甘肅省張掖市甘州區(qū)甘州中學2023-2024學年九年級上學期12月月考數(shù)學試題

數(shù)學一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）1.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)俯視圖畫法進行判斷．【詳解】解：從上面看到的視圖為：故答案為：D．【點睛】本題考查了幾何體的俯視圖，解題的關鍵是注意看不見的線要畫成虛線．2.矩形、菱形、正方形都一定具有的性質是（）A.對角線垂直 B.對角線互相平分C.四個角都是直角 D.對角線相等【答案】B【解析】【詳解】解：對角線垂直，是菱形和正方形才有的性質，故A錯誤；對角線互相平分是矩形、菱形、正方形都有的性質，故B正確；四個角都是直角，是矩形和正方形才有的性質，故C錯誤；對角線相等，是矩形和正方形才有的性質，故D錯誤；故答案為：B．【點睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質，掌握矩形、菱形、正方形的性質是解題的關鍵．3.如圖，與是位似圖形，位似中心為，，，則的面積為（）更多課件教案等低價滋源(一定遠低于各大平臺價格)請家威杏MXSJ663A.12 B.16 C.21 D.49【答案】D【解析】【分析】直接利用位似圖形的性質得出位似比，進而得出面積比，即可得出答案．【詳解】解：∵ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為O，OA：AD=3：4，

∴OA：OD=3：7，

∴S△ABC：S△DEF=9：49，

∵S△ABC=9，

∴△DEF的面積為：49．

故選：D．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出三角形面積比是解題關鍵．4.已知，且是銳角，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟知30度角的余弦值為是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∵是銳角，∴，故選D．5.在一個不透明的口袋中，裝有4個紅球和若干個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球、記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球試驗發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率是，則估計盒子中大約有黃球（）A.14個 B.16個 C.18個 D.20個【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量，用頻率估計概率，根據(jù)大量反復試驗下頻率的穩(wěn)定值即為概率值得到摸到紅球的概率是，據(jù)此利用概率計算公式建立方程求解即可．【詳解】解：設估計盒子中大約有黃球x個，∵通過大量重復摸球試驗發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率是，∴摸到紅球的概率是，∴，解得，∴估計盒子中大約有黃球16個，故選B．6.已知關于x的方程的一個根是1，則m的值是（）A1 B.0 C. D.2【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值把代入原方程求出m的值即可．【詳解】解：∵關于x的方程的一個根是1，∴，∴，故選D．7.三角形在正方形網格紙中的位置如圖所示，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖形找到對邊和斜邊即可解題.【詳解】解：由網格紙可知,故選A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的實際應用,屬于簡單題,熟悉三角函數(shù)的概念是解題關鍵.8.如圖，A為反比例函數(shù)圖象上一點，AB垂直于軸B點，若S△AOB＝3，則的值為（）A.6 B.3 C. D.不能確定【答案】A【解析】【分析】過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=|k|．【詳解】由于點A是反比例函數(shù)圖象上一點，則S△AOB=|k|=3；

