2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集14

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集30篇》

在這套習題中，我們僅僅關注高中數(shù)學知識之間的跨界組合、綜合交匯的

考查。它們也許是數(shù)列與函數(shù)的交匯、也許是函數(shù)與幾何的交匯、也許統(tǒng)計與

圓錐曲線的交匯、也可能是基本不等式與解三角形的交匯……

第14篇

1

1

1.（皖，2021屆定遠中學高三月考）已知幕函數(shù)/（x）=￡的圖象過點（4,2）,令,

/（〃+1）+/（〃）

（nwN*）,記數(shù)列｛2｝的前〃項和為S“,則Soo：（）

A.72018+1B.,2018-1C.V2019+1D.42019-1

2.（皖，2021屆阜陽太和一中高三檢測）己知向量。4,08的夾角為60、10Al=1,|0例=2,點C為乙408

m

的平分線上的一點，且OC=￡H）,則-=（）

n

11

A.-B.-C.2D.3

32

3.（皖，2021屆皖江名校高三聯(lián)考）已知拋物線y=2px（p>0）的焦點為/，準線為/,DC：

（X—。）2+（>-?2=16過點尸且與/相切，X軸被口。所截得的弦長為4,則。=.

4.已知雙曲線E的中心在原點，焦點在坐標軸上，則“雙曲線E的離心率e=6”是“雙曲線E的漸

近線方程為尸±2"'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（皖，2021屆定遠育才學校高三月考）設函數(shù)〃x）=l-HLg（x）=ln（"2-3x+l）,若對任意

x,e[0,+oo）,都存在々eR,使得/（M）=g（尤2），則實數(shù)。的最大值為（）

99

A.-B.2C.-D.4

42

6.（皖，2021屆育才學校高三月考）若集合A=｛X|、「=若A=B,則相

的值為（）A.2或3B._1或2C.2D.-1

7.（皖，2021屆蚌埠市高三第一次質檢）如圖，E，E分別是正方形A8C0的邊AB，AO的中點，把

QAEF,ACBE，△CFQ折起構成一個三棱錐P-CEF（A，B,D重合于P點），則三棱錐P-CEF

的外接球與內切球的半徑之比是.

8.（皖，2021屆蚌埠市高三第一次質檢）設等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，4<0,且S“ZS5,則下

列結論一定正確的是（）.

A.a5-a6>0B.a5-a6<0c.tz4-a6>0D.aA-a6<0

2

9.（皖，2021屆皖江名校高三聯(lián)考）已知拋物線y2=2px（p〉0）的焦點為/，準線為/,DC：

（x-ay+（y-26）2=16過點/且與/相切，則°=------

10.（皖，2021屆定遠育才學校高三月考）已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）滿足〃x+4）=〃x）+/（2）,

且尤e[0,2]時有/（x）=sinQzx）+21（冰）]而g（x）=/（x）-log^x+在區(qū)間[一3,3]上至多有

10個零點，至少有8個零點，則a的取值范圍為（）

1~\r1

A.43,6B.43,5c.[2,5]D.[5,6]

IL（皖，2021屆合肥市高三調研）己知三棱錐尸-ABC的頂點P在底面的射影。為口ABC的垂心，若

S

S&BC,S4011c=1PBC>且三棱錐P-ABC的外接球半徑為3,則S&MB+S&PBC+S.C的最大值為

12.（2021屆新高考地區(qū)期中考）數(shù)列也｝滿足a=1,。=〃-4，其中2e[l,5],若存在正整數(shù)機，

"1W+1a

"+1"

當〃〉機時總有a“<0,則邠取值范圍是.

