2021年度空間向量與立體幾何知識點

立體幾何空間向量知識點總結(jié)

知識網(wǎng)絡:

空間向量基本定理

空間向量

空間向量的正交分解及坐標表示

空間向量及

其運算

----------H空間直角坐標系

空空間向量的

間運算

空間向量的線性運算，數(shù)量

向

積及其坐標表示

ft

與

立

體

幾

何

知識點撥：

1、空間向量概念及其運算與平面向量類似，向量加、減法平行四邊形法則，三角形法則

以及有關(guān)運算律依然成立.空間向量數(shù)量積運算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向

量在空間中推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維推廣.

2、當￡、坂為非零向量時.=是數(shù)形結(jié)合紐帶之一，這是運用空間向量

研究線線、線面、面面垂直核心，普通可以與向量運算法則、關(guān)于運算律聯(lián)系來解決垂直論

證問題.

_ab

cos<a,br>-,,,

3、公式Mlq是應用空間向量求空間中各種角基本，用這個公式可以求兩

異面直線所成角（但要注意兩異面直線所成角與兩向量夾角在取值范疇上區(qū)別），再結(jié)合平

面法向量，可以求直線與平面所成角和二面角等.

4、直線方向向量與平面法向量是用來描述空間中直線和平面相對位置重要概念，通過研

究方向向量與法向量之間關(guān)系，可以擬定直線與直線、直線與平面、平面與平面等位置關(guān)系

以及關(guān)于計算問題.

5、用空間向量判斷空間中位置關(guān)系慣用辦法

(1)線線平行

證明兩條直線平行，只需證明兩條直線方向向量是共線向量.

(2)線線垂直

證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線方向向量垂直，即=

(3)線面平行

用向量證明線面平行辦法重要有：

①證明直線方向向量與平面法向量垂直；

②證明可在平面內(nèi)找到一種向量與直線方向向量是共線向量；

③運用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性表達直線方向向量.

(4)線面垂直

用向量證明線面垂直辦法重要有：

①證明直線方向向量與平面法向量平行；

②運用線面垂直鑒定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.

(5)面面平行

①證明兩個平面法向量平行(即是共線向量)；

②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.

(6)面面垂直

①證明兩個平面法向量互相垂直；

②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題.

6、運用空間向量求空間角

(1)求兩異面直線所成角

a-b

cos<a,b>=

運用公式

但務必注意兩異面直線所成角0范疇是嗚

cos6=|cos<a,坂>|

故實質(zhì)上應有:

(2)求線面角

求直線與平面所成角時，一種辦法是先求出直線及射影直線方向向量，通過數(shù)量積求出

直線與平面所成角；另一種辦法是借助平面法向量，先求出直線方向向量與平面法向量夾角

<1>,即可求出直線與平面所成角。，其關(guān)系是sin0=|cos<b|.

(3)求二面角

用向量法求二面角也有兩種辦法：一種辦法是運用平面角定義，在兩個面內(nèi)先求出與棱

垂直兩條直線相應方向向量，然后求出這兩個方向向量夾角，由此可求出二面角大小；另一

種辦法是轉(zhuǎn)化為求二面角兩個面法向量夾角，它與二面角大小相等或互補.

7、運用空間向量求空間距離

空間中各種距離普通都可以轉(zhuǎn)化為求點與點、點與線、點與面距離.

(1)點與點距離

點與點之間距離就是這兩點間線段長度，因而也就是這兩點相應向量模.

(2)點與面距離

點面距離求解環(huán)節(jié)是：

①求出該平面一種法向量；

②求出從該點出發(fā)平面任一條斜線段相應向量；

③求出法向量與斜線段向量數(shù)量積絕對值再除以法向量模，即得規(guī)定點面距離.

備考建議：

1、空間向量引入，把平面向量及其運算推廣到空間，運用空間向量解決關(guān)于直線、平面

位置關(guān)系問題，應體會向量辦法在研究幾何圖形中作用，進一步發(fā)展空間想像能力和幾何直

觀能力.

2、靈活選取運用向量辦法與綜合辦法，從不同角度解決立體幾何問題.

3、在解決立體幾何中關(guān)于平行、垂直、夾角、距離等問題時，直線方向向量與平面法向

量有著舉足輕重地位和作用，它特點是用代數(shù)辦法解決立體幾何問題，無需進行繁、難幾何

作圖和推理論證，起著從抽象到詳細、化難為易作用.因而，應純熟掌握平面法向量求法和

用法.

