?BD＝?AB?DE，即可求解DE的長(zhǎng)．【小問1詳解】∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．【小問2詳解】∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝=＝12，∵?AD?BD＝?AB?DE，∴DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．21.如圖，是一個(gè)地下排水管的橫截面圖，已知⊙O的半徑OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中點(diǎn)到弦AB的距離）．求：（1）水面的寬度AB．（2）橫截面浸沒在水中的的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】（1）50cm；（2）cm【解析】【分析】（1）過O作OH⊥AB于H，并延長(zhǎng)交⊙O于D，根據(jù)圓的性質(zhì)，計(jì)算得OH，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，即可得到答案；（2）連接OB，結(jié)合題意，根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)，得∠OAH＝30°，從而計(jì)算得∠AOB；再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，即可完成求解．詳解】（1）過O作OH⊥AB于H，并延長(zhǎng)交⊙O于D，∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm又∵OA＝OD＝50cm∴OH＝OD-HD＝25cm∴AH＝cm∴AB＝50cm；（2）連接OB，∵OA＝50cm，OH＝25cm，∴OH＝OA∵∠OHA＝90°∴∠OAH＝30°∴∠AOH＝60°∵OA＝OB，OH⊥AB∴∠BOH＝∠AOH＝60°∴∠AOB＝120°∴的長(zhǎng)是：cm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、勾股定理、含角直角三角形、弧長(zhǎng)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A、垂徑定理、勾股定理、弧長(zhǎng)計(jì)算的性質(zhì)，從而完成求解．22.如圖，某人在山坡坡腳C處測(cè)得一座建筑物定點(diǎn)A的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為45°．已知BC＝60m，山坡的坡比為1：2．（1）求該建筑物的高度（即AB的長(zhǎng)，結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度（即PD的長(zhǎng)，結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)建筑物的高度為60米；(2)點(diǎn)P的鉛直高度為（20﹣20）米．【解析】【分析】（1）過點(diǎn)P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，求出AB的長(zhǎng)度即可；（2）設(shè)PE＝x米，則BF＝PE＝x米，根據(jù)山坡坡度為1：2，用x表示CE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)AF＝PF列出等量關(guān)系式，求出x的值即可．【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，又∵AB⊥BC于B，∴四邊形BEPF是矩形，∴PE＝BF，PF＝BE∵在Rt△ABC中，BC＝90米，∠ACB＝60°，∴AB＝BC?tan60°＝60（米），故建筑物的高度為60米；（2）設(shè)PE＝x米，則BF＝PE＝x米，∵在Rt△PCE中，tan∠PCD＝，∴CE＝2x，∵在Rt△PAF中，∠APF＝45°，∴AF＝AB﹣BF＝60﹣x，PF＝BE＝BC+CE＝60+2x，又∵AF＝PF，∴60﹣x＝60+2x，解得：x＝20﹣20，答：人所在的位置點(diǎn)P的鉛直高度為（20﹣20）米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形，難度適中．23.如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，過B點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C（1）求證：∠CBP=∠ADB（2）若OA=2，AB=1，求線段BP的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析；（2）BP=7.【解析】【詳解】分析：（1）連接OB，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD=90°，再根據(jù)切線性質(zhì)得到∠OBC=90°，然后利用等量代換進(jìn)行證明；（2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的長(zhǎng)．詳（1）證明：連接OB，如圖，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC為切線，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴，即，∴BP=7．點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．24.圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角為，長(zhǎng)為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長(zhǎng)度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：，，，，，【答案】（1）1.8米（2）0.9米【解析】【分析】（1）過B作BF⊥AD于F．構(gòu)建Rt△ABF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值即可求出答案．（2）根據(jù)BF的長(zhǎng)可求出AF的長(zhǎng)，再判定出四邊形BFDC是矩形，可求出AD，根據(jù)BC＝DF＝AD?AF計(jì)算即可．【小問1詳解】如圖，過B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，

∵sin∠BAF＝，

∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．

∴真空管上端B到AD的距離約為1.8米．【小問2詳解】在Rt△ABF中，

∵cos∠BAF＝，

∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，

∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，

∴四邊形BFDC是矩形．

∴BF＝CD，BC＝FD，

∵EC＝0.5米，

∴DE＝CD?CE＝1.3米，

在Rt△EAD中，

∵tan∠EAD＝，

∴，

∴AD＝3.25米，

∴BC＝DF＝AD?AF＝3.25?2.4＝0.85≈0.9

∴安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度約為0.9米．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．25.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是⊙O上異于A，B的點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接AE，AF，BF，過點(diǎn)F作FC⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于