13.（皖，2021屆定遠中學高三月考）在A4BC中，tanA=/，AB=2,AC=4,。是線段8C上一點，

3

4242

且Q3=4OC,則4>5。是（）A.-8B.8C.一一D.一

55

工22（6/>0,Z?>0）

14.（皖，2021屆皖江名校高三聯(lián)考）已知離心率為也的雙曲線C：/一方=1的一個頂

點為尸，直線〃/龍軸，/交雙曲線C于A，B兩點，則NAPB取值范圍是（）

（An

15.（皖，2021屆定遠育才學校高三月考）設/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的xeH,都有

nV

,“2-x)=/(2+x)且當無￡[-2,0]時，〃x)=2-1若在區(qū)間（-2,6]內關于x的方程

/（x）—log“（x+2）=0（0<a<1）恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

3

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集》第14篇參考答案

1答案D

2.【答案】C

【解析】利用點C為NA08的平分線上的一點，可利用菱形對角線平分對角進行作圖，構造出四邊形

1?為菱形，由|。4|=1,|。8|=2,設。4尸ZOA,則%從=帔，|則。2=所以，利用

—-k—■—?—2

向量的線性運算，即可得到OC=OA+OB[=kOA+-OB=mOA+nOB,進而求—即可

2n

【詳解】

OB

如圖，過點C作CAJIOBCBJIOA,則可得四邊形。8C4為菱形，所M。4=|。目.設04=后。4,

—?----------k—?—?k?

則卜攵=|則08尸^OB,所以OC=OA,+OB]=kOA+.又因為OC=〃?QA+nOB，

m_k

所以71

2

3.【答案】1或3

【解析】根據題意，得到圓心（。/）在拋物線上，推出^=2/%；再由拋物線的定義，得到a=4-￡；

聯(lián)立求出〃=8p—p2；再由圓的性質，由題中條件，得出爐=12,進而可求出P,從而可求出a.

【詳解】

由已知得圓心（。,。）在拋物線上，所以/=2pa；

又拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，則。=4二P,

所以6=2P(4-P、=8p_p2,

Ii!

因為x軸被口C所截得的弦長為4，

根據圓的性質：圓心到弦的距離的平方，與弦長一半的平方之和，等于半徑的平方；

所以從+4=4?，故匕2=12.

所以8p—p2=12,即p2—8p+12=0,所以p=2或〃=6,故。=3或a=\.

故答案為：1或3.

4

4.答案D

5.【答案】A

【解析】對任意x,e[0,+oo),都存在x2e/?,使得/(玉)=g(電)，即fM在[0,+8)上的值域(—8,0]

是g(x)在xeR上值域的一個子集即可，進而討論。判斷g(x)值域是否包含(-8,0]求。的最大值

【詳解】

/(x)=l-Jx+1在xe[0,+00)上單調遞減

/(%)￡/(0)=0,而對e[0,+8),R,使得/(xj=g(%)

即xGR上，(-00,0]是g(x)值域的一個子集即可

在g(x)=In(ox2-3x+1)中

當a=0時，g(x)=ln(l-3x)在x<1上值域為R,故符合條件

3

當。工0時，令g⑺=lnf,t(x)=a^-3x+b即取值至少包含(0,1],有

1,當a>0時，A=9—4a20,0<aW?符合條件

4

,9

2、當“<0時，*X)max=1一——21恒成立，故符合條件

4。

一9

，綜上，有：a<_

4

故選：A

6.C

7.【答案】2指

【解析】根據PC,PE,P”兩兩垂直可知，三棱錐P-CM的外接球也是以PC,PE,PF為長,寬，高的

長方體的外接球，即可求出其外接球半徑，再根據等積法可求出其內切球的半徑，從而得解.

【詳解】

因為PC,PE,PF兩兩垂直，所以三棱錐P-CE/的外接球也是以PC,PE,PF為長,寬，高的長方體的

外接球，設其外接球半徑為R,正方形邊長為2，所以PC=2,PE=PF=1,

即2R=爐不IF,解得R=竽-

因為三棱錐P-CEF的表面積S即為正方形的面積，S=2x2=4,設其內切球的半徑為r,

所以V=1x|xP￡*xPFx尸C=：x|xlxlx2=V=^Sr=^_r=\即廠=，.

