必修二期末復(fù)習(xí)題練習(xí)（含答案解析）

必修二期末復(fù)習(xí)題練習(xí)

1.設(shè)2=粵，則z的共規(guī)復(fù)數(shù)為

3+z

A.-l+3zB.-1-3/C.1+3/D.1-3/

2.已知向量4=（sin。,-2）,5=（1,cos。），且a_|_5,則sin28+cos?。的值為（）

A.1B.2C.D.3

3.設(shè)AABC中8c邊上的中線為A￡),點(diǎn)。滿足才亍=2而，則反=()

1-2—■2—1—?

A.——AB+-ACB.-AB——AC

3333

C.—AB—ACD.—ABH—AC

3333

4.點(diǎn)尸是AABC所在平面上一點(diǎn)，滿足|麗-阿麗+前-2珂=0,則AABC的形

狀是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

5.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=等，則以下命題為真命題的是（）

2-1

74i7

A.z的共聊復(fù)數(shù)為B.z的虛部為-二

C.|z|=3D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

6.已知i是虛數(shù)單位，4為七出刀（七二占二產(chǎn)是乂^+加^=^”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=2逐，AB=AC=BC=2>/3,則三棱錐

P-ABC外接球的體積是（）

125兀32兀

A.36兀D.50K

8.在△ABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為。，b,已知c=26,且

2tzsinCcosB=6ZsinA-Z?sinB+—fesinC,點(diǎn)。滿足9+/+近=0,

2

3

cosZC4O=-則AABC的面積為

8

A.回

B.3百C.50D.y/55

3

9.已知》、5、2是平面向量，2是單位向量.若非零向量公與工的夾角為2，向量加

滿足52—4/5+3=0，則卜-力|的最小值是

A.73-1B.6+1C.2D.2-6

10.在AA8C中，點(diǎn)P滿足群=3用，過點(diǎn)P的直線與A3、AC所在的直線分別交于

點(diǎn)M、N,若雙=4而，麗=〃祝（九>0,4>0），則2+〃的最小值為

V2,A/3,,「35

AA....+1RB?----+1C.nD（

2222

11.在AABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,4c,若ac=4,

sinB+2sinCcosA=0,則AABC面積的最大值為

A.1B.百C.2D.4

12.已知復(fù)數(shù)z滿足忖=1,且有z"+z=l，求2=（）

A.L土耳B.立土LC.立土也iD.都不對(duì)

222222

13.有下列說法，其中錯(cuò)誤的說法為（）.

A.若4〃坂,B〃c，則〃〃C

B.若麗?麗=麗.正=正而，則P是三角形ABC的垂心

c.兩個(gè)非零向量1,5,若卜-b卜同+W，則1與B共線且反向

D.若2〃5，則存在唯一實(shí)數(shù)2使得1=25

14.如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且

___________4

AD=ABC,ADAB=--,則實(shí)數(shù)2的值為_________,若是線段BC上的動(dòng)

2

點(diǎn)，且|〃河|=1,則麗.麗的最小值為.

16.在AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,448c的平分線交

AC于點(diǎn)O,且或＞=1,則4a+c,的最小值為.

17.已知AOAB中，點(diǎn)D在線段0B上，且OD=2DB,延長BA到C,使

BA=AC.i§：OA=a,OB=b-

(1)用。5表示向量能反；

(2)若向量反與麗+左交共線，求上的值.

18.已知同=4,1=(-1詞.

(1)若34,求公的坐標(biāo)；

(2)若￡與否的夾角為120。，求在向量￡上的投影.

19.某海上養(yǎng)殖基地A,接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60。方向相距20(6+1)

海里的海面上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時(shí)10近海里的速度沿某

一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心在基地東北方向時(shí)對(duì)基地的影響最強(qiáng)烈且(G+I)

小時(shí)后開始影響基地持續(xù)2小時(shí)，求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向.

2

20.如圖：在A43C中，從=42+。2-點(diǎn)。在線段AC上，且A￡)=2OC.

(1)若他=2,BD=走*求BC的長；

3

(H)若AC=2,求ADBC的面積最大值.

