2021年度空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)

立體幾何空間向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

知識(shí)網(wǎng)絡(luò):

空間向量基本定理

空間向量

空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示

空間向量及

其運(yùn)算

----------H空間直角坐標(biāo)系

空空間向量的

間運(yùn)算

空間向量的線性運(yùn)算，數(shù)量

向

積及其坐標(biāo)表示

ft

與

立

體

幾

何

知識(shí)點(diǎn)撥：

1、空間向量概念及其運(yùn)算與平面向量類似，向量加、減法平行四邊形法則，三角形法則

以及有關(guān)運(yùn)算律依然成立.空間向量數(shù)量積運(yùn)算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向

量在空間中推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維推廣.

2、當(dāng)￡、坂為非零向量時(shí).=是數(shù)形結(jié)合紐帶之一，這是運(yùn)用空間向量

研究線線、線面、面面垂直核心，普通可以與向量運(yùn)算法則、關(guān)于運(yùn)算律聯(lián)系來解決垂直論

證問題.

_ab

cos<a,br>-,,,

3、公式Mlq是應(yīng)用空間向量求空間中各種角基本，用這個(gè)公式可以求兩

異面直線所成角（但要注意兩異面直線所成角與兩向量夾角在取值范疇上區(qū)別），再結(jié)合平

面法向量，可以求直線與平面所成角和二面角等.

4、直線方向向量與平面法向量是用來描述空間中直線和平面相對(duì)位置重要概念，通過研

究方向向量與法向量之間關(guān)系，可以擬定直線與直線、直線與平面、平面與平面等位置關(guān)系

以及關(guān)于計(jì)算問題.

5、用空間向量判斷空間中位置關(guān)系慣用辦法

(1)線線平行

證明兩條直線平行，只需證明兩條直線方向向量是共線向量.

(2)線線垂直

證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線方向向量垂直，即=

(3)線面平行

用向量證明線面平行辦法重要有：

①證明直線方向向量與平面法向量垂直；

②證明可在平面內(nèi)找到一種向量與直線方向向量是共線向量；

③運(yùn)用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性表達(dá)直線方向向量.

(4)線面垂直

用向量證明線面垂直辦法重要有：

①證明直線方向向量與平面法向量平行；

②運(yùn)用線面垂直鑒定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.

(5)面面平行

①證明兩個(gè)平面法向量平行(即是共線向量)；

②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.

(6)面面垂直

①證明兩個(gè)平面法向量互相垂直；

②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題.

6、運(yùn)用空間向量求空間角

(1)求兩異面直線所成角

a-b

cos<a,b>=

運(yùn)用公式

但務(wù)必注意兩異面直線所成角0范疇是嗚

cos6=|cos<a,坂>|

故實(shí)質(zhì)上應(yīng)有:

(2)求線面角

求直線與平面所成角時(shí)，一種辦法是先求出直線及射影直線方向向量，通過數(shù)量積求出

直線與平面所成角；另一種辦法是借助平面法向量，先求出直線方向向量與平面法向量夾角

<1>,即可求出直線與平面所成角。，其關(guān)系是sin0=|cos<b|.

(3)求二面角

用向量法求二面角也有兩種辦法：一種辦法是運(yùn)用平面角定義，在兩個(gè)面內(nèi)先求出與棱

垂直兩條直線相應(yīng)方向向量，然后求出這兩個(gè)方向向量夾角，由此可求出二面角大小；另一

種辦法是轉(zhuǎn)化為求二面角兩個(gè)面法向量夾角，它與二面角大小相等或互補(bǔ).

7、運(yùn)用空間向量求空間距離

空間中各種距離普通都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面距離.

(1)點(diǎn)與點(diǎn)距離

點(diǎn)與點(diǎn)之間距離就是這兩點(diǎn)間線段長度，因而也就是這兩點(diǎn)相應(yīng)向量模.

