2015中考操作探究

操作探究

一、選擇題

1.（2015?浙江寧波，第12題4分）如圖，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個

正方形和2個長方形后仍是中心對稱圖形.若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后

不用測量就能知道周長的圖形標號為【】

①

②

③

②

①

A.①②B.②③C,①③D.①②③

【答案】A.

【考點】多元方程組的應(yīng)用（幾何問題）.

【分析】如答圖，設(shè)原住房平面圖長方形的周長為2/,①的長和寬分別為a,b,②③的邊

長分別為c,d.

a=c+d①---------------------------——

根據(jù)題意，得c=6+d②,6①

三------------------d②

a+b+2c=l（3）?③d

②

d①

a

將〃+代入③，得；（定值），答圖

6=2c4c=/n2c=/答圖

將2c=；/代入a+6=2c,得a+b=2（a+6）=/（定值），

而由已列方程組得不到d.

；.分割后不用測量就能知道周長的圖形標號為①②.

故選A.

2.（2015?浙江省紹興市，第10題，4分）挑游戲棒是一種好玩的游戲，游戲規(guī)則：當(dāng)一

根棒條沒有被其它棒條壓著時，就可以把它往上拿走。如圖中，按照這一規(guī)則，第1次應(yīng)拿

走⑨號棒，第2次應(yīng)拿走⑤號棒，…，則第6次應(yīng)拿走

A.②號棒B.⑦號棒C.⑧號棒D.⑩號棒

考點：規(guī)律型：圖形的變化類..

分析：仔細觀察圖形，找到拿走后圖形下面的游戲棒，從而確定正確的選項.

解答：解：仔細觀察圖形發(fā)現(xiàn)：

第1次應(yīng)拿走⑨號棒，

第2次應(yīng)拿走⑤號棒，

第3次應(yīng)拿走⑥號棒，

第4次應(yīng)拿走②號棒，

第5次應(yīng)拿走⑧號棒，

第6次應(yīng)拿走⑩號棒，

故選D.

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，鍛煉了同學(xué)們的識圖能

力.

二.填空題

1.（2015?浙江杭州，第16題4分）如圖，在四邊形紙片4中,/8=8C,/D=CD,

ZA=ZC=90°,Z5=150°,將紙片先沿直線8。對折，再將對折后的圖形沿從一

個頂點出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平，若鋪平后的圖形中有一個是面

積為2的平行四邊形，則CD=_______________________________

【答案】2+6或4+2內(nèi).

【考點】剪紙問題；多邊形內(nèi)角和定理；軸對稱的性質(zhì)；菱形、矩形的判定和性

第16題

質(zhì)；含30度角直角三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；分類思想和方程

思想的應(yīng)用.

【分析】?四邊形紙片中，ZA=ZC=90°,ZB=150°,AZC=30°.

如答圖，根據(jù)題意對折、裁剪、鋪平后可有兩種情況得到平行四邊形：

如答圖1,剪痕5"、BN,過點N作而，8M于點”，

易證四邊形8MDN是菱形，且NM8N=NC=30。.

設(shè)BN=DN=x,則M/=L.

2

根據(jù)題意，^x--x=2=>x=2,:.BN=DN=2,NH=\.

2

易證四邊形BHNC是矩形，.?.8C=AW=1.，在對A8CN中，CN=6

?*-CD=2+y/3

如答圖2,剪痕4E、CE,過點B作BHLCE于點、H,

易證四邊形B/EC是菱形，且/8C〃=30。.

答圖2

'設(shè)BC=CE=x,則84=Lx.

2

根據(jù)題意，^x--x=2=>x=2,BC=CE=2,BH=\.

2

在RfABCH中,CH=6,:.EH=2-8.

mCD?

易證ABCZ）0°SEHB,/.=---,即—-=----7=.

HBEHI2-V3

2（2+V3）

=4+26.

（2-73）（2+V3）

綜上所述，8=2+6或4+2百.

2.（2015?浙江省紹興市，第13題，5分）由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太

方便操作。小敏設(shè)計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可。如圖1,

衣架桿。/=。8=&機，若衣架收攏時，乙4。8=60。，如圖2,則此時/,8兩點之間的距離

是.▲

圖Iq?82

第BS圖

考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)..