21.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8CO為矩形，平面平面ABC。,

PA±PD,PA=PD,E、尸分別為AQ、PB的中點(diǎn).

(I)求證：PE上BC；

(II)求證：平面平面PC。；

(Ill)求證：EF〃平面PCD

22.四棱錐S-AB8中，底面回9)為矩形5￡＞，底面48。,0。=5。=2,點(diǎn)例是側(cè)

棱SC的中點(diǎn)，AD=y/2.

(1)求異面直線CD與8M所成角的大小；

(2)求二面角S-AM-B的正弦值.

23.在平面四邊形ABC。中，zSWC=90,ZA=45,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB；

(2)若DC=2V2,求BC.

24.如圖，在正方體ABCD-ABCR中，E為的中點(diǎn).

(I)求證：8CJ/平面AQE；

(II)求直線AA,與平面ARE所成角的正弦值.

25.某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：加)和使用了節(jié)水龍

頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)

頻數(shù)151310165

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

日用水電/nV

（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35加的概率；

（3）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計(jì)算，同一組

中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.）

26.某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160,180）,[180,200）,

[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如

圖.

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶

中，用分層抽樣的方法抽取H戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多

少戶？

27.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的

概率；

(II)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；

(Ill)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率

發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增

加0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部

數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)

28.如圖，C是以AB為直徑的圓。上異于A,B的點(diǎn)，平面PACJ?平面ABC,

PA=PC=AC=2,8c=4,E,F分別是PC,P8的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC

的交線為直線/.

(I)求證：直線/_L.平面PAC；

(II)直線/上是否存在點(diǎn)Q,使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余?

若存在，求出IAQI的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

29.已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，S為AABC的面積，

sin(B+C)=-^=.

CT-C

(1)證明：A=2C；

(2)若b=2,且AABC為銳角三角形，求S的取值范圍.

30.如圖，四棱錐S-A8CQ中，SD_L底面ABC。，AB//CD,ADYDC,

AB=AD=1,DC=2,E為棱SB的中點(diǎn).

(1)求證：5。_1_平面4?！?；

(2)求點(diǎn)8到平面AEC的距離，

31.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距離A為心-1海里的8處有一艘走私船，在

A處北偏西75。方向，距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以106海里/時(shí)的速度

追截走私船，此時(shí)，走私船正以10海里/時(shí)的速度從8處向北偏東300方向逃竄.

南

(1)問C船與8船相距多少海里？C船在5船的什么方向？

(2)問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間.

32.在AABC中，asin(B+J1=竽，且BC邊上的中線長為巫，AB=3

y6J22

(1)求角A的大小；

(2)求AABC的面積.

參考答案：

1.D

【解析】

【詳解】

10z10z(3-Z)

試題分析：z=「=:<=1+3，,.」的共軌復(fù)數(shù)為1_3，,故選D.

3+,(3+z)(3-?)

考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；2.共癰復(fù)數(shù)的概念.

2.A

【解析】

【分析】

由￡_L5,轉(zhuǎn)化為75=0,結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出tan8=2,然后將所求代數(shù)式化為

sinZe+cosieuZsinecose+cos:”'sinRcos'"ys",并在分子分母上同時(shí)除以

sin2(9+cos-6?

cos26,利用弦化切的思想求解.

【詳解】

由題意可得ab=sm0—2cos0=0<即tan0=2.

....、C2sin0cos0+cos202tan0+1.

..sin20+cos-0=-------；----------；------=-------------=1,

cos-(9+sin-，1+tan-0

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查垂直向量的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查弦化切思想的應(yīng)用，一

般而言，弦化切思想應(yīng)用于以下兩方面：

(1)弦的分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角〃弦的"次分式齊次式，分子分母同時(shí)除以

cos"可以將分式由弦化為切；

(2)弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化為角。的二次整式，然后除以cosze+side

化為弦的二次分式齊次式，并在分子分母中同時(shí)除以cos?，可以實(shí)現(xiàn)弦化切.

3.A

【解析】

作出圖形，利用麗、衣表示祈，然后利用平面向量減法的三角形法則可得出

反=恁-而可得出結(jié)果.