(2)點(diǎn)與面距離

點(diǎn)面距離求解環(huán)節(jié)是：

①求出該平面一種法向量；

②求出從該點(diǎn)出發(fā)平面任一條斜線段相應(yīng)向量；

③求出法向量與斜線段向量數(shù)量積絕對(duì)值再除以法向量模，即得規(guī)定點(diǎn)面距離.

備考建議：

1、空間向量引入，把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間，運(yùn)用空間向量解決關(guān)于直線、平面

位置關(guān)系問題，應(yīng)體會(huì)向量辦法在研究幾何圖形中作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想像能力和幾何直

觀能力.

2、靈活選取運(yùn)用向量辦法與綜合辦法，從不同角度解決立體幾何問題.

3、在解決立體幾何中關(guān)于平行、垂直、夾角、距離等問題時(shí)，直線方向向量與平面法向

量有著舉足輕重地位和作用，它特點(diǎn)是用代數(shù)辦法解決立體幾何問題，無需進(jìn)行繁、難幾何

作圖和推理論證，起著從抽象到詳細(xì)、化難為易作用.因而，應(yīng)純熟掌握平面法向量求法和

用法.

4、加強(qiáng)運(yùn)算能力培養(yǎng)，提高運(yùn)算速度和精確性.

第一講空間向量及運(yùn)算

一、空間向量關(guān)于概念

1、空間向量定義

在空間中，既有大小又有方向量叫做空間向量.注意空間向量和數(shù)量區(qū)別.數(shù)量是只有

大小而沒有方向量.

2、空間向量表達(dá)辦法

空間向量與平面向量同樣，也可以用有向線段來表達(dá)，用有向線段長度表達(dá)向量大小，

用有向線段方向表達(dá)向量方向.若向量。相應(yīng)有向線段起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量?？梢?/p>

記為通，其模長為忖或

3、零向量

長度為零向量稱為零向量，記為0.零向量方向不擬定，是任意.由于零向量這一特殊

性，在解題中一定要看清題目中所指向量是“零向量”還是“非零向量”.

4、單位向量

模長為1向量叫做單位向量.單位向量是一種慣用、重要空間向量，在后來學(xué)習(xí)中還要

經(jīng)慣用到.

5、相等向量

長度相等且方向相似空間向量叫做相等向量.若向量Z與向量B相等，記為7=尻零向

量與零向量相等，任意兩個(gè)相等非零向量都可以用空間中同一條有向線段來表達(dá)，并且與有

向線段起點(diǎn)無關(guān).

6、相反向量

長度相等但方向相反兩個(gè)向量叫做相反向量.a相反向量記為一a

二、共面向量

1、定義

平行于同一平面向量叫做共面向量.

2、共面向量定理

一一—,-?_

若兩個(gè)向量8不共線，則向量P與向量a、b共面充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)X、y,使

得萬=江+仍。

3、空間平面表達(dá)式

空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y使MP=xMA+yMB或

對(duì)空間任一定點(diǎn)0,有OP=0M+MP=OM+xMA+yMB或

OP=xOA+yOB+zOM（其中x+y+z=l這幾種式子是M,A,B,P四點(diǎn)共面充要條件.

三、空間向量基本定理

1、定理

一一一—?

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任從來量P,存在唯一有序?qū)崝?shù)組x、y、

z,使萬=總+防+z2

2、注意如下問題

(1)空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量一種基底.

(2)由于°可視為與任意一種非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，因此，三個(gè)

向量不共面，就隱含著它們都不是°。

(3)一種基底是指一種向量組，一種基向量是指基底中某一種向量，兩者是有關(guān)聯(lián)不

同概念.

由空間向量基本定理知，若三個(gè)向量￡、加、2不共面。那么所有空間向量所構(gòu)成集合

就是伊萬=+而+ZC'"ZGR｝,這個(gè)集合可看做是由向量鼠鼠工生成，因此咱們

把｛"'Ac｝稱為空間一種基底。2、石、工叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面向量都可構(gòu)成

空間一種基底.

3、向量坐標(biāo)表達(dá)

(1)單位正交基底

如果空間一種基底三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1,則這個(gè)基底叫做單位正交基底，

慣用表達(dá).