4、加強運算能力培養(yǎng)，提高運算速度和精確性.

第一講空間向量及運算

一、空間向量關(guān)于概念

1、空間向量定義

在空間中，既有大小又有方向量叫做空間向量.注意空間向量和數(shù)量區(qū)別.數(shù)量是只有

大小而沒有方向量.

2、空間向量表達辦法

空間向量與平面向量同樣，也可以用有向線段來表達，用有向線段長度表達向量大小，

用有向線段方向表達向量方向.若向量。相應有向線段起點是A,終點是B,則向量?？梢?/p>

記為通，其模長為忖或

3、零向量

長度為零向量稱為零向量，記為0.零向量方向不擬定，是任意.由于零向量這一特殊

性，在解題中一定要看清題目中所指向量是“零向量”還是“非零向量”.

4、單位向量

模長為1向量叫做單位向量.單位向量是一種慣用、重要空間向量，在后來學習中還要

經(jīng)慣用到.

5、相等向量

長度相等且方向相似空間向量叫做相等向量.若向量Z與向量B相等，記為7=尻零向

量與零向量相等，任意兩個相等非零向量都可以用空間中同一條有向線段來表達，并且與有

向線段起點無關(guān).

6、相反向量

長度相等但方向相反兩個向量叫做相反向量.a相反向量記為一a

二、共面向量

1、定義

平行于同一平面向量叫做共面向量.

2、共面向量定理

一一—,-?_

若兩個向量8不共線，則向量P與向量a、b共面充要條件是存在實數(shù)對X、y,使

得萬=江+仍。

3、空間平面表達式

空間一點P位于平面MAB內(nèi)充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y使MP=xMA+yMB或

對空間任一定點0,有OP=0M+MP=OM+xMA+yMB或

OP=xOA+yOB+zOM（其中x+y+z=l這幾種式子是M,A,B,P四點共面充要條件.

三、空間向量基本定理

1、定理

一一一—?

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任從來量P,存在唯一有序?qū)崝?shù)組x、y、

z,使萬=總+防+z2

2、注意如下問題

(1)空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量一種基底.

(2)由于°可視為與任意一種非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，因此，三個

向量不共面，就隱含著它們都不是°。

(3)一種基底是指一種向量組，一種基向量是指基底中某一種向量，兩者是有關(guān)聯(lián)不

同概念.

由空間向量基本定理知，若三個向量￡、加、2不共面。那么所有空間向量所構(gòu)成集合

就是伊萬=+而+ZC'"ZGR｝,這個集合可看做是由向量鼠鼠工生成，因此咱們

把｛"'Ac｝稱為空間一種基底。2、石、工叫做基向量，空間任意三個不共面向量都可構(gòu)成

空間一種基底.

3、向量坐標表達

(1)單位正交基底

如果空間一種基底三個基向量互相垂直，且長都為1,則這個基底叫做單位正交基底，

慣用表達.

(2)空間直角坐標系

在空間選定一點o和一種單位正交基底以點o為原點，分別以7、了、％方向

為正方向建立三條數(shù)軸:X軸、y軸、z軸，它們都叫坐標軸.則建立了一種空間直角坐標系

。一xyz,點O叫原點，向量，'、j、1都叫坐標向量.

(3)空間向量坐標

給定一種空間直角坐標系和向量3,且設(shè)7、A2為坐標向量，存在唯一有序數(shù)組(x,

y,z)使。=*+>/+2上，有序數(shù)組(x,y,z)叫做Z在空間直角坐標系O—xyz中坐標,

記為3=(*'y")。

對坐標系中任一點A,相應一種向量方，則厲=a=xi+y]+zE。在單位正交基底

i、j、]中與向量°A相應有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點A在此空間直角坐標系中坐

標，記為A(x,y,z).

四、空間向量運算

1、空間向量加法

三角形法則(注意首尾相連)、平行四邊形法則，

加法運算律：互換律a+b^b+a

結(jié)合律V>（'

2、空間向量減法及幾何作法

兒何作法：在平面內(nèi)任取一點0,作°A=a，03=〃，則麗=3-反即從坂終點指

向￡終點向量，這就是向量減法幾何意義.