專題：應(yīng)用題.

分析：根據(jù)有?個角是60。的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可.

解答：解：'：OA=OB,NZO8=60。，

...△408是等邊三角形，

.,.AB=OA=OB=\Scm,

故答案為：18

點評：此題考查等邊三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形的等邊三角形進

行分析.

3.（2015?四川廣安，第16題3分）如圖，半徑為，?的。。分別繞面積相等的等邊三角形、

正方形和圓用相同速度勻速滾動一周，用時分別為人、8“，則小心力的大小關(guān)系為」2

考點：軌跡..

分析：根據(jù)面積，可得相應(yīng)的周長，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案.

解答：解：設(shè)面積相等的等邊三角形、正方形和圓的面積為3.14,

等邊三角型的邊長為心2,

等邊三角形的周長為6；

正方形的邊長為6句.7,

正方形的周長為1.7x4=68

圓的周長為3.14x2x1=6.28,

V6.8>6.28>6,

故答案為：

點評：本題考查了軌跡，利用相等的面積求出相應(yīng)的周長是解題關(guān)鍵.

4.（2015?廣東梅州，第14題，3分）如圖，將矩形紙片4BCZ）折疊，使點4與點C重合，

折痕為跖，若/8=4,BC=2,那么線段E尸的長為.

考點：翻折變換（折疊問題）..

分析：如圖，AC交EF于氤O,由勾股定理先求出/C的長度，根據(jù)折疊的性質(zhì)可判斷出

RTAEOCSRTAABC,從而利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出OE,再由￡F=2OE可得

出EF的長度

解答：解：如圖所示，4c交EF于點O

由勾股定理知ZC=2、/R

又：折疊矩形使C與4重合時有EFA.AC,

貝ijRt/\AOEsRt/\ABC,

.QE_AQ

第14題圖

：.OE^^

2

故EF=2OE=y[s，

故答案為：述.

點評：此題考查了翻折變換、勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是判斷出

RT/\AOESRTLABC,利用相似三角形的性質(zhì)得出0E的長.

三.解答題

1.（2015?浙江省臺州市，第24題）定義：如圖1,點M,N把線段43分割成NM,MN

和BN,若以NMMN,8N為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點MN是線段N8的勾

股分割點

（1）已知點M,N是線段的勾股分割點，若4止2,MM=3求BN的長；

（2）如圖2,在△ZBC中，F(xiàn)G是中位線，點D,E是線段BC的勾股分割點，且EODE>BD,

連接/E分別交R7于點"，N,求證：點M,N是線段FG的勾股分割點

（3）已知點C是線段"8上的一定點，其位置如圖3所示，請在8c上畫一點。，使C,D

是線段的勾股分割點（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）

（4）如圖4,已知點N是線段的勾股分割點，MN>AM>BN,/\AMC,/\MND

和均是等邊三角形，/E分別交CM,DM,DN于點、F,G,H,若〃是。N的中點，

試探究和S四邊形MN”。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由

4

K分析】(L)①當(dāng)為最大線段時，由勾股定理求出②當(dāng)BX為最大線段時，由勾股定理求出BX即可；

(2)先證出點M、N分別是AD、AE的中點，得出BD=2FM，DE=2MN>EC=2NG，求出EC2=BD2-DE2,得出

NG2=FM2*MN2，即可得出結(jié)論；

(3)在AB上截取CE=CA；作AE點垂直平分線，截取CF=CA；作BF的垂直平分線，交AB于D即可；

(4)先證明ADGH經(jīng)△NEH，得出DG=EN=b，MG=c-b，再證明△AGMS^.AEN，得出比例式，得出c2=2

ab-ac+bc>證出c，=a2+b"，得出a=b，證出△DGHWACAF，得出SDDGH=SACAF，證出S&DMN=S&ACM

*SA^ENB,即可得出結(jié)論?