(2)空間直角坐標(biāo)系

在空間選定一點(diǎn)o和一種單位正交基底以點(diǎn)o為原點(diǎn)，分別以7、了、％方向

為正方向建立三條數(shù)軸:X軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸.則建立了一種空間直角坐標(biāo)系

。一xyz,點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量，'、j、1都叫坐標(biāo)向量.

(3)空間向量坐標(biāo)

給定一種空間直角坐標(biāo)系和向量3,且設(shè)7、A2為坐標(biāo)向量，存在唯一有序數(shù)組(x,

y,z)使。=*+>/+2上，有序數(shù)組(x,y,z)叫做Z在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中坐標(biāo),

記為3=(*'y")。

對(duì)坐標(biāo)系中任一點(diǎn)A,相應(yīng)一種向量方，則厲=a=xi+y]+zE。在單位正交基底

i、j、]中與向量°A相應(yīng)有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中坐

標(biāo)，記為A(x,y,z).

四、空間向量運(yùn)算

1、空間向量加法

三角形法則(注意首尾相連)、平行四邊形法則，

加法運(yùn)算律：互換律a+b^b+a

結(jié)合律V>（'

2、空間向量減法及幾何作法

兒何作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作°A=a，03=〃，則麗=3-反即從坂終點(diǎn)指

向￡終點(diǎn)向量，這就是向量減法幾何意義.

3、空間向量數(shù)乘運(yùn)算

（1）定義

實(shí)數(shù)丸與￡積是一種向量，記為丸￡,它模與方向規(guī)定如下：

①帕卜呻

②當(dāng)2>（）時(shí)，2。與。同向；當(dāng)％〈（）時(shí)，2。與。異向；當(dāng)力=（）時(shí).=6

注意：

①關(guān)于實(shí)數(shù)與空間向量積丸z理解：咱們可以把￡模擴(kuò)大（當(dāng)1川>1時(shí)），也可以縮小

（HL1時(shí)），同步，咱們可以不變化向量[方向（當(dāng)4>°時(shí)），也可以變化向量Z方向

（當(dāng)4<0時(shí)）。.

②注意實(shí)數(shù)與向量積特殊狀況，當(dāng)4=。時(shí)，九3=°；當(dāng)丸。。，若2=6時(shí)，有幾3=0。

③注意實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算.例如X+Z,九-￡無法運(yùn)算。

（2）實(shí)數(shù)與空間向量積滿足運(yùn)算律

設(shè)入、口是實(shí)數(shù)，則有

%加）=（初）￡（結(jié)合律）

（X+〃）a=幾。+4。（第一分派律）

A[a+b]-Aa+Ab皿，-、

V）（第二分派律）

實(shí)數(shù)與向量積也叫數(shù)乘向量.

4、共線向量

（1）共線向量定義

若表達(dá)空間向量有向線段所在直線互相平行或重疊，則這些向量叫做共線向量，也叫做

平行向量。若［與五是共線向量，則記為2〃坂。

注意：零向量和空間任從來量是共線向量.

(2)共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量％、B,Z//B充要條件是存在實(shí)數(shù)入使3=人坂

(3)空間直線向量表達(dá)式

如果直線/是通過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量2直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O,點(diǎn)P

在直線/上充要條件是存在實(shí)數(shù)3滿足等式而=礪+而，其中向量％叫做直線/方向

向量.

注意：

①若在/上取而=鼠則有而=麗+，麗,.??麗=麗+，(幅-網(wǎng)=(~)m+

tOB

②上式可解決三點(diǎn)P、A、B共線問題表達(dá)或鑒定.

1—?1—.1—.

t=-OP=-OA+-OB

③當(dāng)2時(shí)，22,點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，這是中點(diǎn)公式向量表達(dá)式.

_麗=」-厲+上麗

④若P分AB所成比為丸，則1+41+A

5、空間直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，三條坐標(biāo)軸兩兩互相垂直，軸方向普通這樣選取：從z軸正方向

看，x軸正半軸沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸正半軸重疊。讓右手拇指指向x軸正方向.食

指指向y軸正方向，如果中指指向z軸正方向，那么稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。普

通狀況下，建立坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系.