【詳解】

答案第1頁，共30頁

如下圖所示:

————1——1/——\1—1—

QO為BC的中點(diǎn)，則AD=AB+BZ)=AB+-BC=AB+5(AC-AB)=/AB+/AC,

—2—1—1—

:AO=2OD>:.AO=-AD=-AB+-AC,

.-.OC=^C-AO=AC-(-AB+-AC|=--AB+-4C,

(33J33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基底表示向量，考查了平面向量減法和加法三角形法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

4.B

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與模長公式，可以得出福.近=0，由此可判斷出A43C的形狀.

【詳解】

點(diǎn)P是AABC所在平面上一點(diǎn)，滿足廊-園麗+無-2困=0,

iUiinuinn...._.

=\AB+AC\即“一Aq=|AC+洞，

R9

等式I瓶-前卜|/+礪I兩邊平方并化簡(jiǎn)得通.而=0,...而，而，

因此，AABC是直角三角形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，也考查了模長公式應(yīng)用，是中等題.

5.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)Z=手，利用共軌復(fù)數(shù)，虛部，模長的概念，運(yùn)算求解，進(jìn)

2-1

答案第2頁，共30頁

行判斷即可.

【詳解】

____3+2（3+2i）（2+i）_421

'Z-2-i-（2-i）（2+i）-5+T）

47i7

??.z的共扼復(fù)數(shù)為z的虛部為:，

Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（H）,在第一象限.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軌復(fù)數(shù)，虛部，模長等概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)

運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

【詳解】

當(dāng)。=。=1時(shí)，（。+勿）2=（l+i）2=2i,反過來（a+加則

a1-b1=Q,2ab=2,解得a=1,6=1或a=-l,b=-1,故a=b=1是（a+b"=2i的充分不必

要條件，故選A

考點(diǎn)：充要條件的判斷，復(fù)數(shù)相等.

7.B

【解析】

【分析】

三棱錐P-ABC是正三棱錐，取。'為AABC外接圓的圓心，連結(jié)P0',則R7_L平面

ABC,設(shè)。為三棱錐P-A8C外接球的球心，外接球的半徑為R,可求出O'A,PO',然后

由oo'2+o'A2=af=店可求出半徑，進(jìn)而求出外接球的體積.

【詳解】

由題意，易知三棱錐尸-ABC是正三棱錐，

答案第3頁，共30頁

p

A

取O'為AABC外接圓的圓心，連結(jié)尸0',則R7,平面ABC,設(shè)。為三棱錐P-ABC外接

球的球心.

“4—述1_9

因?yàn)锳8=AC=BC=26,所以“~~^3X2~■

T

因?yàn)镻A=PB=PC=2百，所以尸O'=，申2_。42=4.

設(shè)三棱錐P-A8C外接球的半徑為R,則（4-R『+4=R2,解得R=|,故三棱錐P—A5C

外接球的體積是:4兀肥=13957r.

36

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球體積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬

于中檔題.

8.D

【解析】

【分析】

運(yùn)用正弦定理和余弦定理將角統(tǒng)一成邊，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角形的面積公式結(jié)

合求解.

【詳解】

由2asinCcosB=asmA-bsmB+^-bsmC,

2

可得2acx"+'----—=672-b2+^-bc?即c=.又c=2石，所以b=4.

lac22

因?yàn)槲?加+覺=0,所以點(diǎn)。為AABC的重心，

所以通+蔗=3而，所以麗=3標(biāo)-雙，

答案第4頁，共30頁

兩邊平方得即『=9|而『-61A0||AC|cosACAO+1AC|2.

因?yàn)閏osNC4O=1,J^y|AB|2=9|AO|2-6|A0||Ac|x|+|AC|2,

于是9|祈|2一9|狎-4=0,所以|布=；,

△A0C的面積為;x|泡網(wǎng)AC|xsinZCAO=^x^x4x

因?yàn)锳ABC的面積是△AOC面積的3倍.故^ABC的面積為V55.

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵在于運(yùn)用向量的平方可以轉(zhuǎn)化到向量的夾角的關(guān)系，再與三角形的面積公式相結(jié)

合求解，屬于難度題.