3、空間向量數(shù)乘運算

（1）定義

實數(shù)丸與￡積是一種向量，記為丸￡,它模與方向規(guī)定如下：

①帕卜呻

②當2>（）時，2。與。同向；當％〈（）時，2。與。異向；當力=（）時.=6

注意：

①關(guān)于實數(shù)與空間向量積丸z理解：咱們可以把￡模擴大（當1川>1時），也可以縮小

（HL1時），同步，咱們可以不變化向量[方向（當4>°時），也可以變化向量Z方向

（當4<0時）。.

②注意實數(shù)與向量積特殊狀況，當4=。時，九3=°；當丸。。，若2=6時，有幾3=0。

③注意實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算.例如X+Z,九-￡無法運算。

（2）實數(shù)與空間向量積滿足運算律

設(shè)入、口是實數(shù)，則有

%加）=（初）￡（結(jié)合律）

（X+〃）a=幾。+4。（第一分派律）

A[a+b]-Aa+Ab皿，-、

V）（第二分派律）

實數(shù)與向量積也叫數(shù)乘向量.

4、共線向量

（1）共線向量定義

若表達空間向量有向線段所在直線互相平行或重疊，則這些向量叫做共線向量，也叫做

平行向量。若［與五是共線向量，則記為2〃坂。

注意：零向量和空間任從來量是共線向量.

(2)共線向量定理

對空間任意兩個向量％、B,Z//B充要條件是存在實數(shù)入使3=人坂

(3)空間直線向量表達式

如果直線/是通過已知點A且平行于已知非零向量2直線，那么對任一點O,點P

在直線/上充要條件是存在實數(shù)3滿足等式而=礪+而，其中向量％叫做直線/方向

向量.

注意：

①若在/上取而=鼠則有而=麗+，麗,.??麗=麗+，(幅-網(wǎng)=(~)m+

tOB

②上式可解決三點P、A、B共線問題表達或鑒定.

1—?1—.1—.

t=-OP=-OA+-OB

③當2時，22,點P為AB中點，這是中點公式向量表達式.

_麗=」-厲+上麗

④若P分AB所成比為丸，則1+41+A

5、空間直角坐標系

在空間直角坐標系中，三條坐標軸兩兩互相垂直，軸方向普通這樣選取：從z軸正方向

看，x軸正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸正半軸重疊。讓右手拇指指向x軸正方向.食

指指向y軸正方向，如果中指指向z軸正方向，那么稱這個坐標系為右手直角坐標系。普

通狀況下，建立坐標系都是右手直角坐標系.

在平面上畫空間直角坐標系O-xyz時，普通使NxOy=135°,ZyOz=90°。

空間兩點間距離公式是平面上兩點間距離公式推廣，是空間向量模長公式推廣，如果懂

得兒何體上任意兩點坐標.咱們就可直接套用.

設(shè)1(石，加4),鳥。2，%,22),則由段=/(馬一%了+⑴一yr+Q-zJ

特別地，Pi(x,y,z)到原點距離l°PI=Jx2+y2+z2

6、空間向量數(shù)量積運算

T->TT-?-?

a-b=|a|-|bpcos<a,b>

-?—>—>—>

其中<a,b>為a與b夾角，范疇是[o,jr],注意數(shù)量積性質(zhì)和運算律。

1.性質(zhì)

TT->->->->

若a、b是非零向量，e是與b方向相似單位向量，。是a與e夾角，則

-?—>—>—>—>

⑴e-a=a-e=|a|cos^

->—>->—>

(2)a±ba-b=0

——>——>—>—>—>—>

(3)若a與b同向，則a-b=|a|」b|；

—>—>—>T—>—>

若a與b反向，則a-b=一|a||b|；

T->—>—>/—>—>

特別地：a?a=|a|2或|a|=Va-a

a、b的夾角，則cos6=—土上一

—>—>

(4)若0為la|-|b|

(5)la-b|<|a||b|

2.運算律

—>—>—>—>

(])結(jié)合律(4a>b=〃a?b)

T->->->

(2)互換律a-b=b-a

(3)分派律a-(b+c)=a-b+a-c

不滿足消去律和結(jié)合律即：

ab=bc=Aa=c,(a-b)c不一定等于a(b-c)