在平面上畫空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí)，普通使NxOy=135°,ZyOz=90°。

空間兩點(diǎn)間距離公式是平面上兩點(diǎn)間距離公式推廣，是空間向量模長公式推廣，如果懂

得兒何體上任意兩點(diǎn)坐標(biāo).咱們就可直接套用.

設(shè)1(石，加4),鳥。2，%,22),則由段=/(馬一%了+⑴一yr+Q-zJ

特別地，Pi(x,y,z)到原點(diǎn)距離l°PI=Jx2+y2+z2

6、空間向量數(shù)量積運(yùn)算

T->TT-?-?

a-b=|a|-|bpcos<a,b>

-?—>—>—>

其中<a,b>為a與b夾角，范疇是[o,jr],注意數(shù)量積性質(zhì)和運(yùn)算律。

1.性質(zhì)

TT->->->->

若a、b是非零向量，e是與b方向相似單位向量，。是a與e夾角，則

-?—>—>—>—>

⑴e-a=a-e=|a|cos^

->—>->—>

(2)a±ba-b=0

——>——>—>—>—>—>

(3)若a與b同向，則a-b=|a|」b|；

—>—>—>T—>—>

若a與b反向，則a-b=一|a||b|；

T->—>—>/—>—>

特別地：a?a=|a|2或|a|=Va-a

a、b的夾角，則cos6=—土上一

—>—>

(4)若0為la|-|b|

(5)la-b|<|a||b|

2.運(yùn)算律

—>—>—>—>

(])結(jié)合律(4a>b=〃a?b)

T->->->

(2)互換律a-b=b-a

(3)分派律a-(b+c)=a-b+a-c

不滿足消去律和結(jié)合律即：

ab=bc=Aa=c,(a-b)c不一定等于a(b-c)

【典型例題】

例1.已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD,點(diǎn)E、F、

G、H分別為APAB、△PBC、APCD,APDA重心。求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面。

證明：分別延長PE、PF、PG、PH交對(duì)邊于M、N、Q、R

YE、F、G、H分別是所在三角形重心

...M、N、Q、R為所在邊中點(diǎn)，順次連結(jié)MNQR所得四邊形為平行四邊形，且有

~》2--->—>9-?->9-)

PE=-PM,PF=-PN,PG=-PQ,PH=-PR

3333

???MNQR為平行四邊形，則

-~-，2->2~2~，

EG=PG-PE=-PQ--PM=-MQ

2-—>2~->2——>

=-(MN+MR)=-(PN-PM)+-(PR-PM)

23f3T23f3f

=-(-PF--PE)+-(-PH--PE)

322322

-f

=EF+EH

???由共面向量定理得E、F、G、H四點(diǎn)共面。

例2.如圖所示，在平行六面體ABCD-A'B'C'D中，AB=a,AD=b,AA=c,p

是CA中點(diǎn)，M是CD中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CA，上點(diǎn)，且CQ：QA'=4：1,用基底

->->f

{a，b,c}表達(dá)如下向量：

(1)AP；(2)AM；(3)AN.(4)AQ。

解：連結(jié)AC、AD'

->1—>—>1—>—>—>I—>—>1—>

AM=-(AC+AD)=-(AB+2AD+AAf)=-a+b+-c

(2)2222

->1ff

AN=—(AC+AD')

(3)2

]--->-?

=-[(AB+AD+AA')+(AD+AA1)]

1——T

=-(AB+2AD+2AA,)

[-7-

=—a+b+c

2

—>―>—>—>A—>—>

AQ=AC+CQ=AC+-(AA'-AC)

(4)5

=—AB+-AD+-AA'

=—a+-b+—c

點(diǎn)評(píng)：本例是空間向量基本定理推論應(yīng)用.此推論旨在用分解定理擬定點(diǎn)位置，它對(duì)于

后來用向量辦法解幾何問題很有用，選定空間不共面三個(gè)向量作基向量.并用它們表達(dá)出指

定向量，是用向量解決幾何問題一項(xiàng)基本功.