【解答】(L)解：①當(dāng)MN為最大線段時，

???點M、N是線段AB的勾股分割點，

B'=J必V2TA/2=后不后;

②當(dāng)BN為最大線段時，

???點M、N是線段AB的勾股分割點，

?,184卬2“/=眄'

綜上斫述：BN=6'或晅；

(2)證明：TFG是AABC的中位是,

二FG〃BC，

.AMANAG,

MDNEGC

：,點M、N分別是AD、AE的中點,

???BD=2FM>DE=2MN，EC=2NG，

???點D、E是線段BC的勾股分割點，且EC>DE》BD，

???EC2=BD2+DE2>

A(2NG)2=(2FM>2+(2MN)2>

???NG2=FM2+MN2>

■1■點M、N是線段FG的勾股分割點；

(3)解：作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE點垂直平分線，并截取CF=CA；

⑤連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

點D即為所求；如圖所示：

+

(4)解：S-jx^MNHG=S^AMFSi2BEN,理由如下：

設(shè)AM=a，BN=b，MN=c，

?JH是DN的中點,

?■?DH=HN=ic.

2

?1,AMND>ABNE均為△邊三角形,

AZD=ZDNE=60°，

在△DGH和ANEH中，

叱D=』DNE

<DH=HN，

ADHG=Z.NHE

AADGH^ANEH(ASA)，

2.(2015遼寧大連，26,12分)如圖，在平面直角坐標系中，矩形。8c的頂點4C分

別在x軸和y軸的正半軸匕頂點B的坐標為(2加〃)，翻折矩形O/8C,使點力與點C重

合，得到折痕QE設(shè)點B的時應(yīng)點為凡折痕DE所在直線與y軸相交于點G,經(jīng)過點C、F、

D的拋物線為y=ax2+bx+c。

(1)求點。的坐標(用含機的式子表示)

(2)若點G的坐標為(0,-3),求該拋物線的解析式。

(3)在(2)的條件下，設(shè)線段CD的中點為M,在線段CD上方的拋物線上是否存在點

P,使尸為,￡4?若存在，直接寫出尸的坐標，若不存在，說明理由。

2

y

5525

【答案】（1）（―%，，〃）；（2）y=--x1+—x+2（3）存在，點尸坐標為（1.632）和

4612

（0.9,3.2）。

【解析】解：（1）設(shè)。的坐標為：（&m）,根據(jù)題意得：CD=d,OC=m

（第26題圖）

因為CD//E4,所以NCDE=N4ED,又因為N4ED=NCED,所以NCDE=NCED,

所以CD=CE=EA=d,OE=2m—d,

在必△COE中，0。2+0己2=砥2,加2+（2加-d）2=42,解得：d=:/M。

所以。的坐標為：（,/I,tn）

4

（2）作。"垂直于X軸，由題意得：OG=3,

53531

OE=OA—EA=2m——m=—m.EH=OH—OE=—m——m=—m,DH=m.

44442

3

c肝一m3

△GOE^/\DHE,---=----,-y一=一o所以〃?=2.

HEHDm

2

y

所以此時。點坐標為（9,2）,CD=-,CF=2,FD=BD=4--=1.5

222

因為CDxFI=CFxFD,FI=2xl.5+2.5=L2

C/=ylCF2-FI2=A/22-1.22=1.6,

所以F的坐標為(1.6,3.2)

拋物線為丫=依2+8+。經(jīng)過點心F、D,所以代入得:

c=2

c=2

5

<6.25a+2.5b+c=2解得：<a=—

6

1.62Q+1.66+c=3.2

5)25

所以拋物線解析式為y=—=/+x+2。

612

(3)存在，因為尸所以PM，CD以“為圓心，MC為半徑化圓，交拋物線于

22

點產(chǎn)和點P.如下圖:

點尸坐標為（1.6,3.2）和（09,3.2）。

3.（2015?浙江濱州，第24題14分）根據(jù)下列要求，解答相關(guān)問題.

（1）請補全以下求不等式一■一—七。的解集的過程.

①構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象：根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù),=-21a—上；并在下面的坐標系

中（見圖1）畫出二次函數(shù)）-4r的圖象（只畫出圖象即可）.

②求得界點，標示所需：當(dāng)尸0時，求得方程一21?-41=。的解為:

并用鋸齒線標示出函數(shù)圖象中yN）的部分.