【典型例題】

例1.已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點，連結(jié)PA、PB、PC、PD,點E、F、

G、H分別為APAB、△PBC、APCD,APDA重心。求證：E、F、G、H四點共面。

證明：分別延長PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R

YE、F、G、H分別是所在三角形重心

...M、N、Q、R為所在邊中點，順次連結(jié)MNQR所得四邊形為平行四邊形，且有

~》2--->—>9-?->9-)

PE=-PM,PF=-PN,PG=-PQ,PH=-PR

3333

???MNQR為平行四邊形，則

-~-，2->2~2~，

EG=PG-PE=-PQ--PM=-MQ

2-—>2~->2——>

=-(MN+MR)=-(PN-PM)+-(PR-PM)

23f3T23f3f

=-(-PF--PE)+-(-PH--PE)

322322

-f

=EF+EH

???由共面向量定理得E、F、G、H四點共面。

例2.如圖所示，在平行六面體ABCD-A'B'C'D中，AB=a,AD=b,AA=c,p

是CA中點，M是CD中點，N是CD中點，點Q是CA，上點，且CQ：QA'=4：1,用基底

->->f

{a，b,c}表達如下向量：

(1)AP；(2)AM；(3)AN.(4)AQ。

解：連結(jié)AC、AD'

->1—>—>1—>—>—>I—>—>1—>

AM=-(AC+AD)=-(AB+2AD+AAf)=-a+b+-c

(2)2222

->1ff

AN=—(AC+AD')

(3)2

]--->-?

=-[(AB+AD+AA')+(AD+AA1)]

1——T

=-(AB+2AD+2AA,)

[-7-

=—a+b+c

2

—>―>—>—>A—>—>

AQ=AC+CQ=AC+-(AA'-AC)

(4)5

=—AB+-AD+-AA'

=—a+-b+—c

點評：本例是空間向量基本定理推論應用.此推論旨在用分解定理擬定點位置，它對于

后來用向量辦法解幾何問題很有用，選定空間不共面三個向量作基向量.并用它們表達出指

定向量，是用向量解決幾何問題一項基本功.

例3.已知空間四邊形OABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且OA=OB=OC。M、N分別

是OA、BC中點，G是MN中點。求證：OGJ_BC。

證明：連結(jié)ON,設(shè)NAOB=/BOC=/AOC=。

又設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則Ia|=|b|=|c|。

OG=-(OM+ON)

又2

]1f]――

=-[-OA+-(OB+OC)]

1———

=—(a+b+c)

4

BC=c-b

->f]->T-->->

OGBC=-(a+b+c)-(c-b)

4

——―->->

=—(a?c-a?b+b?c-b2+c2-b-c)

4

i->—?—>—>

=—(|a|2cos0-1a|2cos0-\a|2+|a|2)=0

4

AOG±BC

例4.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。

—>—?

(1)求覺得AB和AC鄰邊平行四邊形面積；

(2)若|a|=j3,且a分別與AB、AC垂直，求向量a坐標。

解：(1)由題中條件可知

——〉

AB=(-2,-l,3),AC=(L—3,2)

―>—>AB-AC-2+3+61

/.cos<AB,AC>=

—>f714x714-2

|AB|.|AC|

-?―)V3

sin<AB,AC>=

2

->—?

???覺得AB、AC鄰邊平行四邊形面積：

S=|A—B|-|A—C|-sin<A—B,A—C>=14x—V3=77r3

2

(2)設(shè)a=(x，y，z)由題意得

x2+y2+z2=3

--2x-y+3z=0

x-3y+2z=0

x=1fx=-l

"y=1或＜y=-1

解得z=1z=-l

TT

：.a=(1,1,1)或a=(-1.-L-1)

第二講直線方向向量、平面法向量及其應用

一、直線方向向量及其應用

1、直線方向向量

直線方向向量就是指和這條直線所相應向量平行（或共線）向量，顯然一條直線方向向

量可以有無數(shù)個.

2、直線方向向量應用

運用直線方向向量，可以擬定空間中直線和平面.

（1）若有直線/,點A是直線/上一點，向量［是/方向向量，在直線/上取通=2,

則對于直線/上任意一點P,一定存在實數(shù)t,使得而=/通，這樣，點A和向量.不但

可以擬定/位置，還可詳細表達出/上任意點.