又由于函數(shù)圖象位于一、三象限，則k=6．

故選A．9.如圖所示，菱形的周長為，，垂足為E，，則下列結論正確的個數(shù)有（）①，②，③菱形的面積為，④．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形性質可得，結合即可求出、即可判斷①②③，再根據(jù)勾股定理即可判斷④．【詳解】解：由題意可得，∵菱形的周長為，∴，∵，∴，故①正確；∴，∴，故②正確∴菱形的面積為③正確；∴故④錯誤，故選C．【點睛】本題考查菱形性質，解三角形正玄的應用及勾股定理，解題的關鍵是先根據(jù)菱形性質求出邊長，再根據(jù)三角函數(shù)求出相應邊，最后根據(jù)勾股定理計算．10.已知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象可能（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象確定b的符號，結合已知條件求得a的符號，由a,b的符號確定一次函數(shù)圖象所經過的象限．【詳解】解：若反比例函數(shù)經過第一、三象限，則．所以．則一次函數(shù)的圖象應該經過第一、二、三象限；若反比例函數(shù)經過第二、四象限，則a<0．所以b>0．則一次函數(shù)的圖象應該經過第二、三、四象限．故選項A正確；故選A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質和一次函數(shù)函數(shù)的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題．二、填空題（共8題，每題4分，共32分）11.已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為________．【答案】4【解析】【分析】本題主要考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義得到，據(jù)此代值計算即可．【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴，∵，，，∴，故答案為：4．12.已知關于x的一元二次方程的兩根為，則________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則，據(jù)此求出，再代值計算即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的兩根為，∴，∴，故答案為：．13.已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系是______．【答案】（或）【解析】【分析】將點，，代入可得，以此比較，，的大小關系即可．【詳解】將點，，代入可得∴∴（或）故答案為：（或）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的問題，掌握代入法和實數(shù)大小的比較方法是解題的關鍵．14.一個小球由地面沿著坡度為的坡面向上前進，則此時小球距離地面的高度為________【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形實際應用，勾股定理，過點B作，根據(jù)，則設，，由勾股定理得，，即，進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，斜坡的坡度為，，過點B作，在，，∴設，，由勾股定理得，，∴，解得（負值舍去），∴，即此時小球距離地面的高度為，故答案為：．15.關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】由關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，即可得判別式，繼而可求得a的范圍．【詳解】∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，∵方程是一元二次方程，∴，∴a的范圍是：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義，解題的關鍵是要考慮兩方面：一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義．16.已知點P是線段AB的黃金分割點，AP＞PB．若AB＝10．則AP＝__（結果保留根號）．【答案】5﹣5【解析】【分析】根據(jù)黃金分割比的定義計算即可．【詳解】根據(jù)黃金分割比，有故答案為：．【點睛】本題主要考查黃金分割比，掌握黃金分割比的定義是解題的關鍵．17.已知反比例函數(shù)的圖象具有下列特征：在所在象限內，y的值隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質，對于反比例函數(shù)，當時，反比例函數(shù)圖象經過第一、三象限，在每個象限內y隨x增大而減小，當時，反比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，在每個象限內y隨x增大而增大，據(jù)此求解即可．【詳解】解；∵反比例函數(shù)的圖象在所在象限內，y的值隨x的增大而增大，∴，∴，故答案為：．18.若對于任意正整數(shù)x均滿足y＝1．則當x分別取2，3，…，2021時，所對應y值的乘積是_____．【答案】【解析】【分析】分別將x=2，3，…，2021代入，利用平方差公式因式分解得：【詳解】當x＝2時，y＝1（1）（1），當x＝3時，y＝1（1）（1），當x＝4時，y＝1（1）（1），當x＝2021時，y＝1（1）（1），∴．故答案為：．【點睛】本題考查了代入求值和平方差公式的運用，數(shù)字類規(guī)律問題，正確代入并利用平方差公式得到規(guī)律是本題的關鍵．三、解答題（共10小題，共88分）19.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函數(shù)值的混合計算，熟知相關計算方法是解題的關鍵．（1）先把方程右邊的式子移到左邊，再利用提公因式法把方程左邊分解因式，再解方程即可；（2）先計算出特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)二次根式的加減計算法則求解即可．【小問1詳解】解；∵，∴，∴，∴或，解得；【小問2詳解】解：．20.已知：如圖，和是直立在地面上的兩根立柱，，某一時刻，AB在陽光下的投影．（1）請你在圖中畫出此時在陽光下的投影；（2）在測量的投影長時，同時測出在陽光下的投影長為，請你計算的長【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知連接，過點作，即可得出就是的投影；（2）利用三角形得出比例式，求出即可．【小問1詳解】解：作法：連接，過點作，交直線于，如圖所示，線段就是的投影．【小問2詳解】解：太陽光線是平行的，∴．．又，．，，，，，．【點睛】此題主要考查了平行投影的畫法以及相似三角形的應用，根據(jù)已知得出是解題關鍵．要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．21.2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛．隨著北京冬奧會開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)統(tǒng)計，該店2021年10月的銷量為2萬件，2021年12月的銷量為2.42萬件．（1）求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；（2）假設該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率保持不變，求2022年1月“冰墩墩”的銷量．【答案】（1）10%（2）2.662萬件【解析】【分析】（1）設該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為，利用2021年12月的銷量年10月的銷量月平均增長率），列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）利用2022年1月的銷量年12月的銷量月平均增長率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的銷量．