北京市石景山區(qū)2022屆高三年級上冊期末數學試題解析高中數學

石景山區(qū)2021-2022學年第一學期高三期末試卷

數學

本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無效，考試結束后上交答題卡.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.設集合4=3卜2<x<4},B={2,3,4,5},則AQ8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定義可求AD8.

【詳解】由題設有Ac8={2,3},

故選：B.

2.已知i為虛數單位，若(2+i)z=i,則復數z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先利用復數的除法化簡，再利用復數的幾何意義判斷.

【詳解】因為(2+i)z=i,

一ii(i2(-2i-)i)12.

所以z==-----=—I—i

m2+i(2+i)(2-i)55

所以復數z在復平面內對應的點位于第一象限，

故選：A

3.設函數/(x)=V-二廁f(x)()

X'

A.是奇函數，且在(0,鈾0)單調遞增B.是奇函數，且在(0,+oo)單調遞減

C.是偶函數，且在(0,+8)單調遞增D.是偶函數，且在(0,+8)單調遞減

【答案】A

【解析】

【分析】根據函數的解析式可知函數的定義域為｛X|XHO｝,利用定義可得出函數/(x)為奇函數,

再根據函數的單調性法則，即可解出.

【詳解】因為函數/(x)=%3-=定義域為｛中H。｝,其關于原點對稱，而“T)=―/(X)，

所以函數”X)為奇函數.

又因為函數y=》3在(0,+?)上單調遞增，在(-?,0)上單調遞增，

而丁=5=尤-3在(o,+?)上單調遞減，在「？，0)上單調遞減，

所以函數/(x)=%3-5在(0,+?)上單調遞增，在(-?,0)上單調遞增.

故選：A.

【點睛】本題主要考查利用函數的解析式研究函數的性質，屬于基礎題.

4.將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為()

11

--

63

A.

012

--

23

【分析】求出所有的排列方式，得出兩本數學書相鄰的情況，即可求出概率.

【詳解】解析：兩本不同的數學書用S，痣表示，語文書用6表示.

則所有的排列方式有3,02,b),(a\,h,42),(S,a\,b),⑸b,a\),(b,at,az),(b,ai,a。共6

種.

49

其中兩本數學書相鄰的情況有4利故所求概率為二=

63

故選：D.

5.記S“為等差數列｛4｝的前〃項和，若§2=3,S4=18,則S6=()

A.36B.45C.63D.75

【答案】B

【解析】

【分析】由等差數列的前〃項和性質可得52,54-52,56-54成等差數列，進而可得結果.

【詳解】因為s“為等差數列｛4｝的前〃項和,

所以S?,S’—$2,§6-S4成等差數列，即3,15,S6-18成等差數列，

所以3+(邑—18)=30,解得S$=45,

故選：B.

6.某學校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自

習時間的范圍是17.5,30],樣本數據分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,

30).根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是

A.56B.60C.140D.120

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：由題意得，自習時間不少于22.5小時的頻率為(016+0.08+0.04)X2.5=0.7,故自習時

間不少于22.5小時的人數為0.7x200=140,故選C.

考點：頻率分布直方圖及其應用.

7.若0<c<l.貝iJ()

bacc

A.c<cB.log,.?>log(.ZJC.a<bD.logflc>logfcc

【答案】D

【解析】

【分析】利用指數函數、對數函數、基函數的單調性即可得出結果.

【詳解】對于A,當0<。<1時，y=c,單調遞減，所以由可得故A錯誤；

對于B,當0<。<1時，y=log,x單調遞減，所以由可得log/vlogcZ?,故B錯誤;

對于c,當o<c<i時，丁=/在（0,+。）單調遞增，由。>人>1可得/>//,故c錯誤；

對于D,當0<。<1時，y=log,.x單調遞減，所以由&>6>1可得log,.a<log,8<0,

11

則'^----->------，即log.C>log%c,故D正確

10gc.alog涉

故選：D.

8.在△ABC中，若2/?8$3=400$。+。（0$24,則3=（）

兀C冗C冗c2萬

A.-B.—C.—D.—

6433

【答案】C

【解析】

【分析】通過正弦定理將邊化為角，結合兩角和的正弦公式可得COSB=L,進而可得結果.

2

【詳解】因為277cos5=acosC+ccosA,

由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCeosA=sin（A+C）=sinB,

1jr

由于0<3（乃，即sinBwO,所以cosB=—,得5=—,

23

故選：C.