例3.已知空間四邊形OABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且OA=OB=OC。M、N分別

是OA、BC中點(diǎn)，G是MN中點(diǎn)。求證：OGJ_BC。

證明：連結(jié)ON,設(shè)NAOB=/BOC=/AOC=。

又設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則Ia|=|b|=|c|。

OG=-(OM+ON)

又2

]1f]――

=-[-OA+-(OB+OC)]

1———

=—(a+b+c)

4

BC=c-b

->f]->T-->->

OGBC=-(a+b+c)-(c-b)

4

——―->->

=—(a?c-a?b+b?c-b2+c2-b-c)

4

i->—?—>—>

=—(|a|2cos0-1a|2cos0-\a|2+|a|2)=0

4

AOG±BC

例4.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。

—>—?

(1)求覺得AB和AC鄰邊平行四邊形面積；

(2)若|a|=j3,且a分別與AB、AC垂直，求向量a坐標(biāo)。

解：(1)由題中條件可知

——〉

AB=(-2,-l,3),AC=(L—3,2)

―>—>AB-AC-2+3+61

/.cos<AB,AC>=

—>f714x714-2

|AB|.|AC|

-?―)V3

sin<AB,AC>=

2

->—?

???覺得AB、AC鄰邊平行四邊形面積：

S=|A—B|-|A—C|-sin<A—B,A—C>=14x—V3=77r3

2

(2)設(shè)a=(x，y，z)由題意得

x2+y2+z2=3

--2x-y+3z=0

x-3y+2z=0

x=1fx=-l

"y=1或＜y=-1

解得z=1z=-l

TT

：.a=(1,1,1)或a=(-1.-L-1)

第二講直線方向向量、平面法向量及其應(yīng)用

一、直線方向向量及其應(yīng)用

1、直線方向向量

直線方向向量就是指和這條直線所相應(yīng)向量平行（或共線）向量，顯然一條直線方向向

量可以有無數(shù)個(gè).

2、直線方向向量應(yīng)用

運(yùn)用直線方向向量，可以擬定空間中直線和平面.

（1）若有直線/,點(diǎn)A是直線/上一點(diǎn)，向量［是/方向向量，在直線/上取通=2,

則對(duì)于直線/上任意一點(diǎn)P,一定存在實(shí)數(shù)t,使得而=/通，這樣，點(diǎn)A和向量.不但

可以擬定/位置，還可詳細(xì)表達(dá)出/上任意點(diǎn).

（2）空間中平面a位置可以由a上兩條相交直線擬定，若設(shè)這兩條直線交于點(diǎn)O,它們

方向向量分別是［和P為平面a上任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)

對(duì)（x，y），使得麗石，這樣，點(diǎn)O與方向向量￡、坂不但可以擬定平面a位置,

還可以詳細(xì)表達(dá)出a上任意點(diǎn).

二、平面法向量

1、所謂平面法向量，就是指所在直線與平面垂直向量，顯然一種平面法向量也有無數(shù)個(gè),

它們是共線向量.

2、在空間中，給定一種點(diǎn)A和一種向量。，那么以向量。為法向量且通過點(diǎn)A平面是唯

一擬定.

三、直線方向向量與平面法向量在擬定直線、平面位置關(guān)系中應(yīng)用

1、若兩直線/|、/2方向向量分別是為、的,則有/"MO""/4,

2、若兩平面a、B法向量分別是匕、%,則有a〃8Oh〃V2,a±fJvi±v2.

若直線/方向向量是「，平面法向量是5,則有〃/aOi_L°,/±a<^u//v

四、平面法向量求法

若規(guī)定出一種平面法向量坐標(biāo)，普通要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解,

普通環(huán)節(jié)如下：

1、設(shè)出平面法向量為"=（x，y，z）.