【小問1詳解】解：設該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為，依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為．【小問2詳解】解：（萬件）．答：2022年1月“冰墩墩”的銷量為2.662萬件．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，列式計算．22.（ElectronicTollCollection）不停車收費系統(tǒng)是目前世界上最先進路橋收費方式．安裝有的車輛通過路橋收費站無需停車就能交納費用．某高速路口收費站有A，B，C，D四個通道，車輛可任意選擇一個通道通過，且通過每個通道的可能性相同，一天，小李和小趙分別駕駛安裝有的汽車經過此收費站，（1）小李通過A通道的概率為__________；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出兩人通過此收費站的所有可能結果，并求出小李和小趙經過相同通道的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)概率公式即可得到結論；（2）畫出樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中小李和小趙經過相同通道的結果有4種，再由概率公式即可求解．【小問1詳解】解：小李通過A通道的概率為，故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如圖：由樹狀圖可知：共有16種等可能結果，其中小李和小趙經過相同通道的結果有4種，（小李和小趙經過相同通道）．【點睛】本題考查了列表法和樹狀圖法，概率公式，正確的畫出數(shù)狀圖是解題的關鍵．23.如圖，矩形的對角線、相交于點，點、在上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，則的長為______．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定即可求出答案；（2）根據(jù)矩形的性質以及含30度角的直角三角形的性質即可求出答案．【小問1詳解】證明：在矩形中，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．【小問2詳解】解：由（1）可知：，∵，∴，∵，∴∴在中，．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定，含30度角的直角三角形性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練運用矩形的性質以及平行四邊形的判定．24.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）4.9【解析】【分析】（1）由正方形的性質得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結論；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中點，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE－AD=4.9．【點睛】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．25.某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【答案】13.6米【解析】【分析】如圖，連接EF，交BD于點M，用DM的長度分別表示EM和FM的長度，再根據(jù)EM和FM的和等于AC的長度，求出DM的長，在用DM和BM的和求出BD的長度即可．【詳解】解：連接EF，交BD于點M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM，設DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，tan37°＝，即≈0.75，解得x＝12，經檢驗，x＝12是原方程的根，即DM＝12米，∴DB＝12+1.6＝13.6（米），答：樹BD的高度為13.6米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用—仰角和俯角問題．準確的構造出直角三角形是解題的關鍵，在解題的過程中可以巧用公共邊列方程進行計算．26.如圖，已知反比例函數(shù)y1＝與一次函數(shù)y2＝k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）求△AOB的面積；（3）若y1＜y2，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1），y2＝2x+6，過程見解析；（2）15，過程見解析；（3）﹣4＜x＜0或x＞1，過程見解析．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得結論；（2）設直線AB與x軸交于點D，與y軸交于點C，利用直線AB解析式求得點C，D的坐標，用△AOC，△OCD和△OBD的面積之和表示△AOB的面積即可；（3）利用圖象即可確定出x的取值范圍．【小問1詳解】解：點A（1，8）在反比例函數(shù)上，∴k1＝1×8＝8．∴．∵點B（﹣4，m）在反比例函數(shù)上，∴﹣4m＝8．∴m＝﹣2．∴B（﹣4，﹣2）．∵點A（1，8）、B（﹣4，﹣2）在一次函數(shù)y2＝k2x+b的圖象上，∴，解得：．∴y2＝2x+6．【小問2詳解】解：設直線AB與y軸交于點C，如圖，由直線AB:y2＝2x+6，令x＝0，則y＝6，∴C（0，6）．∴OC＝6．過點A作AF⊥y軸于點F，過點B作BE⊥y軸于點E，∵A（1，8），B（﹣4，﹣2），∴AF＝1，BE＝4．∴=15答：△AOB的面積是15．【小問3詳解】解：由圖象可知，點A右側的部分和點B與點C之間的部分y1＜y2，∴若y1＜y2，x的取值范圍為：﹣4＜x＜0或x＞1．【點睛】本題是一道反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題，主要考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長和利用數(shù)形結合的思想方法求得x的取值范圍是解題的關鍵．27.如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．（1）求證：△BCP≌△DCP；（2）猜想線段DP與PE位置關系，并證明你的結論；（3）把正方形ABCD改為菱形ABCD，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=60°，求∠DPE度數(shù)．（直接寫出答案即可）【答案】（1）見解析（2）DP⊥PE，證明見解析（3）∠DPE=60°【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，即可求證；（2）由△BCP≌△DCP，可得∠CBP=∠CDP，再由PE=PB，可得∠CDP=∠E，然后根據(jù)三角形內角和定理，即可求解；（3）設PE交CD于點F，先證明△BCP≌△DCP，可得∠CBP=∠CDP，再由PE=PB，可得∠CDP=∠E，然后根據(jù)三角形內角和定理，即可求解．【小問1詳解】證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；【小問2詳解】證明：DP⊥PE，理由如下∶由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E，∵∠1=∠2，∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC=90°，∴∠DPE=∠ABC=90°，∴DP⊥PE；【小問3詳解】解：如圖，設PE交CD于點F，在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC=60°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E，∵∠PFD=∠CFE，∴∠DPE=∠DCE=60°，【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，菱形的性質，熟練掌握正方形的性質，全等三