9.設｛4｝是首項為一i的等比數列，公比為q,則"q<o’'是“對任意的正整數〃，的

（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由等比數列通項公式得到4,1+0“>。的變形式，轉化成關于公比q的不等式，解得夕的

取值范圍，進而可以順利判定二者的關系.

【詳解】數列僅“｝是首項為-1的等比數列，公比為q

則?2?-1+4"=-q"2-q2n-'=-q2'"2（1+q）

當q<0時1+4的值正負均可以出現，不能判定符號，即不能推出出,1+4“>0

當生,1+4“>0即一/"2（1+夕）〉0時，可以得到。<一1,則夕<°成立?

則“q<0”是“對任意的正整數〃，4,1+4">0”的必要不充分條件，選項B正確.

故選：B

10.如圖，正方體—的棱長為1，線段BQ上有兩個動點E,尸，且給出下列三

個結論：

①ACL3E

②AAEF的面積與ABEF的面積相等

③三棱錐A-BEF的體積為定值

其中，所有正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】證明AC，面50。瓦可判斷①；計算△AEF和AMF的面積可判斷②，計算三棱錐A—巫尸

的體積可判斷③，進而可得正確答案.

【詳解】對于①：連接80,因為四邊形ABCD是正方形，所以ACL8。，因為，面A8CD,

ACu面A8CD,所以Bq_LAC,因為BDcBB】=B,所以AC_L面因為BEu面

BDD]B],所以AC_L6E,故①正確；

對于②：連接A"和AB—則AA4A是邊長為正的等邊三角形，所以點A到邊瓦。的距離為

V2-cos300=—,所以點A到邊石廠的距離為立，所以△AEF'的面積為逅=理，因為

222228

BB11面AB￡R,EEu面ASGA，可得BBX±EF,

所以所的面積為Lx’xl='，所以AAEF的面積與△BEF的面積不相等，故②不正確；

224

對于③：因為AC，面所以點A到面的距離為所以三棱錐A—3EF的

22

體積為J_.S=交，所以三棱錐A—BE尸的體積為定值，故③正確;

3A234224

故選：C.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知向量。=（2,5）,5=（44）,若q〃b，則4=.

Q

【答案】I

【解析】

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關于；I的方程，解方程即可求得實數％的值.

【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：2x4—4x5=0,

Q

解方程可得：A=-.

Q

故答案為：—.

22

12.雙曲線C：二-2-=1的焦點坐標為，漸近線方程為.

412

【答案】①.（±4,0）②.y=士顯

【解析】

【分析】根據雙曲線的焦點坐標公式和漸近線方程即可直接求出答案.

【詳解】因為"=4,。2=12,所以/="+〃=16,

又因為雙曲線的焦點在x軸上,

22K_

所以雙曲線C:三一匕=1的焦點坐標為(±4,0),漸近線方程為y=±一x=±Jix，即y=

412a

故答案為：(±4,。)；y=+\[3x.

13.設函數/(x)=,，則使得〃x)W2成立的x的取值范圍是.

1

【答案】(-8,4]

【解析】

【分析】分X<1和xNl兩種情況討論從而解不等式/(x)K2即可.

【詳解】當x<l時，由/(x)<2,得2142,所以又因為x<l，所以x<l；

當xNl時，由/(x)W2,得XT?2,所以又因為X?1,所以1WXW4.

所以滿足成立的x的取值范圍為(-oo,4].

故答案為：(一0°,4].

14.若點尸(8$。,而。)關于工軸的對稱點為2卜0$,+1卜也/+三]，則8的一個取值為.

【答案】(答案不唯一)

6

【解析】

cos夕+―=cos3

【分析】根據P,。兩點關于％軸的對稱，可得出():，從而可求出。的值.

sin[6+。)=-sin6

【詳解】因為點2((^氏而仍關于工軸的對稱點為4^^^+^)杰南也+方

cos0^—=cos?！猚os/9+—^-sin^=0

I3J22(Ji\

所以《即《,所以sin|6+—=0,

sinf+yj=-sin^I6)

-sin6?+—cos0^0

122

jrTT

所以6+—=ki,keZ,即。=+k兀,kwZ.

66

故答案為：-9(答案不唯一).