2、找出（求出）平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量坐標(biāo)a=（4力，仇）石=（%也,G）

n-a=O

<

3、依照法向量定義建立關(guān)于x,y,z方程組〔〃石=°

4、解方程組，取其中一種解，即得法向量

五、用向量辦法證明空間中平行關(guān)系和垂直關(guān)系

（-）用向量辦法證明空間中平行關(guān)系

空間中平行關(guān)系重要是指：線線平行、線面平行、面面平行.

I、線線平行

設(shè)直線人/2方向向量分別是￡、鼠則要證明卬〃2,只需證明%//1，即°=彷

2、線面平行

（1）設(shè)直線/方向向量是3,平面a法向量是7,則要證明”/a,只需證明［-Li,

即a?〃=0.

（2）依照線面平行鑒定定理：“如果直線（平面外）與平面內(nèi)一條直線平行，那么這

條直線和這個(gè)平面平行”，要證明一條直線和一種平面平行，也可以在平面內(nèi)找一種向量與

已知直線方向向量是共線向量即可.

(3)依照共面向量定理可知，如果一種向量和兩個(gè)不共線向量是共面向量，那么這

個(gè)向量與這兩個(gè)不共線向量擬定平面必然平行，因而要證明一條直線和一種平面平行，只要

證明這條直線方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表達(dá)即可.

3、面面平行

(1)由面面平行鑒定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)線面平行、線線平行即

可.

(2)若能求出平面a、B法向量「、v,則要證明?！?,只需證明v

(二)用向量辦法證明空間中垂直關(guān)系

空間中垂直關(guān)系重要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直.

1、線線垂直

設(shè)直線小/2方向向量分別是2、石，則要證明乙，6,只需證明々，入即7坂=0

2、線面垂直

(1)設(shè)直線/方向向量是。，平面a法向量是"，則要證/_La,只需證明?！╱

(2)依照線面垂直鑒定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直.

3、面面垂直

(1)依照面面垂直鑒定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)線面垂直、線線垂直.

(2)證明兩個(gè)平面法向量互相垂直.

六、用向量辦法求空間角

(-)兩條異面直線所成角

1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)0作直線"〃a，則"與〃所

夾銳角或直角叫做a與b所成角.

0<0<~

2、范疇：兩異面直線所成角0取值范疇是2

\a-b\

cose=|cosel=i^*

3、向量求法：設(shè)直線a、b方向向量為2、b,其夾角為。，則有“「1

4、注意：兩異面直線所成角可以通過這兩條直線方向向量夾角來求得，但兩者不完全相

等，當(dāng)兩方向向量夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成角.

（-）直線與平面所成角

1、定義：直線和平面所成角，是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)射影所成角.

7T

0<6?<-

2、范疇：直線和平面所成角e取值范疇是2

3、向量求法：設(shè)直線/方向向量為7,平面法向量為7,直線與平面所成角為o,［與）

|a.?|

sin0=|cos（p|=，LJ,或cos。=sin°

夾角為。，則有忖M

（三）二面角

1、二面角取值范疇：1°，萬1

2、二面角向量求法

（1）若AB、CD分別是二面角。一/一夕兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直異面直線，則二面角大小

就是向量而與而夾角（如圖（a）所示）.

（2）設(shè)%、々是二面角二一/一萬兩個(gè)角a、B法向量，則向量?與“2夾角（或其補(bǔ)

角）就是二面角平面角大?。ㄈ鐖D（b）所示）.

七、用向量辦法求空間距離

（-）點(diǎn)面距離求法

如圖（a）所示，BO_L平面a,垂足為0,則點(diǎn)B到平面a距離就是線段B0長度.若

酢網(wǎng)ss/ABO

AB是平面a任一條斜線段，則在Rt^BOA中,

網(wǎng)網(wǎng)cosNABO

o如果令平面a法向量為〃，考慮到法向量方向，可以得到B點(diǎn)到

\AB-n\

平面a距離為國;開

(a)

因而規(guī)定一種點(diǎn)到平面距離，可以分如下幾步完畢：

I、求出該平面一種法向量.