（2）空間中平面a位置可以由a上兩條相交直線擬定，若設(shè)這兩條直線交于點O,它們

方向向量分別是［和P為平面a上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)

對（x，y），使得麗石，這樣，點O與方向向量￡、坂不但可以擬定平面a位置,

還可以詳細表達出a上任意點.

二、平面法向量

1、所謂平面法向量，就是指所在直線與平面垂直向量，顯然一種平面法向量也有無數(shù)個,

它們是共線向量.

2、在空間中，給定一種點A和一種向量。，那么以向量。為法向量且通過點A平面是唯

一擬定.

三、直線方向向量與平面法向量在擬定直線、平面位置關(guān)系中應用

1、若兩直線/|、/2方向向量分別是為、的,則有/"MO""/4,

2、若兩平面a、B法向量分別是匕、%,則有a〃8Oh〃V2,a±fJvi±v2.

若直線/方向向量是「，平面法向量是5,則有〃/aOi_L°,/±a<^u//v

四、平面法向量求法

若規(guī)定出一種平面法向量坐標，普通要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解,

普通環(huán)節(jié)如下：

1、設(shè)出平面法向量為"=（x，y，z）.

2、找出（求出）平面內(nèi)兩個不共線向量坐標a=（4力，仇）石=（%也,G）

n-a=O

<

3、依照法向量定義建立關(guān)于x,y,z方程組〔〃石=°

4、解方程組，取其中一種解，即得法向量

五、用向量辦法證明空間中平行關(guān)系和垂直關(guān)系

（-）用向量辦法證明空間中平行關(guān)系

空間中平行關(guān)系重要是指：線線平行、線面平行、面面平行.

I、線線平行

設(shè)直線人/2方向向量分別是￡、鼠則要證明卬〃2,只需證明%//1，即°=彷

2、線面平行

（1）設(shè)直線/方向向量是3,平面a法向量是7,則要證明”/a,只需證明［-Li,

即a?〃=0.

（2）依照線面平行鑒定定理：“如果直線（平面外）與平面內(nèi)一條直線平行，那么這

條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一種平面平行，也可以在平面內(nèi)找一種向量與

已知直線方向向量是共線向量即可.

(3)依照共面向量定理可知，如果一種向量和兩個不共線向量是共面向量，那么這

個向量與這兩個不共線向量擬定平面必然平行，因而要證明一條直線和一種平面平行，只要

證明這條直線方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表達即可.

3、面面平行

(1)由面面平行鑒定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應線面平行、線線平行即

可.

(2)若能求出平面a、B法向量「、v,則要證明?！?,只需證明v

(二)用向量辦法證明空間中垂直關(guān)系

空間中垂直關(guān)系重要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直.

1、線線垂直

設(shè)直線小/2方向向量分別是2、石，則要證明乙，6,只需證明々，入即7坂=0

2、線面垂直

(1)設(shè)直線/方向向量是。，平面a法向量是"，則要證/_La,只需證明?！╱

(2)依照線面垂直鑒定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直.

3、面面垂直

(1)依照面面垂直鑒定定理轉(zhuǎn)化為證相應線面垂直、線線垂直.

(2)證明兩個平面法向量互相垂直.

六、用向量辦法求空間角

(-)兩條異面直線所成角

1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點0作直線"〃a，則"與〃所

夾銳角或直角叫做a與b所成角.

0<0<~

2、范疇：兩異面直線所成角0取值范疇是2

\a-b\

cose=|cosel=i^*

3、向量求法：設(shè)直線a、b方向向量為2、b,其夾角為。，則有“「1

4、注意：兩異面直線所成角可以通過這兩條直線方向向量夾角來求得，但兩者不完全相

等，當兩方向向量夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成角.

（-）直線與平面所成角

1、定義：直線和平面所成角，是指直線與它在這個平面內(nèi)射影所成角.

7T

0<6?<-

2、范疇：直線和平面所成角e取值范疇是2

3、向量求法：設(shè)直線/方向向量為7,平面法向量為7,直線與平面所成角為o,［與）

|a.?|

sin0=|cos（p|=，LJ,或cos。=sin°

夾角為。，則有忖M

（三）二面角

1、二面角取值范疇：1°，萬1

2、二面角向量求法

（1）若AB、CD分別是二面角。一/一夕兩個面內(nèi)與棱/垂直異面直線，則二面角大小

就是向量而與而夾角（如圖（a）所示）.