6

15.數學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個半徑為r的小圓在一個半徑為4r的大圓內部，小圓

沿著大圓的圓周滾動，小圓的圓周上任一點形成的軌跡即為星形線.如圖，已知r=l，起始位置時大圓與

小圓的交點為A（A點為x軸正半軸上的點），滾動過程中A點形成的軌跡記為星形線C.有如下結論：

①曲線。上任意兩點間距離的最大值為8；

②曲線。：|x|+|y|=4的周長大于曲線。的周長；

③曲線。與圓/+尸=4有且僅有4個公共點.

其中正確的序號為.

【答案】①?

【解析】

X=X+cos0

【分析】由題意知星形線C任意點（X,y）滿足+sing，。為參數，其中一34%，％43,即

-4<x<4,-4<y<4,從而可判斷①；分析曲線。的圖像，與星形線圖像對比可知②；求出星形線與

直線）=%的交點（J2,夜）,（一五0），知曲線c與圓相切，可判斷③；

【詳解】由已知可知小圓與大圓是內切的關系，設小圓的圓心為（不）,%）,

則小圓的圓心軌跡為以（0,0）為圓心，半徑為3的圓，即x；+%2=9

/、fx=x+cos^

設星形線C任意點（x,y）,則［n+sine，。為參數，其中一3WXo，%W3

可知星形線C任意點（x,y）,滿足-4WxW4,-4<y<4

對于①，星形線C上左右兩個端點（4,0）,（T,0）或上下兩個端點（0,T）,（0,4）的距離最遠，等于8,

故①正確;

對于②，曲線3：|x|+|y|=4為過點A(4,0),8(0,4),C(y0),O(0,T)的正方形，

而星形線與坐標軸的交點也是這四個點，由兩點之間線段最短，可知曲線。：|x|+|y|=4的周長小于曲線。

的周長，故②錯誤；

V2

x=±----+——

22

對于③,星形線與直線＞'=》的交點為，,fip^>/2,>/2V2,—^2j

y=±----+—

22

它們到原點的距離為J(⑸+(可=2與圓/+丁=4的半徑相等,

所以曲線。與圓相切，即有且僅有4個公共點，故③正確;

故答案為：①③

【點睛】關鍵點點睛：本題考查兩個圓的內切關系求軌跡，解題的關鍵是理解星形線的定義，求出對應點

滿足的條件，再分析選項，考查學生的分析審題能力，屬于難題.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數g(x)=sin卜一套,〃(x)=cosx,從條件①/(x)=g(x)-〃(x)、條件②

/(X)=g(x)+h(x)這兩個條件中選擇一個作為已知，求:

(1)八幻的最小正周期；

71

(2)/1)在區(qū)間0,-上的最小值.

【答案】(1)選條件①乃；選條件②2〃

(2)選條件①一［；選條件②!

22

【解析】

【分析1選條件①：/(x)=g(x)?〃(幻；

1TT1

(I)利用兩角和與差的正弦公式化簡可得/(X)=-sin(2x--)--,

264

由周期公式可得答案；

(2)根據x的范圍求得sin(2x-的范圍可得答案；

選條件②：/(x)=g(x)+〃(x).

(1)利用兩角和與差的正弦公式化簡可得/(x)=sin(x+,

I

由周期公式可得答案；

(乃、

(2)根據x的范圍求得sinx+：的范圍可得答案.

16；

【小問1詳解】

選條件①:/(X)=g(x)?h(x)；

(兀、力.11.1

(1)/(x)=sin^x--jcosx=—smx--cosxcosx=——sinxcosx——cos"2x

22yl22

61.c11+cos2x

=——x—sm2x——x--------

2222

73..1.1

=—sin2x—cos2x—

444

=—sinf2x--,

2I6)4

所以/(x)的最小正周期是》.

選條件②：/(x)=g(x)+〃(x).

/(x)=sin[x-看)+cosx=.1)

sinx——2cosxJ+cosx

V3.1

=——sinx+—cosx

22

所以/(X)最小正周期是2乃.

【小問2詳解】

選條件①:y（x）=g（x）?〃（x）；

TT

因為0Wx4—,

2

兀c71571

所以——2x---<,

666

所以一，郎皿(2%—3151，

TTTT]

當2x---=---，即x=0時，f(x)有最小值—.

662

選條件②：/(x)=g(x)+〃(x).

TT

因為OWxW—,

2

by兀427

所以二^X+7'，

663

1(

所以ssinx+—<1，

72rI6j

jrjrI

當x+2=2,即x=O時，/(x)有最小值上.