P-CEFTT7二7P-CEFTT~A

5

J6

因此，0=_1_=2痣.

r1

4

故答案為：2遍.

8.【答案】B

【解析】根據S>5得到JS4NS5再逐項排除選項.

n51

［^6-S5

【詳解】

/54>55,得心,

根據已知可得>5

I\S65I6

故B正確，A錯誤;

若。5<0，。6=0，則C,D錯誤.

故選：B.

9.【答案】2或6

；,()］代入圓方程中得到一方程，圓心到/的距離等于半徑得另一方程，解方程組即可.

【解析】F

【詳解,

解：尸|，，01在(x—ay+(y-23『=16上

12J-

所以“一。1_=16，即〃一(1=2(1),

91+(0-2^)耳

(x-4)2+(y-26『=]6和與/相切，a+=4(2),

由(1)(2)得，所以。=2或p=6

故答案為：2或6.

10,【答案】D

【解析】有已知條件可得/(X)函數(shù)周期為4,由/(X)為偶函數(shù)即可得

,()_「in(加)+2啊(狗，|xe［0,2］，由題意知在區(qū)間［-3,3］上零點問題可轉化為函數(shù)/(x)與

-sin(m)+2s|in(.)，*w［-2,0)

7

y=log(x+J有交點且零點個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，結合函數(shù)圖像分析即可求a的取值范圍

"2

【詳解】

6

由xc[0,2]時有/(x)=sin(乃r)+，sin(%d,知：/(2)=0

/(x+4)=/(x)+/(2)=>f(x+4)=/(x),即/(x)的周期為4

:在R上/(x)為偶函數(shù)，令xe[-2,0],則一九e[0,2]

/.f(x)=f(-x)=一sing)+2|sin(^x)|

sin(狗+2軻(加),|XG[0,2]

綜上，周期為4的函數(shù)/(%)=

-sin(狗+2s|in(冰),^e[-2,0)

(7

g(x)=/(x)-logx+?在區(qū)間[一3,3]上有零點,則g(x)=。有f(x)=log(x+),即可轉化為函

“2〃2

775

數(shù)/(x)與y=log(x+_)有交點，因為y=log(x+J圖象必過(一_,0),在[-3,3]上至多有10個交

“2a22

點，至少有8個交點，即可得到如下函數(shù)圖象

5<a<6

故選：D

11.【答案】18

【解析】連A。交5c于O,由頂點尸在底面的射影。為口ABC的垂心，得AD1BC,進而證明

7

BC^PA,PC1AB,PD1BC,由=、3叱。得AO-OO=PZ＞，根據三角形相似可得,

PA1AD，進而證明PA,PB,PC兩兩互相垂直，將三棱錐拓展為以PA,PB,PC為棱的長方體，可得

PA2+PB2+PC2=36.再由基本不等式，即可求出結論.

【詳解】

連A。交BC于。，頂點P在底面的射影。為口A3C的垂心，

又尸0,平面ABC,POLBC,

POC\AD=O,8。，平面24。,8。1胡,8。，「。，

同理可證PC1AB,PB1AC,

Anpn

由S-S=S--WADOD^PD-,^.

△ABCAOBC4PBepDop

NPDO=ZPDA,：.叢POD□AAPD,：.ZAPD=ZPOD=90°,

PA1PD,又PA1BC,BCnPO=。,，PA_L平面PBC,

PA±PB,PA1PC,又PCA.AB,PAC\AB=A,：.PCJ.平面PAB,

：.PCIPB,PA,PA,PC兩兩互相垂直，

三棱錐P-ABC的外接球為PA,PB,PC為棱的長方體的外接球，

又三棱錐P-ABC的外接球半徑為3,

P^+PB2+PC2=(2X3)2=36,

.e+s+s=LPA-PB+LPB-PC+1PC-PA

,,°△尸人B丁2BBC丁^APAC222

(PA2+PB2)