【中學最值問題常用解題方法分析7900字（論文）】

中學最值問題常用解題方法研究摘要在中學階段的數(shù)學教學中，最值問題占有重要的地位，而最值問題涉及范圍廣，這導致最值問題內(nèi)容分散，解法多變，要解決最值問題要具有較強的綜合能力，這給中學教學帶來了很大的挑戰(zhàn)，許多中學生對最值問題認識不夠全面，導致在解決最值問題時不能靈活地運用解題方法解決最值問題造成嚴重失分，因此，系統(tǒng)地研究最值問題的解法，總結(jié)出各類最值問題對應的解法，為學生解決此類問題提供幫助，同時本文也從教師以解決-問題為例設(shè)計了相關(guān)教案，給一線老師作為教學參考。本文的主要內(nèi)容大致可分為三個部分，第一，通過查閱和分析相關(guān)文獻資料梳理了研究背景以及研究意義；第二，筆者根據(jù)自身的學習研究確定了最值問題的主要類型和相應解法，并通過具體例題給出詳細的解題方法；第三提出教學設(shè)計策略。關(guān)鍵詞：最值問題；中學數(shù)學；解題方法；教學設(shè)計目錄TOC\o"1-3"\h\u231791緒論 1222641.1研究的背景 132191.2研究意義和價值 1154361.2.1研究意義 120401.2.2研究價值 1284482中學最值問題的常見解題方法 228382.1中學教學中的最值問題 2294642.2常見解題方法 2140332.2.1定義法 2107742.2.2配方法 3163652.2.3判別式法 5283242.2.4換元法 651752.2.5數(shù)形結(jié)合法 8181853.2.6導數(shù)法 10230063中學階段最值相關(guān)的教學策略 1376033.1概念課 1388753.1.1以生為本，注重概念構(gòu)建過程 1346193.1.2概念課教學案例 13148513.2習題課 14197123.2.1針對重點，注重思維 14275983.2.2習題課教學案例 15242603.3復習課 16214313.3.1系統(tǒng)整理，設(shè)疑激趣 1660293.3.2復習課教學案例 16326184結(jié)論 187011參考文獻 191緒論1.1研究的背景最值問題在整個中學階段的學習中出現(xiàn)的頻率較高，這部分內(nèi)容對中學階段數(shù)學的學習具有重要意義，在《2017年版普通稿中數(shù)學課程標準》明確指出，要求學生理解函數(shù)圖象的意義和變化情況，并且會用圖像和符號語言來描繪函數(shù)的最值，準確理解最值的具體含義，并要求會求解初等函數(shù)的最值。結(jié)合實際的例子，能運用中學階段所學的其他數(shù)學知識如基本不等式、函數(shù)、線性規(guī)劃等知識來求解最值問題。且最值問題在中學階段重要考試中出現(xiàn)頻率較高，因此，我們可以知道最值問題對于中學階段的數(shù)學教學來說很重要。另外最值問題有較強的時用性，除了在數(shù)學中，最值問題還經(jīng)常應用于物理、化學等一些自然學科中。1.2研究意義和價值1.2.1研究意義最值問題考察到的知識范圍廣且分散杜較高，解一道最值問題，常常會用多方面的數(shù)學知識，而且對學生思維能力的要求很高；題型多變，最值問題出現(xiàn)的形式多種多樣，可能出現(xiàn)在基礎(chǔ)題當中，中檔題和綜合性的題中也很常見，甚至是以難題的形式。要求學生要熟悉各種數(shù)學思想，和數(shù)學中各部分的知識，除此之外還要培養(yǎng)自己的數(shù)學綜合能力。很多時候?qū)W生在面對此類問題時往往不能找到正確切入口，從而導致面對最值問題時大量失分，對于老師而言因為涉及知識面較廣，很難系統(tǒng)地給學生講解清楚各種類型的解法，遇到此類問題時老師備課上課較為困難。對于本論文筆者對常見的最值問題做了系統(tǒng)地分類并總結(jié)了相應的解法，期望給教師提供教學參考，給學生解決相關(guān)問題時提供解題方法。1.2.2研究價值對教師而言，教師可以參考本論文的一些解題方法，解題思路以及一些例題，在課堂上給學生歸納總結(jié)出最值問題的解法和思考的切入點；對學生而言，學生根據(jù)本文的一些解題的技巧，思考方向等增強自己的解題能力，鍛煉自己的數(shù)學思維能力,培養(yǎng)自己面對較難的問題時探究問題和解決問題的能力，并為以后進入大學，學習新的數(shù)學知識做好交充分的準備，從這些方面不難看出本文的研究很有必要。