662

TT

17.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為直角梯形，ZDAB=ZADC=-,側面P4D為直角三

2

（1）求證：CD〃平面RW；

（2）求證：PA_L平面ABCZ）；

（3）若AB=3,PD=4,CD=AD=2,判斷在線段尸。上是否存在一點〃，使得直線A"與平面

兀

尸6C所成角的大小為一.

4

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)存在，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)由條件得到AB//CD即可；

(2)由條件可得即可證明；

(3)以點A為坐標原點，分別以A3,4),AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A-型，算出平

面P8C的法向量，設麗7=4而(0W/IW1),然后可得疝'=82-242^/1),然后可建立方程求

解.

【小問1詳解】

TT

因為四棱錐尸一ABC。中，NDAB=NADC=巴,

2

所以A5〃C￡)，

因為A8u平面PAB,CO.平面

所以CO〃平面Q48.

【小問2詳解】

因為平面P4O,PAu平面PAD,所以C￡)_LQ4,

jr

又因為NPAD=一，所以ACQ4，

2

因為CD,AOu平面ABC。，CDcAD=D,

所以平面AB8.

【小問3詳解】

存在，當M為線段PO中點時，理由如下：

由(2)可知，因PAA.平面ABC。，ABu平面ABC。，

所以ABLB4,

又49LQ4，AB±AD，

如圖以點A為坐標原點，分別以AB,AO,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A一肛z,

則4(0,0,0),8(3,0,0),。⑵2,0),￡>(0,2,0),P(0,0,2碼.

設平面P8C的法向量為4=(x,y,z),

z

\n*BC—0[—x+2y=0,

由〈_____.得r

[n?PB-03x_2>/3z=0.

令z=也,所以"=（2,1,6）.

設加?=/!_研0WXW1）,

則M（0,2—2；l,2?l）,

所以布7=（0,2-22,）,

直線AM與平面P8C所成角為6,

所以向￡小網林留=廠產2

1'71河272-7162^-82+42

解得4=,，符合題意，

2

TC

所以當M為線段PO中點時，直線AM與平面PBC所成角的大小為一.

4

18.某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識競賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的學生先在兩類問題中選擇一

類，然后從所選類別的問題中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則比賽結束；若回答正確則從另一類問

題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，比賽結束.A類問題回答正確得10分，否則得0分；

5類問題回答正確得30分，否則得0分.已知小明同學能正確回答A類中的每一個問題的概率均為0.8,

能正確回答5類中的每一個問題的概率均為0.5,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）分布列見解析

（2）A類問題，理由見解析

【解析】

【分析】（1）得分情況有三種可能性，第一個問題錯誤，0分，第一個問題正確，第二個錯誤，10分，兩

個問題都正確，40分，分別求出對應的概率即可

（2）將兩種情況分別進行計算，比較大小即可得出結論

【小問1詳解】

由題可知，X的所有可能取值為0，10，40.

P（X=0）=1—0.8=0.2：P（X=10）=0.8x（1-0.5）=0.4；尸（X=40）=0.8x06=0.4.

所以X的分布列為

X01040

P0.20.40.4

【小問2詳解】由（1）知，若小明先回答A問題，則E（X）=0X0.2+10X0.4+40X0.4=20.

若小明先回答8問題，記y為小明累計得分，則y的所有可能取值為0,30,40.

p（y=O）=l-O.5=O.5;P（y=30）=0.5x（l-0.8）=0.1；P（X=40）=0.5x0.8=04,

所以E（y）=0x0.5+30x0.1+40x0.4=19.

因為19<20,所以小明應選擇先回答A類問題.

22

19.已知橢圓。：三+==13>〃>0）,。為坐標原點，右焦點坐標為尸（、后,0）,橢圓C離心率為

V6

3

（1）求橢圓。的方程；

（2）橢圓C在>軸上的兩個頂點為4,8,點p滿足麗.麗=0,直線PE交橢圓于M,N兩點，且

|MN|=G，求此時NOPF的大小.

【答案】（1）—+/=1

3

（2）NOPF=90。

【解析】

【分析】（1）利用橢圓的焦點坐標及橢圓的離心率可求解；

（2）分析可知直線PE斜率存在，設為y=k（x-亞），聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理弦長公式

可知直線P/的方程為>=±（X-0）,再利用福.麗=0,知點P在以原點為圓心，半徑為1的圓上，

利用點到直線的距離公式可判斷直線與圓的位置關系，進而求解.