9.A

【解析】

【分析】

先確定向量￡、5所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)

系求最小值.

【詳解】

I1I

tSa=(x,y),e=(l,0),Z?=(/n,n),

則由]得〃?e=H，Hcos],x=；7^^"，,y=±G'，

由Z?—4e.A+3=0得次+〃—4m+3=0,(/%—2)+n~=1,

因此，卜-4的最小值為圓心(2,0)到直線)，=±3的距離乎=6減去半徑1,為6-1.

選A.

【點(diǎn)睛】

以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相

結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域

或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法.

10.B

【解析】

【分析】

答案第5頁，共30頁

uim?uimQuun

由題意得出AP=：A8+；AC,再由而=4而，AN=RAC,可得出

44

umiuuur3uu11313

AP=—AM+—ANf由三點(diǎn)共線得出7T+丁=1,將代數(shù)式;i+〃與+相乘，展

424〃424〃424〃

開后利用基本不等式可求出4+〃的最小值.

【詳解】

如下圖所示:

umumzuinnuunuun1uun3uun

QBP=3PC，^AP-AB=3(AC-AP:.AP=-AB+-AC

44f

uuuuiuuuuiuimuun1uuuruura1uuur

QAM=AAB，AN=^AC(A>0,^>0)，AB=-AMAC=—AN,

24

uun1uuii'3uuur

P、N三點(diǎn)共線,則—+二4〃=1

/.AP——AM-\-----AN,??M

424〃*

136

4+//=(4+〃)——十——工+修口卷￡+「

424//

當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí)，等號(hào)成立，因此，幾+〃的最小值為曰+1,故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時(shí)要

充分利用三點(diǎn)共線得出定值條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

11.A

【解析】

【分析】

AABC中，由正弦定理可得6+2ccosA=0,利用余弦定理可得：2從=/—c?.結(jié)合

答案第6頁，共30頁

ac=4,a,分都用c表示，利用余弦定理及其基本不等式的性質(zhì)可得cosB的最小值，可

得sin8的最大值，即可得出三角形面積的最大值.

【詳解】

由正弦定理得：b+2ccosA=0

.?22

由余弦定理得：b+2c-'+C'~a'=0,即2/=/一/

2bc

2

22a~—c

222a+c-

na+c-h-/+3C22辰c百

2aclac4ac4QC2

當(dāng)且僅當(dāng)‘2=迪，從=速，/=4班時(shí)取等號(hào)，

33

f711

Be\0,—,sinB<—

I6j2

則443C=g“csin84；x4x；=l,所以AA8C面積的最大值1.故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，屬于難題.

12.A

【解析】

根據(jù)題意可設(shè)z=cos6+isin。(i為虛數(shù)單位)；然后再利用棣莫佛公式，可得

/、/、fcos170+cos0=\

(cosl76+cos6)+i(sinl7e+sine=1,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得.〃八，利用三

''7[sin170+sin0=0

角函數(shù)同角關(guān)系，即可求出。的值，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閲?1,設(shè)z=cose+isine(i為虛數(shù)單位)；

由棣莫佛公式，可得

z17+z=cosl7〃+isinl7〃+cose+isine=(cosl7，+cose)+i(sinl76+sin，),

所以(cosl79+cos，)+i(sinl76+sin4)=1

fcos178+cos0=1[cos17^=1-cos3

所以4,即《

[sin170+sin<9=0[sin176>=-sin6>

因?yàn)?sinUe):+(cos176>y=1,

所以(sinl7，y+(cosl76?)2=(-sin0)2+(1-cos6?)2=1；

答案第7頁，共30頁

化簡(jiǎn)可得sin2e+cos?。一2cosd=0,即l-2cos6=0

所以cos9=；,所以sin6=±J1-cos?9=土與；

所以z=-±^-i.

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，熟練掌握復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵.

13.AD

【解析】

【分析】

分別對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)B時(shí)，￡與"不一定共線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,由瓦麗=麗.正，得麗々=0，所以而_LS5，PBLCA,

同理Z4LC8,PC^BA,故尸是三角形ABC的垂心，所以B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,兩個(gè)非零向量B，若卜-b卜同+|5|,則G與日共線且反向，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)各=6，;=力時(shí)，顯然有G〃板，但此時(shí)4不存在，故D錯(cuò)誤.