③借助圖象，寫出解集：山所標示圖象，可得不等式一才一4xN0的解集為.

（2）利用（1）中求不等式解集的步驟，求不等式三一如4444的解集.

①構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象：

②求得界點，標示所需：

③借助圖像，寫出解集：

（3）參照以上兩個求不等式解集的過程，借助一元二次方程的求根公式，直接寫出關(guān)于x的

不等式

OE2A，的解集.

【答案】（1）②曰=&巧=T；③-24x40.（2）②當(dāng)尸4時，求得方程一_0.1=4

的解為3=工巧=-1；③借助圖象，直接寫出不等式d4的解集：-lvz<3.

【解析】

試題分析：（1）正確畫出圖像，借助圖像可知與x軸的交點的橫坐標的值就是尸0時的一元

二次方程的解，然后借助圖像找到x軸上方的部分的x的取值就是不等式的解集；

（2）利用（1）的方法直接能得結(jié)果；

（3）根據(jù)求根公式可以得到與x軸的兩點的值，然后分三種情況①與x軸有兩個交點，5：-4ac>0時；

②與x軸有一個交點方：-4ac=0時;③與x軸沒有交點，-4ac<0時,判斷出ax：+方x+c>0（a>0）

的解集.

（第羽題圖1）

②巧=CL巧=-2；

③一2?工*0

（2）①構(gòu)造二次函數(shù)尸=x?—標14,并畫出圖象.

②當(dāng)y=4時，求得方程/一如，1=4的解為曰=工巧=-1；

③借助圖象，直接寫出不等式d-2r*lv4的解集:Tvxv/

（說明：以上三步中某步出現(xiàn)錯誤，則以后的各步均不得分；若把不等式一一2r+l<4

化為/一拉一爭40,構(gòu)造函數(shù)/=r*-2r-3進行求解亦可，具體評分參照上述標準）

（3）①當(dāng)球-J>。時，解集為x>一1抄—-或xv-5一物-4一（用“或”

2aU

與“和”字連接均可）.

②當(dāng)產(chǎn)一4i?=0時，解集為—■—（z>―上或*<一之■亦可）.

2a202a

③當(dāng)y一4?v0時，解集為全體實數(shù).

考點：二次函數(shù)的圖像與一元二次方程的解，與不等式的解集

2.（2015?浙江杭州，第21題10分）

“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為。，b,c,并且

這些三角形三邊的長度為大于1且小于5的整數(shù)個單位長度

（1）用記號（。,b,c）（a@±）表示一個滿足條件的三角形，如（2,3,3）表示邊長分別為2,

3,3個單位長度的一個三角形，請列舉出所有滿足條件的三角形

（2）用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足,的三角形（用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖

痕跡）

單位長度

【答案】解：(1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),

(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).

(2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a=2,6=3,c=4時滿足

如答圖的A48C即為滿足條件的三角形.

答圖

【考點】三角形三邊關(guān)系：列舉法的應(yīng)用；尺規(guī)作圖.

【分析】（1）應(yīng)用列舉法，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列舉出所有滿足條件的三角形.

（2）首先判斷滿足條件的三角形只有?個：?=2,b=3,c=4,再作圖：

①作射線且取/8=4；

②以點/為圓心，3為半徑畫弧；以點8為圓心，2為半徑畫弧，兩弧交于點C；

③連接/C、BC.

則A48C即為滿足條件的三角形.

4.（2015?浙江衢州，第21題8分）如圖1,將矩形AflCD沿ZW折疊，使頂點二落在R

上的點處，然后將矩形展平，沿防折疊，使頂點三落在折痕小上的點二處，再將矩

形37。沿C&折疊，此時頂點三恰好落在ZW上的點三處，如圖2.

（1）求證：8X3=CH；

（2）已知求加和的長.

【答案】解：（1）證明：由折疊知：AR=AD=aa.BC=CH

???由矩形AflOT知：AD=BG

:BQ=CH.