【小問1詳解】

因為右焦點為F（0，o），所以C=及，

因為離心率e=￡=^^，所以。="\/^,b1—a2—c2-3—2-1＞

a3

2

所以橢圓C的方程為x二+y2=].

3

【小問2詳解】

當直線尸尸垂直于x軸時，|MN|=±，H百（舍）.

當直線尸尸不垂直于X軸時.，設直線PF的方程為y=人卜一血卜

y=k（x-6）,

由＜2整理得（1+3女2卜2—6\/5左2%+6女2—3=0,

—+y2=1,

I3

設,y）,N（X2，%），由題意△＞（）恒成立，

6k2-3

所以內+*2=:呼2'玉々1+3&2

2

利用弦長公式知\MN\=yj]+k|x,-x2\=Jl+Z?J（X]+/）--4AM

所以直線Pb的方程為丁=±1一0）.

因為A,6為橢圓C在y軸上的兩個頂點，不妨設A（O,1）,B（O,-1）,

因為A戶8戶=0，設P（〃2，〃），

所以卜〃，/一1＞（加,"+1）=0,即〃，+〃2=1，

即點P在以原點為圓心，半徑為1的圓上.

因為原點到直線PE的距離△

所以直線PF與圓機〃2=1相切，

所以NOPE=90'.

20.已知函數/(刈=三1±士

er

(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程；

(2)當?！?時，求/(X)的單調區(qū)間；

(3)求證：當。與一1時，/U)>-e.

【答案】(1)y=2x-i.

(2)答案見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導，由導數的幾何意義求出切線方程；

(2)求出尸。)="坐二義，分0<。<:、。=！、a>~,討論y=/(x)的單調性可得答案；

ex222

(3)當aW-1時，令/'(x)=0,得x=L或x=2,/(x)取得極小值__°T，

-e「：e[—e,l)，由極小值定義及/(幻的單調性可知：當x<2時，/(x)N-e；

x22時，設g(x)=—a?+x—l,(x22,由二次函數的性質可知g(x)>g(2)>0恒成立，可得答

案.

【小問1詳解】

,,、(_?x2+^-l)-e'-^-<zx2+x-lj-(eA)ax2-(2a+l)x+2(ar-l)(x-2)

f(X尸'

因為尸(0)=2,./"(())=-1,

所以曲線y=/(x)在點處的切線方程為y=2x-l.

【小問2詳解】

由(1)知：/(力=(以―1)產―2),JwR),

因為。>0,令/'(x)=0,所以x=—或x=2,

a

當0<a<—時，一>2,

2a

則X,f'(x),/(X)的變化情況如下表:

1

X（一雙2）2

fW+0—0+

極大極小

/（X）//

值值

當”:時‘92’貝I”'⑺對恒成立'/.⑴在R內恒增;

當時，0＜工＜2,則x,/'（x）,/（x）的變化情況如下表:

2a

工

X2(2,+8)

a

/（X）+0—04-

極大極小

/㈤//

值值

綜上，當0＜“＜：時，單調遞增區(qū)間是（一口2）和[：,+“），單調遞減區(qū)間是12,（

當時，單調遞增區(qū)間是（一。,+。），無單調遞減區(qū)間;

2

當a＞g時，單調遞增區(qū)間是（一和（2,+e）,單調遞減是2

【小問3詳解】

當aW—1時.，令/'（x）=0,得％=，或*=2,易知，€[—1Q）,

aa

則％r（x）,/（幻的變化情況如下表:

11,2)

X2(2,+8)

)

f'M—0+0—

極小極大

/㈤/

值值

所以當無=工時，/(X)取得極小值/(，]二-‘r=—e",

a\aje；

11_1_1

由于1,則一￡1一1,0),—e(0,1],e“￡(l,e],-eaG[-C,1),

所以由極小值定義及/(X)的單調性可知：當X<2時，/(x)>-e,

接下來，研究/(x)在2的變化情況，

因為e*>0恒成立，T&g(x)=-ax2+x-L(x>2,a<-l),

對稱軸x=——<0,A=l-4cz>0,拋物線開口向上，g(2)=l-4a>0,

2a

所以由二次函數的性質可知：當2時，g(x)>g(2)>0恒成立，

所以/(x)>0在x?2時恒成立.

綜上所