2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)第 15章 概率

第15章概率

15.2隨機(jī)事件的概率

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一古典概型的判斷

1.（多選）下列有關(guān)古典概型的說(shuō)法中正確的是（）

A.試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限

B.每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等

C.每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等

D.已知樣本點(diǎn)總數(shù)為〃，若隨機(jī)事件A包含2個(gè)樣本點(diǎn),則事件4發(fā)生的概率

尸（A）=；

2.（2021江蘇東臺(tái)中學(xué)月考）下列不是古典概型的是（）

A.在6個(gè)完全相同的小球中任取1個(gè)

B.任意拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)

C.已知袋子中裝有大小完全相同的紅色、綠色、黑色小球各1個(gè),從中任意取出

1個(gè)球,觀察球的顏色

D.從南京到北京共有n條長(zhǎng)短不同的路線，求某人正好選中最短路線的概率

題組二古典概型的概率

3.（2022廣東中山期中）中國(guó)古樂(lè)中的五音一般指五聲音階，依次為宮、商、角、

徵、羽.若從這五個(gè)音階中任取三個(gè)音階，則這三個(gè)音階中不含“商”的概率為

（）

A3B.iC.ZD.W

52104

4.（2022江蘇江浦高級(jí)中學(xué)期末）從3個(gè)不同大小的“冰墩墩”和2個(gè)不同大小的

“雪容融”掛鏈中任選2個(gè)，則恰好選中1個(gè)，冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”掛鏈的概率為

（）

A.-B.-C.-D.-

105510

5.（2021江蘇如皋第一中學(xué)期中）隨著高中新課程改革的不斷深入,數(shù)學(xué)試題的命

題形式正在發(fā)生著變化.某省示范性高中在數(shù)學(xué)試卷中加入了多項(xiàng)選擇題.每道多

項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.一同學(xué)解答一道多選題時(shí)，隨機(jī)

選了兩個(gè)選項(xiàng)，若答案恰為兩個(gè)選項(xiàng)，則該同學(xué)做對(duì)此題的概率為（）

A-iB搟C.iD.^

6.（2022江蘇徐州高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試）一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的1個(gè)白球和已編

有不同號(hào)碼的3個(gè)黑球，從中摸出2個(gè)球.求：

（1）樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n-

（2）事件“摸出2個(gè)黑球”包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）摸出2個(gè)黑球的概率.

7.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)Q（xj）,其中

且/y.求：

⑴點(diǎn)。（%,》）不在％軸上的概率；

⑵點(diǎn)。（九,回正好在第二象限的概率.

題組三古典概型的綜合應(yīng)用

8.（2021山東日照期中）若。是從1,2,5三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)力是從0,1,2三個(gè)數(shù)

中任取的一個(gè)數(shù)，則3的概率是（）

A.-B.2C.2D.士

9439

9.將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，記先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為Ac,則方程^+bx+c=0有兩

個(gè)相等實(shí)根的概率為（）

A七B.卷C.套D.；

10.老師為研究男女同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的差異情況,對(duì)某班50名同學(xué)（其中男同學(xué)30名,

女同學(xué)20名）采取分層抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為10的樣本進(jìn)行研究，則女同學(xué)

甲被抽到的概率為.

題組四隨機(jī)事件的頻率與概率

11.下列關(guān)于概率的說(shuō)法正確的是（）

A.頻率就是概率

B.任何事件的概率都在（0,1）之間

C.概率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)

D.概率是隨機(jī)的，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)

12.（2022江蘇海安高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試）隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購(gòu)物已逐漸成為消

費(fèi)時(shí)尚，為了解消費(fèi)者對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物的滿意情況,某公司隨機(jī)對(duì)4500名網(wǎng)上購(gòu)物消

費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查（每名消費(fèi)者限選一種情況回答），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