（2）設(shè)%、々是二面角二一/一萬兩個角a、B法向量，則向量?與“2夾角（或其補

角）就是二面角平面角大?。ㄈ鐖D（b）所示）.

七、用向量辦法求空間距離

（-）點面距離求法

如圖（a）所示，BO_L平面a,垂足為0,則點B到平面a距離就是線段B0長度.若

酢網(wǎng)ss/ABO

AB是平面a任一條斜線段，則在Rt^BOA中,

網(wǎng)網(wǎng)cosNABO

o如果令平面a法向量為〃，考慮到法向量方向，可以得到B點到

\AB-n\

平面a距離為國;開

(a)

因而規(guī)定一種點到平面距離，可以分如下幾步完畢：

I、求出該平面一種法向量.

2、找出從該點出發(fā)平面任一條斜線段相應向量.

3、求出法向量與斜線段向量數(shù)量積絕對值再除以法向量模，即可求出點到平面距離.

n—

由于Fl可以視為平面單位法向量，因此點到平面距離實質(zhì)就是平面單位法向量

與從該點出發(fā)斜線段向量數(shù)量積絕對值，即"

此外，等積法也是點到面距離慣用求法.

（二）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離用求點面距辦法進行求解。

（三）兩異面直線距離求法

如圖（b）所示，設(shè)/卜/2是兩條異面直線，〃是人與/2公垂線段AB方向向量，又C、

CDn

d=

n\

D分別是/卜/2上任意兩點，則/1與/2距離是

【典型例題】

例1.設(shè)a>、k分別是直線小/2方向向量，依照下列條件判斷八與/2位置關(guān)系。

—>—>

(1)a=(2,3,—1),b=(-6,-9,3)；

—>—>

(2)a=(5,0,2),b=(o,4,0)；

—>—>

(3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3)

->—>

解：(1)Va=(2,3,-1),b=(-6,-9,3)

11

a=——b——

/.3,?.a//b,：.ixHl2

—>—>

(2)a=(5,0,2),b=(0,4,0)

—>—>->—>

a-b=0,a_Lb,.\/|±/2

—>—>

(3)：a=(-2,1,4,),b=(6,3,3)

—>—>

.?.a與b不共線，也不垂直

."i與，2位置關(guān)系是相交或異面

—>—>

例2.設(shè)u、v分別是平面a、B法向量，依照下列條件判斷a、B位置關(guān)系：

(!)u=(1,-1,2),v=(3,2,2)；

—>

(2)u=(0,3,0),v=(0,-5,0)；

—>—>

(3)u=(2,—3,4),v=(4,—2,1)。

—1>___

解：(1)Vu=(1,-1,2),v=(3,2,2)

—>—>—>—>

，u-v=0u±v/.a±p

(2),:u=(o,3,0),v=(0,-5,0)

->3———>

u=——v/.u//vallp

(3),.?u=(2,-3,4),v=(4,-2,1)

—>—>

；.u與V既不共線、也不垂直，a與B相交

點評：應純熟掌握運用向量共線、垂直條件。

例3.已知點A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC一種單位法向

量。

解：由于A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),AB=(-3,4,0),AC=

(-3,0,5)

設(shè)平面ABC法向量為n(x,y,z)

-?-?—>—>

則有n-AB=。且n-AC=0

f-3x+4y=0x_5_5

即[-3x+5z=()取z=],得x-工y-4

》—,—4

于是n=(34)