2、找出從該點(diǎn)出發(fā)平面任一條斜線段相應(yīng)向量.

3、求出法向量與斜線段向量數(shù)量積絕對(duì)值再除以法向量模，即可求出點(diǎn)到平面距離.

n—

由于Fl可以視為平面單位法向量，因此點(diǎn)到平面距離實(shí)質(zhì)就是平面單位法向量

與從該點(diǎn)出發(fā)斜線段向量數(shù)量積絕對(duì)值，即"

此外，等積法也是點(diǎn)到面距離慣用求法.

（二）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離用求點(diǎn)面距辦法進(jìn)行求解。

（三）兩異面直線距離求法

如圖（b）所示，設(shè)/卜/2是兩條異面直線，〃是人與/2公垂線段AB方向向量，又C、

CDn

d=

n\

D分別是/卜/2上任意兩點(diǎn)，則/1與/2距離是

【典型例題】

例1.設(shè)a>、k分別是直線小/2方向向量，依照下列條件判斷八與/2位置關(guān)系。

—>—>

(1)a=(2,3,—1),b=(-6,-9,3)；

—>—>

(2)a=(5,0,2),b=(o,4,0)；

—>—>

(3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3)

->—>

解：(1)Va=(2,3,-1),b=(-6,-9,3)

11

a=——b——

/.3,?.a//b,：.ixHl2

—>—>

(2)a=(5,0,2),b=(0,4,0)

—>—>->—>

a-b=0,a_Lb,.\/|±/2

—>—>

(3)：a=(-2,1,4,),b=(6,3,3)

—>—>

.?.a與b不共線，也不垂直

."i與，2位置關(guān)系是相交或異面

—>—>

例2.設(shè)u、v分別是平面a、B法向量，依照下列條件判斷a、B位置關(guān)系：

(!)u=(1,-1,2),v=(3,2,2)；

—>

(2)u=(0,3,0),v=(0,-5,0)；

—>—>

(3)u=(2,—3,4),v=(4,—2,1)。

—1>___

解：(1)Vu=(1,-1,2),v=(3,2,2)

—>—>—>—>

，u-v=0u±v/.a±p

(2),:u=(o,3,0),v=(0,-5,0)

->3———>

u=——v/.u//vallp

(3),.?u=(2,-3,4),v=(4,-2,1)

—>—>

；.u與V既不共線、也不垂直，a與B相交

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)純熟掌握運(yùn)用向量共線、垂直條件。

例3.已知點(diǎn)A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC一種單位法向

量。

解：由于A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),AB=(-3,4,0),AC=

(-3,0,5)

設(shè)平面ABC法向量為n(x,y,z)

-?-?—>—>

則有n-AB=。且n-AC=0

f-3x+4y=0x_5_5

即[-3x+5z=()取z=],得x-工y-4

》—,—4

于是n=(34)

t201512

0-A/769*V769*J769

平面a單位法向量是

—>

例4.若直線l方向向量是a=(1,2,2),平面a法向量是n=(—1,3,0),試求直

線/與平面a所成角余弦值。

分析:如圖所示,直線/與平面a所成角就是直線/與它在平面內(nèi)射影所成角，即NABO,

乃

而在RtZ\ABO中，ZABO=2ZBAO,又NBAO可以看作是直線/與平面a垂線所成銳

角，這樣/BAO就與直線/方向向量a與平面a法向量n夾角建立了聯(lián)系，故可借助向量

運(yùn)算求出/BAO,從而求出NABO,得到直線與平面所成角。

二|a|=3,|na-n=5

f—a-nVlO

cos<a,n>=-----------=------

若設(shè)直線/與平面a所成角是0

—>—>

則有cos。=sin<a,n>

???6

-?V26

sin<a,n>=------

???6

.V26V26

COSu---------------

因而6,即直線/與平面a所成角余弦值等于6。

例5.如圖（a）所示，在正方體ABCD-A|B|C|D|中，N分別是C￡、B￡|中點(diǎn)。

求證：（1）MN//平面A]BD；

（2）平面A]BD〃平面B[D]C

（1）證法一：如圖（b）所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、

軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,則可求得M(0,1,2),N(2,

^11

1,),D(0,0,0),A|(1,o,1),B(1,1,0),于是MN=(2,0,2)。

設(shè)平面A|BD法向量是;；(x,y,z)

Jx+z=0

則n-DA)=0月.mDB=0,得[x+y=。

取x=l,得y=~~1,z=—1,n=(1,—1,—1)

T7■!L->->

又MNn=(2,0,2)?(1,-1,-1)=0,AMN1n

，MN〃平面A|BD

———T1.