滿意比較非常

不滿意滿意

情況滿意滿意

人數(shù)200n21001000

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意''或"滿意”的概

率是（）

A二B2C.iiD.U

1551515

13.（2021江蘇吳江高級(jí)中學(xué)月考）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共3組，每組投籃次數(shù)和

命中的次數(shù)如下表：

第一組第二組第三組合計(jì)

投籃次數(shù)100200300600

命中的次數(shù)68125176369

命中的頻率0.680.6250.5870.615

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，那么誤差較小的可能性的

估計(jì)是（）

A.0.68B.0.625C.0.587D.0.615

能力提升練

題組一古典概型概率的求解

1.（2020江蘇侯集高級(jí)中學(xué)期中）不透明的袋子內(nèi)裝有相同的五個(gè)小球，分別標(biāo)有

編號(hào)1?5,現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取三次,則摸出的三個(gè)小球的編號(hào)乘積能被10整除的

概率為（）

A.二B—CAD.上

12512525125

2.（2021江蘇南通中學(xué)期中）安排甲、乙、丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教

室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，則恰好不安排甲到3號(hào)教室的概率為

（）

A.-B.-C.-D.i

3443

3.（多選）（2021浙江寧波期末）某博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)1,2,3的三輛車，按等

可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車方案.方案一:不乘

坐第一輛車，若第二輛車的序號(hào)大于第一輛車的序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛

車;方案二:直接乘坐第一輛車.記該嘉賓按方案一與方案二乘坐到3號(hào)車的概率分

別為尸112,則（）

A.P1P2W4B3.P1-P2W

C.P1+P2WD.PI>P2

4.（2022江蘇南通如東期末）河圖、洛書是我國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，蘊(yùn)

含著深?yuàn)W的宇宙星象之理，是中華文化之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、

七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陽(yáng)

數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)分別記為。力,則滿足|a/|=l的概率為（）

0-0-0—0—0—0—0

A.-B.-C.-DT

25252525

5.（2022江蘇白塔高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試）2022年4月16日9時(shí)56分,神舟十三號(hào)載

人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸,三位航天員翟志剛、王亞平、葉光富結(jié)束

了183天的太空之旅.為了增強(qiáng)學(xué)生的科技意識(shí)和愛(ài)國(guó)情懷,某區(qū)教育主管部門在

全區(qū)進(jìn)行了一次專題講座，講座結(jié)束后，每個(gè)學(xué)校選取學(xué)生代表進(jìn)行了一次專題測(cè)

試比賽.某校高一年級(jí)派出2男1女，共3名同學(xué),高二年級(jí)派出2男2女，共4名同

學(xué).

（1）若從該校高一年級(jí)和高二年級(jí)報(bào)名的同學(xué)中各任選1名進(jìn)行比賽，求選出的2

名同學(xué)性別相同的概率；

（2）若從該校高一年級(jí)和高二年級(jí)報(bào)名的這7名同學(xué)中任選2名進(jìn)行比賽,求選出

的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的概率.

題組二古典概型的綜合應(yīng)用

6.（2021江蘇南京雨花臺(tái)中學(xué)期中）已知a,bR2},若向量相=（4力）,〃=（1』）,則

向量"2與〃所成的角為銳角的概率是（）

A.-B.i

164

C.-D.-

816

7.（多選）（2021江蘇南京第十三中學(xué)期末）從集合A={-l,-3,2,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)

記為從集合8={-5』,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為。，則（）

\.ab>0的概率是

B.a+b>0的概率是3

C.直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率是g

D.lna+inb>\的概率是卷

8.（2020江蘇揚(yáng)州公道市冬階段測(cè)試）若於）和g⑴是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函

數(shù),對(duì)任意%￡［1,2］,都有|/U）+ga）|*,則稱危）和g（%）是“親密函數(shù)”.設(shè)

段）=or,g（x）W.若{1,2}力￡{-1,1,2},則於）和g㈤是“親密函數(shù)”的概率

為.