(2)如答圖,

0

??ZAD&=45rz=4=903=企,

,*DO—DP=2.??=2+^^,

由折疊知：Zl=Z2.Z3=Z4,

.?./1+Z3=W\Z2+Z4=90°答圖

?,Z1+ZJUW=9O°,:q=^AFB

又.2=4=900,

由(1)可得，AB=BC，

:.&￡M2AC80（J1A?）；M=BE

??加=M+3￡=2+岳點=2+浴

【考點】折疊問題；矩形的性質(zhì)；折疊對稱的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；全等三

角形的判定和性質(zhì).

【分析】（1）由折疊和矩形的性質(zhì)可得NG=??=，￡）=4C=CW

（2）判斷AAZX7和ADM都是等腰直角三角形，即可，由&=，2+￡/求得

版=2+點；由出普證明MKRACaB，得到心=班，從而由，■=慫+砧求

得=

5,（2015岳陽第23題10分）

已知直線加〃〃，點C是直線加上一點，點。是直線〃上一-點，8與直線〃2、〃不垂直,

點尸為線段8的中點.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線Um,/_L〃，垂足分別為/、B,當(dāng)點力與點C重合時（如圖①所示）,

連接尸B，請直接寫出線段均與尸8的數(shù)量關(guān)系：PA=PB.

（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線/向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的總

與尸8的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線/繞點4旋轉(zhuǎn)，使得//。8=90。（如圖③所示），

若兩平行線相、〃之間的距離為2k.求證：PA-PB=k-AB.

考點：幾何變換綜合題..

分析：（1）根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且點P為線段CD的中點，應(yīng)用直角三角

形的性質(zhì)，可得必=PB,據(jù)此解答即可.

（2）首先過C作CELn于點E,連接PE,然后分別判斷出PC=PE、NPCA=NPEB、AC=BE；

然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出即可判斷出刃=尸8仍然成立.

（3）首先延長力尸交直線〃于點尸，作于點E,然后根據(jù)相似三角形判定的方法,

?

判斷出△4E7s/；kjgp尸，即可判斷出么?8A尸，再個“尸=2么，AE=2k,BF=AB,可得

2PA?PB=2k.AB,所以R4，PB=k,AB,據(jù)此解答即可.

解答:解：（1）'：l±n,

：.BC±BD,

.??三角形是直角三角形，

又???點P為線段8的中點，

：.PA=PB.

（2）把直線/向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立,理由如下:

如圖②，過。作C￡_L〃于點￡,連接PE,

n

EE②

???三角形CEO是直角三角形，點尸為線段8的中點,

：?PD=PE,

又：點尸為線段的中點，

:?PC=PD,

：.PC=PE；

?：PD=PE,

:?/CDE=/PEB,

*?直線m//n,

：.ZCDE=ZPCA,

：.ZPCA=ZPEB,

又???直線/_Lm,7±n,CEL%CE_L%

：.I//CE,

：.AC=BE,

在△口C和△PHE中，

'PC二PE

<ZPCA=ZPEB

AC=BE

:.XPACsXPBE,

：.R4=PB,

(3)如圖③，延長ZP交直線〃于點尸，作力及L8O于點E,

mn

?APPC-

PFPD

：.AP=PF,

'：4PB=90。，

:.BP上AF,

又.：4P=PF,

：.BF=AB：

在△NEF和△BP/中，

[NAEF=NBPF=90°

lZAFE=ZBFP

△AEFS^BPF,

.AF_AE

.,而言

：.4F?BP=AE,BF,

'：AF=2R4,AE=2k,BF=AB,

：.2PA?PB=2k.AB,

：.R4>PB=k*AB.

故答案為：PA=PB.

點評：（1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思

想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解

答相應(yīng)的問題的能力.

（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握.

（3）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，

要熟練掌握.

6.(2015?江蘇南昌，第24題12分)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形例如

圖1,圖2,圖3中，是的中線,垂足為P.像△4BC這樣的三角形均

為“中垂三角形設(shè)BC=a,AC=h,AB=c.

特例探索

(1)如圖1,當(dāng)NABE=45。,c=2/時，a=，b=；

如圖2,當(dāng)//BE=30。，c=4時，a=,b=

歸納證明

(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想az,/,乙？三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利

用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在中，點瓦EG分別是4),8C,C。的中點，BE1.EG,AD=25AB=3