t201512

0-A/769*V769*J769

平面a單位法向量是

—>

例4.若直線l方向向量是a=(1,2,2),平面a法向量是n=(—1,3,0),試求直

線/與平面a所成角余弦值。

分析:如圖所示,直線/與平面a所成角就是直線/與它在平面內(nèi)射影所成角，即NABO,

乃

而在RtZ\ABO中，ZABO=2ZBAO,又NBAO可以看作是直線/與平面a垂線所成銳

角，這樣/BAO就與直線/方向向量a與平面a法向量n夾角建立了聯(lián)系，故可借助向量

運算求出/BAO,從而求出NABO,得到直線與平面所成角。

二|a|=3,|na-n=5

f—a-nVlO

cos<a,n>=-----------=------

若設(shè)直線/與平面a所成角是0

—>—>

則有cos。=sin<a,n>

???6

-?V26

sin<a,n>=------

???6

.V26V26

COSu---------------

因而6,即直線/與平面a所成角余弦值等于6。

例5.如圖（a）所示，在正方體ABCD-A|B|C|D|中，N分別是C￡、B￡|中點。

求證：（1）MN//平面A]BD；

（2）平面A]BD〃平面B[D]C

（1）證法一：如圖（b）所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、

軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1,則可求得M(0,1,2),N(2,

^11

1,),D(0,0,0),A|(1,o,1),B(1,1,0),于是MN=(2,0,2)。

設(shè)平面A|BD法向量是;；(x,y,z)

Jx+z=0

則n-DA)=0月.mDB=0,得[x+y=。

取x=l,得y=~~1,z=—1,n=(1,—1,—1)

T7■!L->->

又MNn=(2,0,2)?(1,-1,-1)=0,AMN1n

，MN〃平面A|BD

———T1.

MN=C|N-C|M=-C|B]——C|C=_(D|A]_D1D)=_DAj

證法二：2222

—>—‘

...MN//DA],...MN〃平面A|BD

1—>1—>

.f---DA--DD

證法三：??.MN=GN_C]MII21

1->->1fT

=-(DB+BA)--(D1A1+AjD)

]-1—1—1―

=-DB+-BA——DjA,——A]D

1f1f1ff

=-DB+-DAj+-CBA-DA)

]-1—1-

=-DB+-DAI+—BD

2212

1—T

=-DA1+ODB

21

■—>—>—>—?—>—>

即MN可用DAI與DB線性表達，故MN與DA】、DB是共面向量

―>

MN〃平面AIBD,即MN〃平面AIBD。

(2)證明：由(1)求得平面A|BD法向量為n=(1,-1,-1)

—>

同理可求平面BQC法向量m=(1,-1,-1)

m//n

平面AiBD//平面BiDiC

例6.如圖，在正方體ABCD-A|B|C|D|中，o為AC與BD交點，G為CG中點。求證:

AQJL平面GBD?

—>—?―?―》―?—)

證明：設(shè)A】B|=a,AR=b，A,A=c,則

—?—>—>—>—>—)

a-b=0,b?c=0,a-c=0

—>—>―>—>i->—>—>1—>―>

A,O=A,A+AO=A,A+—(AB+AD)=c+—(a+b)

而22

"—>-?—?-?—》

BD=AD—AB=b—a

Tff[—-I->

OG=OC+CG=-(AB+AD)+-CC.=-(a+b)——c

2222

->f—>i->iff

A,O-BD=(c+—a+—b)?(b-a)

.?.22

->ff]-—

=c(b-a)+—(a+b)(b-a)

2

——f-]——

=c-b-c-a+—(b2-a2)

=1(1?|2-|T|2)=0

同理A|O-OG=°

?AQ_LBD,A,O±OG

又BDnOG=O,AQJ^GBD。

例7.(天津)如圖(a)所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PDL

底面ABCD,PD=DC,E是PC中點。

(1)證明：PA〃平面EDB；

(2)求EB與底面ABCD所成角正切值。

（1）證明：如圖（b）所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點

(b)

設(shè)DC=a,連結(jié)AC,AC交BD于G,連結(jié)EG

aa

依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2,2)

?.?底面ABCD是正方形

.??G是此正方形中心

aa

故點G坐標為（5,5,0）

-一三」

/.PA=(a,0,—a),EG=(2,0,2)

—>—)

：.PA=2EG,這表白PA//EG

而EGu平面EDB,且PA0平面EDB

；.PA//平面EDB

(2)解：依題意得B(a,a,0),C(0,a,0)

a

如圖（b）取DC中點F（0,2,0）,連結(jié)EF、BF

-9fa-

FE=(0,0,2),FB=(a,2,0),DC=(0,a,0)

f->ff

AFE-FB=0,FE-DC=()

AFE1FB,FElDCc

Ta

=|FE|二萬二十

t后5

IFB|-a

AtanZEBF2

，EB與底面ABCD所成角正切值為5

例8.正方體ABCD-A|BCD|中，E、F分別是AQi、A?中點,求:

（1）異面直線AE與CF所成角余弦值;

（2）二面角C—AE—