9.（2021江蘇南通天星湖中學(xué)期中）人耳的聽(tīng)力情況可以用電子測(cè)聽(tīng)器檢測(cè)，正常

人聽(tīng)力范圍為。?25分貝,并規(guī)定測(cè)試值在區(qū)間（0,5］內(nèi)為非常優(yōu)秀，測(cè)試值在區(qū)間

（5,10］內(nèi)為優(yōu)秀.某校500名學(xué)生參加了聽(tīng)力測(cè)試，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的測(cè)

試值作為樣本，制成如圖所示的頻率直方圖.

（1）從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)其測(cè)試值在區(qū)間（0,10］內(nèi)的概率；

（2）已知樣本中聽(tīng)力為非常優(yōu)秀的學(xué)生有4人，估計(jì)總體中聽(tīng)力為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù);

（3）現(xiàn)選出一名學(xué)生參加另一項(xiàng)測(cè)試，測(cè)試規(guī)則如下:四個(gè)音叉的發(fā)音情況不同，由

強(qiáng)到弱的編號(hào)分別為1,2,3,4.測(cè)試前將音叉順序隨機(jī)打亂，被測(cè)試的學(xué)生依次聽(tīng)完

后，將四個(gè)音叉按發(fā)音由強(qiáng)到弱排序，所對(duì)應(yīng)的音叉編號(hào)分別為0,。2,43,。4.記7=11-

0|+|2-“2|+|3七3|+|4-。4|,若用丫描述被測(cè)試者的聽(tīng)力偏離程度，求上2的概率.

答案與分層梯度式解析

第15章概率

15.2隨機(jī)事件的概率

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.ACD

2.B選項(xiàng)A中，在6個(gè)完全相同的小球中任取1個(gè)，每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，且該試驗(yàn)包含的基本事件

共有6個(gè)，故A是古典概型;選項(xiàng)B中,由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故B不是古典概型;選項(xiàng)C中,

該試驗(yàn)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型;選項(xiàng)D中，滿足古典概型的有限性和等可能

性，故D是古典概型.

易錯(cuò)警示

古典概型需滿足兩個(gè)條件:①樣本點(diǎn)總數(shù)有限;②各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.

3.A從這五個(gè)音階中任取三個(gè)音階的樣本空間{(宮商角),(宮商徵),(宮商羽),(宮角徵),(宮角羽),(宮

徵羽),(商角徵),(商角羽),(商徵羽),(角徵羽)}，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，

其中不含“商”的基本事件有{(宮角徵)},{(宮角羽)},{(宮徵羽)},{(角徵羽)}，共4個(gè)，

???這三個(gè)音階中不含“商”的概率為於=今

故選A.

4.C3個(gè)不同大小的“冰墩墩”掛鏈分別記為a,b,c,2個(gè)不同大小的“雪容融”掛鏈分別記為A,民從這5個(gè)

掛鏈中任選2個(gè)，樣本空間。={(&m，A)M,8),S,c),S,A),(6,8),("),(c,6),(4,8)},共有10個(gè)樣本點(diǎn)，

恰好選中1個(gè)“冰墩墩”和1個(gè)“雪容融”掛鏈的有(。4),38),俗/),(瓦功,(“),。,8),共6種情況,

所以恰好選中1個(gè)“冰墩墩”和I個(gè)“雪容融”掛鏈的概率為卷=/

故選C.

5.A設(shè)這道題的四個(gè)選項(xiàng)分別為A,B,C,D,該同學(xué)隨機(jī)選了兩個(gè)選項(xiàng)為事件M,則

M={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6個(gè)樣本點(diǎn)，

因?yàn)榇鸢盖閮蓚€(gè)選項(xiàng)且正確答案只有1個(gè),所以該同學(xué)做對(duì)此題的概率為;.

6

故選A.

6.解析由于4個(gè)球的大小相同，摸出每個(gè)球的可能性是均等的，所以是古典概型.