故選：AD

【點(diǎn)睛】

本題考查與向量有關(guān)的命題的真假的判斷，考查學(xué)生對(duì)基本概念、定理的掌握，是一道容

易題.

一113

14.--

62

【解析】

【分析】

可得NB4D=12（T，利用平面向量數(shù)量積的定義求得力的值，然后以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC

所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（x,0）,則點(diǎn)N（x+l,O）（其中04xW5）,得

出麗?麗關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得麗.麗的最小值.

【詳解】

AD=ABC.AD//BC,ZBAD=180-ZB=120,

答案第8頁，共30頁

ABAD=ABC-AB=2|BC||AB|COS120

=XX6X3X（-；）=-9>1=_g,

解得2=:，

以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

?.?BC=6,..C（6,0）,

V|AB|=3,ZABC=60°,A的坐標(biāo)為A

-.1—.

???又?.?AD=-BCMD，設(shè)M（x,0）,則N（x+l,0）（其中04x45）,

6

兩=1-3-孚），麗+高一暇

DMDN==x2-4x+—=（x-2）2+—,

2172

13

所以，當(dāng)x=2時(shí)，兩.麗取得最小值］.

,,113

故答案為：—;—?

62

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

15.6

【解析】

【分析】

答案第9頁，共30頁

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用模的公式計(jì)算.

【詳解】

O=（8+,）（2+3i）|±tL|=|l+2,-|=VfTF=^.

2-3/22+32|2-3/|11

故答案為：亞

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模的計(jì)算，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)是關(guān)鍵，注意分子分母同

乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，并利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn).

16.9

【解析】

【詳解】

分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

詳解：由題意可知，SMBCMSAAQ+SMCD,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得

—acsin120°=—ax1xsin600+—cx1xsin60°,化簡(jiǎn)得ac=a+c,L+1=1,因此

222ac

..、/11、lc4。、廣,c4a八

4a+c=（/4。+c）（—l—）=5H—H之5+2J----=9,

acac\ac

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時(shí)取等號(hào)，則4a+c?的最小值為9.

點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等

式中“正''（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的

條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

___5_3

17.（1）OC=2a-b,DC=2a--b；（2）-

【解析】

【分析】

（1）由向量的線性運(yùn)算，即可得出結(jié)果；

⑵先由（1）得04+&DC=（2%+i）a-g防，再由無與麗+k配共線，設(shè)

OC=A（OA+kbcy列出方程組求解即可.

【詳解】

解：（1）?.?A為BC的中點(diǎn)，.?.OA=g（。4+。3）,

^^OC=2OA-OB=2a-b,

答案第10頁，共30頁

_________2__S

^DC=dC-OD=bC--OB=2a--h

33

（2）由（1）^OA+kDC=（2k+\）a-^kh,

?.?瓦與麗+k反共線，設(shè)玄=43+%況）

即2a-h=A（2k+l）a+~Akb,

2=4（2左+1）

根據(jù)平面向量基本定理，得,5,,

—1=--AK

3

解之得，k=[3.

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的基本定理，熟記定理即可，屬于?？碱}型.

18.（1）（2,-2⑹或（-2,2百）；（2）5.

【解析】

【分析】

（1）利用公式士言求得與各共線的單位向量的坐標(biāo)，根據(jù)同=4且2//B，a=|a|c,代入

計(jì)算即得;

（2）利用向量數(shù)量積的定義求得￡力,利用投影的定義結(jié)合使用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求

得.

【詳解】

解：（1）=.“4=2,

一b

.?.與辦共線的單位向量為C=±M=±

「5'

?.[[=4且￡//1,Ja=卜卜二（2,-20）或12,2月,

（2）?.響=4,忖=2,￡與各的夾角為120。,

:.ab=acos120°=-4,

???￡-坂在向量￡上的投影為:

答案第11頁，共30頁

19.北偏西45。方向

【解析】

【分析】

先求出AB=20(右+1),DC=2O0,BC=(G+l)xlO應(yīng)，再求得NDAC=90。，

NADC=45。.再利用余弦定理求出cos/BAC=上+族_BC2=立,即得/BAC=30。.