MN=C|N-C|M=-C|B]——C|C=_(D|A]_D1D)=_DAj

證法二：2222

—>—‘

...MN//DA],...MN〃平面A|BD

1—>1—>

.f---DA--DD

證法三：??.MN=GN_C]MII21

1->->1fT

=-(DB+BA)--(D1A1+AjD)

]-1—1—1―

=-DB+-BA——DjA,——A]D

1f1f1ff

=-DB+-DAj+-CBA-DA)

]-1—1-

=-DB+-DAI+—BD

2212

1—T

=-DA1+ODB

21

■—>—>—>—?—>—>

即MN可用DAI與DB線性表達(dá)，故MN與DA】、DB是共面向量

―>

MN〃平面AIBD,即MN〃平面AIBD。

(2)證明：由(1)求得平面A|BD法向量為n=(1,-1,-1)

—>

同理可求平面BQC法向量m=(1,-1,-1)

m//n

平面AiBD//平面BiDiC

例6.如圖，在正方體ABCD-A|B|C|D|中，o為AC與BD交點(diǎn)，G為CG中點(diǎn)。求證:

AQJL平面GBD?

—>—?―?―》―?—)

證明：設(shè)A】B|=a,AR=b，A,A=c,則

—?—>—>—>—>—)

a-b=0,b?c=0,a-c=0

—>—>―>—>i->—>—>1—>―>

A,O=A,A+AO=A,A+—(AB+AD)=c+—(a+b)

而22

"—>-?—?-?—》

BD=AD—AB=b—a

Tff[—-I->

OG=OC+CG=-(AB+AD)+-CC.=-(a+b)——c

2222

->f—>i->iff

A,O-BD=(c+—a+—b)?(b-a)

.?.22

->ff]-—

=c(b-a)+—(a+b)(b-a)

2

——f-]——

=c-b-c-a+—(b2-a2)

=1(1?|2-|T|2)=0

同理A|O-OG=°

?AQ_LBD,A,O±OG

又BDnOG=O,AQJ^GBD。

例7.(天津)如圖(a)所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PDL

底面ABCD,PD=DC,E是PC中點(diǎn)。

(1)證明：PA〃平面EDB；

(2)求EB與底面ABCD所成角正切值。

（1）證明：如圖（b）所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)

(b)

設(shè)DC=a,連結(jié)AC,AC交BD于G,連結(jié)EG

aa

依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2,2)

?.?底面ABCD是正方形

.??G是此正方形中心

aa

故點(diǎn)G坐標(biāo)為（5,5,0）

-一三」

/.PA=(a,0,—a),EG=(2,0,2)

—>—)

：.PA=2EG,這表白PA//EG

而EGu平面EDB,且PA0平面EDB

；.PA//平面EDB

(2)解：依題意得B(a,a,0),C(0,a,0)

a

如圖（b）取DC中點(diǎn)F（0,2,0）,連結(jié)EF、BF

-9fa-

FE=(0,0,2),FB=(a,2,0),DC=(0,a,0)

f->ff

AFE-FB=0,FE-DC=()

AFE1FB,FElDCc

Ta

=|FE|二萬二十

t后5

IFB|-a

AtanZEBF2

，EB與底面ABCD所成角正切值為5

例8.正方體ABCD-A|BCD|中，E、F分別是AQi、A?中點(diǎn),求:

（1）異面直線AE與CF所成角余弦值;

（2）二面角C—AE—