(1)將黑球編號(hào)為黑1,黑2,黑3,從裝有4個(gè)球的口袋內(nèi)摸出2個(gè)球的樣本空間0={(黑1,黑2),(黑1,

黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)}，共有6個(gè)樣本點(diǎn)，即〃=6.

(2)事件“摸出2個(gè)黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共有3個(gè)樣本點(diǎn).

(3)樣本點(diǎn)總數(shù)〃=6,事件“摸出2個(gè)黑球”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故摸出2個(gè)黑球的概率為

6Z

解題模板

利用古典概型公式計(jì)算概率的步驟

(1)確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n.

(2)確定所求事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)m.

(3)P(A)哼

7.解析因?yàn)榍遥詽M足條件的情況共有90種.

(1)設(shè)事件A為“點(diǎn)Q(x,y)不在x軸上”，易知事件“點(diǎn)Q(x,y)在x軸上”包含9個(gè)基本事件，所以事件A包含

的情況種數(shù)為90-9=81,因此,P(4)=黑卷

(2)設(shè)事件B為“點(diǎn)Q(x,y)正好在第二象限"，則x<0,y>0,所以事件B包含20個(gè)基本事件,因此,P(8)琮=3

8.C取得的數(shù)組伍⑼的可能情況為(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(5,0),(5,1),(5,2),共9種，

滿足蘇>〃的有(1Q),⑵o),(2,1),(5,0),(5,1),(5,2),共6種，

所以護(hù)的概率為智

故選C.

9.B將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，其包含的樣本點(diǎn)的總數(shù)為36,方程e+bx+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根的充要條

件為〃=4c,滿足要求的各種情況如表所示：

b123456

滿足b2=4c的

010100

樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

由此可知使方程x2+bx+c=O有兩個(gè)相等實(shí)根的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為0+1+0+1+0+0=2,故所求概率為尚二.

36lo

10.答案|

解析由題意知，從20名女同學(xué)中應(yīng)該抽取1OX*=4(人)，所以女同學(xué)甲被抽到的概率為/=*

11.C

12.C由題意得,“=4500-200-2100-1000=1200,所以隨機(jī)調(diào)查的網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿

意”或“滿意”的總?cè)藬?shù)為1200+2100=3300,所以隨機(jī)調(diào)查的網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意”

或“滿意”的頻率為鬻=3由此估計(jì)在網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)者中對(duì)網(wǎng)上購(gòu)物“比較滿意''或"滿意”的概率為5

45001515

13.D由題可知,試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率,對(duì)可能性的估計(jì)誤差越小.

故選D.

能力提升練

1.A有放回地隨機(jī)摸取三次，共有53=125種結(jié)果，

摸出的三個(gè)小球的編號(hào)乘積能被10整除包含的樣本點(diǎn)分四類：

第一類:5出現(xiàn)兩次,2或4出現(xiàn)一次，共6種情況，

第二類:5出現(xiàn)一次,2或4出現(xiàn)兩次，共6種情況，

第三類:5出現(xiàn)一次,2或4出現(xiàn)一次,1或3出現(xiàn)一次，共24種情況，

第四類:5,2,4各出現(xiàn)一次，共6種情況，

,滿足條件的樣本點(diǎn)共有42個(gè)，

...摸出的三個(gè)小球的編號(hào)乘積能被10整除的概率為我.

2.A甲、乙、丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，用

(a,b)(a=甲、乙、丙,。=1,2,3)表示可能的結(jié)果，則有

(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1);(甲,3),(乙,1),(丙,2);(甲,3),(乙

,2),(丙,1),共6種情況,

其中恰好不安排甲到3號(hào)教室有

(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1),共4種情況，

所以恰好不安排甲到3號(hào)教室的概率為白目.

o3

故選A.