2ACAB2

再求出臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向.

【詳解】

如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B,開始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C,基地剛好不受影響時(shí)

臺(tái)風(fēng)中心為D,則B,C,D在一條直線上，且AD=20,AC=20.

由題意知AB=20(括+1),DC=2O0,BC=(V3+1)x1072.

在△ADC中，因?yàn)镈C2=AD?+AC2,所以NDAC=90。，ZADC=45°.

在^ABC中，由余弦定理得COS/BAC=4￡士竺二心￡1=正.所以/BAC=30。.

2ACAB2

又因?yàn)锽位于A南偏東60。方向，60。+30。+90。=180。，所以D位于A的正北方向.

又因?yàn)镹ADC=45。，所以臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)橄蛄慷姆较颍幢逼?5。方向.

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查解三角形的應(yīng)用，考查余弦定理在解三角形的運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這

些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本題時(shí)要注意因?yàn)锽位于A南偏東60。方向，

60。+30。+90。=180。，所以D位于A的正北方向.

20.(1)3；(2)^

3

【解析】

【分析】

答案第12頁，共30頁

(1)根據(jù)題中的條件，結(jié)合余弦定理，可求得cosB=；,設(shè)8C=a,AC=3加由余弦定理

可得：9/=。2+4_不，應(yīng)用余弦定理，寫出cos/AO&cos/BDC的值，根據(jù)兩角互補(bǔ)，

得到cosNAZ)8+cosN83C=0,得到"，所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果；

(2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的平方關(guān)系求得sinB=2叵，根據(jù)余弦定理以及重要不等

3

式得到收43,利用三角形面積公式求得結(jié)果.

【詳解】

/x??/222a~4-c2—b~1

(IT).b~=a+c——ac=>cosB=---------=-

3lac3

4

在小皮；中，設(shè)8C=a,AC=3相由余弦定理可得：9療=/+4一§。①

在△A3D和△Q3C中，由余弦定理可得:

A2162

4.加2+---4tn~+---a~

cos/AOB=-----金---,cosZB￡)C-3

16V3/nn

33

又因?yàn)閏osZADB+cos/BDC=0,

216.2162

4Am~+---4nr+----a~

，16點(diǎn)+8看=0得3〃-②‘‘

33

由①@得〃=3,〃7=1,BC=3.

(2)cosB=^,BG(0,^)/.sinB=\Z1-COS2B=~，

2224

由/"+c2——="+。2——ac>2ac——ac=—ac,

3333

：.ac<3(當(dāng)且僅當(dāng)〃=c取等號(hào)).

由AD=2DC,可得S"。。=-SMJBC=-X-acsinB<-x—x^^x3=^-,

ABDC3we323233

△￡>BC的面積最大值為也.

3

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，在解題的過程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有余弦定理，正弦

定理，同角三角函數(shù)平方關(guān)系，基本不等式求最值，三角形面積公式，誘導(dǎo)公式等，正確

使用公式是解題的關(guān)鍵.

21.(I)見解析；(H)見解析；(HD見解析.

答案第13頁，共30頁

【解析】

【分析】

（1）欲證PE_LBC,只需證明PE_LAD即可；

（2）先證叨_L平面EW,再證平面尸平面PC。；

（3）取PC中點(diǎn)G,連接FG,OG,證明EF〃/）G,則EF〃平面PCD

【詳解】

（I）=P。，且E為A。的中點(diǎn)，，PE_LA￡）.

?底面ABC。為矩形，8C7/AQ,...PELBC；

（II）?.?底面A8CZ）為矩形，43,45.

平面R1D1,平面A8CD,平面尸AQA平面ASCD=AD，ABI平面ABCD,

二AB_L平面尸A￡>,又尸￡><=平面PA。，AABYPD.

又以_LP￡>,PAC\AB=A,PA,AB\平面平面RW,

■:PDu平面PCD,：.平面P4B_1_平面PCD；

（III）如圖，取PC中點(diǎn)G,連接FG,GE>.

