定積分的幾何應(yīng)用舉例

第八節(jié)定積分的幾何應(yīng)用舉例一、平面圖形的面積二、體積三、平面曲線的弧長(zhǎng)一、平面圖形的面積

1、直角坐標(biāo)系情形設(shè)曲線y=f(x)(x

0)與直線x=a,x=b(a<b)及x

軸所圍曲邊梯形的面積為A,則如右下圖所示圖形的面積：如圖所示圖形面積為解例1計(jì)算由兩條拋物線

y2=x和y

=x2

所圍成的圖形的面積.得兩曲線交點(diǎn)面積元素問(wèn)題：積分變量只能選x

嗎？xyo曲邊梯形的面積xyo圖形的面積解例1計(jì)算由兩條拋物線

y2=x和y

=x2

所圍成的圖形的面積.得兩曲線交點(diǎn)面積元素解題步驟：1.根據(jù)題意畫出平面圖形.4.寫出微元(面積元素)dA.2.求出邊界曲線的交點(diǎn).5.求出3.確定一個(gè)積分變量及其變化區(qū)間[a,b].解得兩曲線的交點(diǎn)解得兩曲線的交點(diǎn)解得交點(diǎn)為說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．解由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)

a=b

時(shí)得圓面積公式用參數(shù)方程表示的曲邊梯形的面積若曲邊梯形的曲邊y=f(x)(a

x

b)可化為參數(shù)方程則曲邊梯形的面積解由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．例5

求星形線圍成圖形的面積.練習(xí)：的一拱與

x

軸所圍平面圖形的面積.解:求由擺線面積元素曲邊扇形的面積2、極坐標(biāo)系情形解由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積解利用對(duì)稱性知求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）3、小結(jié)

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)三、旋轉(zhuǎn)體的體積1、繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為解直線OP

方程為例1如圖的直角三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．解例

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.

解則(利用對(duì)稱性)當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積方法2利用橢圓參數(shù)方程則2、繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積解3、補(bǔ)充解體積元素為(2)曲邊梯形繞直線x=a旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周4、小結(jié)四、平行截面面積為已知的

立體的體積

如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積五、平面曲線的弧長(zhǎng)

1、平面曲線弧長(zhǎng)的概念弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)2、直角坐標(biāo)情形解所求弧長(zhǎng)為解解曲線弧為弧長(zhǎng)3、參數(shù)方程情形解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)證根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知故原結(jié)論成立.曲線弧為弧長(zhǎng)4、極坐標(biāo)情形解解平面曲線弧長(zhǎng)的概念直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下弧微分的概念求弧長(zhǎng)的公式5、小結(jié)思考題思考題解答不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng)．例

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解

利用對(duì)稱性

,所求面積練習(xí)：

計(jì)算心形線的內(nèi)部與圓外部所圍圖形的面積

.

練習(xí)1、求心形線

=a(1+cos

)的內(nèi)部與圓

=a的外部所圍圖形的面積.2、設(shè)拋物線的軸平行于x軸，開(kāi)口向左，且通過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)(2,1)，求它與y軸之間面積為最小的拋物線方程.思考題思考題解答xyo兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)積分得所以所求曲線為練習(xí)1、求由曲線圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.2、