3.CD分別標(biāo)有序號(hào)1,2,3的三輛車,按等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓的可能情況有

(1,2,3),(132),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6種，

該嘉賓按方案一乘坐到3號(hào)車包含的情況有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),共3種，

故該嘉賓按方案一乘坐到3號(hào)車的概率Pi=：=；.

該嘉賓按方案二乘坐到3號(hào)車包含的情況有(3,1,2),(3,2,1),故P2=；=；.

o3

PP2=2PLP2=WP>P2,P+P2=汨S.

66236

故選CD.

4.B由題圖可知陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9,陰數(shù)為2,4,6,8,10,則選出的①力)的所有可能情況有

(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(3,10),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(5,10),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(7/

0),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),(9,10),共25種，其中滿足|小目=1的有

(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10),共9種情況，

所以所求概率為費(fèi)

故選B.

5.解析記該校高一年級(jí)派出的2名男同學(xué)為Ai4%女同學(xué)為。；高二年級(jí)派出的2名男同學(xué)為8，&,2

名女同學(xué)為加力2.

(1)從該校高一年級(jí)和高二年級(jí)報(bào)名的同學(xué)中各任選1名的樣本點(diǎn)有

(4出),(4,%),(A?,6),(Ai,岳),(42,8),(A2,82),(4,仇),如,岳),3,8),5,82),3,仇),(。力2),共12個(gè)，

其中選出的2名同學(xué)性別相同的樣本點(diǎn)有(A1,B|),(4,B2),(A2,B|),(A2,B2),(，協(xié)),3力2),共6個(gè).

故選出的2名同學(xué)性別相同的概率為導(dǎo)方

(2)從該校高一年級(jí)和高二年級(jí)報(bào)名的這7名同學(xué)中任選2名的樣本點(diǎn)有

(AIm),(4,a),(A1,Bi),(Ai,%),(Ai),(Ai/2),(A2,a),(A2,BI),(A2,52),(A2,0I),(42乃2),3,81),3,歷),(5,B

2)?0),(3/2)?2力］),(%力2)，31/2),共21個(gè).

其中選出的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的樣本點(diǎn)有

(AI,A2),(AI,a),02,a),(31/2),(%,匕i),(82,82),(8102),共9個(gè).

故選出的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的概率為/=*

6.B向量枕與〃所成的角為銳角等價(jià)于，”?〃>(),且W?與”的方向不同，即加〃=(4,〃>(1』)=4+〃>0,則滿足

條件的向量，"有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其中機(jī)=(1,1)或加=(2,2)時(shí)，與〃同向，故舍去,故共有4

種情況滿足條件，

又m的取法共有4x4=16種，所以向量加與〃所成的角為銳角的概率是於斗

164

故選B.

7.AC由題意可得3,力所有可能的結(jié)果有(-1,-5),(-1』),(-1,4),(-3,-5),(-3,1),(-3,4),(2,-5),(2,1),(2,4),(4,-

5),(4/),(4,4),共12種.

對(duì)于A,滿足ab>0的結(jié)果有(-1,-5),(-3,-5),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共6種，

所以ab>0的概率為M3,故A正確；

對(duì)于B,滿足a+b>0的結(jié)果有(-1,1),(-1,4),(-3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共7種，所以a+b>0的概率為看故B

不正確；

對(duì)于C,因?yàn)橹本€y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限，所以4<0,生0,所以滿足直線y="x+匕不經(jīng)過(guò)第三象限的結(jié)果有

(-1,1),(-1,4),(-3,1),(-3,4),共4種，所以直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率為白卷故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镮na+lnb=ln(ab)>l,所以。>0力>(),加>e，所以滿足Ina+lnb>\的結(jié)果有(2,4),(4,1),(4,4),共3種,

故Ina+\nb>\的概率為子/故D不正確.

故選AC.

8.答案|

解析段)和g(x)是“親密函數(shù)”等價(jià)于辰+生。引1,2］,

當(dāng)a-\,b--\時(shí)，辰+