?.?￡6分別為必和/>。的中點(diǎn)，；.尸6〃3。，且FG=g8C.

,/四邊形ABCD為矩形，且E為AO的中點(diǎn)，,ED//BC,DE=-BC,

2

ED//FG,且a=EG,.?.四邊形EFGO為平行四邊形，

/.EFHGD,又EFu平面PCD,G￡>u平面PC。，EF〃平面PCD

【點(diǎn)睛】

證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系，證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平行

的方法：（1）線面平行的性質(zhì)定理；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法.證明線線

垂直的常用方法：（1）等腰三角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的性質(zhì)

定理；（4）菱形對(duì)角線互相垂直.

答案第14頁，共30頁

22.（1）60°；（2）昱.

3

【解析】

【分析】

（1）解法一：

如圖，作SP〃￡）C,且SP=￡>C則CDSP為正方形，連接PC,取PC中點(diǎn)N,連接MN,BN,易得

4BMN即為所求角，利用線面垂直的判定與性質(zhì)證得MN_LBN,進(jìn)而得解；

解法二：以力為原點(diǎn)，小,。。,。5所在的射線為乂弘2軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.利

用空間向量運(yùn)算求解；

（2）先利用空間向量的垂直的條件列方程組求得二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，

然后利用向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式求得法向量的夾角余弦值，進(jìn)而利用平方關(guān)系求得正弦

值.

【詳解】

（1）解法一：

如圖，作SP〃QC,且SP=Z）C則CDSP為正方形，連接PC,取PC中點(diǎn)N,連接則

MN//CD,MN=1,BN=百,DC±BC,DC值PC,：.DCL平面BCN,：.MNLBN,：.ZBMN=60°,

即異面直線CD與BM所成角的大小為60°；

解法二：以力為原點(diǎn)，DAQCDS所在的射線為x,y,z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

則A（0,O,O）,3（&,2,O）,C（O,2,O）,S（O,O,2）,M（O,1,1）,

DC=（0,2,0）,W=（-A/2,-1,1）,AB=（0,2,0）,AS=（-V2,0,2）,SC=（0,2,-2）,

答案第15頁，共30頁

CO"）=HT=!

，異面直線CD與BM所成角的大小為60°；

(2)設(shè)平面S4M的法向量為玩=(x,y,z),

—>f2x+2z=0*,0

fn-AS=0四2—z=?；?jiǎn)得:x=V2z

由，而反=0,得

y=z

令z=l,得比=(血」,1)；

設(shè)平面AMB的法向量為五=(x',y',z),

n-AB=0，且2y=0Z'=y/2x,

由■n-BM=0'^'廠，化簡(jiǎn)得

-W-y”=0y'=0

令7=1,得萬=（1,0,血）;

cos仲㈤=十夜=避,

'/02xV°313

二二面角S-AM-B的正弦值為

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，二面角問題，求異面直線所成的角，既可以用幾何方法求

解，也可以用坐標(biāo)方法求解，求二面角的平面角問題，簡(jiǎn)單的情況可以直接利用幾何方法

求解，類似此題中的二面角，則利用幾何方法求解就比較麻煩了，建議使用空間坐標(biāo)系求

答案第16頁，共30頁

解，只需進(jìn)行簡(jiǎn)單的單運(yùn)算，大大降低了難度，而空間向量的運(yùn)算與平面向量幾乎沒有區(qū)

別，易于掌握.

23.(1)—；(2)5.

5

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)正弦定理可以得到羋7=.”,根據(jù)題設(shè)條件，求得sinNAOB=立，結(jié)

sinZAsinZADB5

合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得cosNAD3=1=W；

(2)根據(jù)題設(shè)條件以及第一問的結(jié)論可以求得cosN8DC=sinNAD8=也，之后在ABCQ

5

中，川余弦定理得到5C所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

【詳解】

⑴在射中’由正弦定理得名AB

sinZADB

52,所以sin/AO8="

由題設(shè)知,

sin45°sinZADB5

由題設(shè)知，ZADB<90°,所以cosNADB=

(2)由題設(shè)及(1)知，cosZBDC=sinZADB=—

5

在ABCD中，由