2中學最值問題的常見解題方法2.1中學教學中的最值問題經(jīng)過本人對中學數(shù)學課程標準研究發(fā)現(xiàn)，在中學教學中出現(xiàn)的最值問題的主要類型是所謂的：1.（單元）函數(shù)的最值計算問題，如：二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等的最值計算問題；2.多元函數(shù)的最值計算問題；3.數(shù)列中的最值問題；4.立體幾何中的最值問題；5.解析幾何中的最值問題；6最值問題與不等式；7.其他各種類型的最值問題,，這些最值問題都是和各個不同的數(shù)學知識接合起來考察的，并且有些題甚至把本來不相關(guān)地兩部分知識點結(jié)合起來。2.2常見解題方法2.2.1定義法在函數(shù)的基本性質(zhì)中根據(jù)函數(shù)的圖像和函數(shù)的單調(diào)性得出最值得定義為“設(shè)函數(shù)的定義域為,若滿足:（1）對于都有；（2）使得，則稱實數(shù)是函數(shù)的最大值(maximumvalue)同樣地，設(shè)函數(shù)的定義域為,若滿足:（1）對于都有；（2）使得，則稱實數(shù)是函數(shù)的最小值(minimumvalue)”。雖然最值得定義看起來很不起眼，但是內(nèi)涵豐富，可千萬不容小瞧，很多看起來很復雜的的題，從基本定義出發(fā)往往有意想不到的效果。此類方法一般用于解決函數(shù)問題中出現(xiàn)的最值問題。例1求函數(shù)的最小值。分析：為上的分段函數(shù)，故可以寫出此函數(shù)對應的解析式，然后可以得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出此函數(shù)最小值；但是根據(jù)對這道題的觀察，充分利用其獨有的特點，這道題可以直接利用最小值的定義來求解，解題過程更為簡潔。解：由絕對值不等式得：，又因為，結(jié)合最小值的定義知.例2設(shè)為定義在，和求證：.分析：對于奇函數(shù)，我們一直把其圖像關(guān)于原點對稱的這個特點掛在嘴邊，所以這道題要我們論證的問題時顯然成立的，但是現(xiàn)在真的要求我們寫出具體的論證過程，好像有點無從下手，這時候我們應該學會“返璞歸真”，利用最原始的定義來解決這道題。證明：因在上的最大值為，故有：都有且使得,則可得必為在上的最小值，因為有這兩條成立則有：，有,則,所以;由知使得,于是.例3已知,關(guān)于的方程有一個實根求的最小值。分析：分析：這道例題是2012年湖南高中數(shù)學聯(lián)賽第12題，當時這道題給的參考答案過程很復雜，在程漢波的《“變換主元，柳暗花明”一一簡解一道競賽題引發(fā)的思考》中用變換主元和數(shù)形結(jié)合的方法給出了一個更為簡潔直觀的解答。解：設(shè)為方程的實根，則有,變形得：則，經(jīng)檢驗可取得等號，故的最小值為8.評注：用定義法求最值時首先要掌握最值的定義和含義，在遇到復雜的問題時要學會靈活運用。2.2.2配方法配方法來源于二次函數(shù)，是用來解決二次函數(shù)問題的常見方法，配方法的意思就是把非完全平方二次函數(shù)配成完全平方的形式所以解題時先觀察題型，如果遇到二次函數(shù)或能夠轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型，解題時可以優(yōu)先考慮利用配方法來求解。在解題的過程當中還需特別注意函數(shù)的定義域。例4設(shè)為實數(shù)，求函數(shù)得最小值。分析：根據(jù)給出的函數(shù)解析式一發(fā)現(xiàn)，可以將方程的解析式化為完全平方相加的形式。解：由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當，取得最小值-6.例5設(shè)且求為何值時，取得最大值和最小值，并求出其最大值和最小值。分析：由已知得，代入可得到一個關(guān)于的二次函數(shù)，然后可以用配方法，求出其的最大值和最小值，此題得解。解：由已知得代入得：因為且,則,當時，取得最大值為;當時，取得最小值為1,綜上，.例6求函數(shù)的最值。分析：觀察函數(shù)如果不做變形直接接不能得出最大最小值，再觀察其中有一個可以考慮將其降角升冪，將函數(shù)表達式中含有的兩種類型的三角函數(shù)化為同一種，再將其通過配方的方法得出最值。解：可知，取即當時，；取時.評注：解最值問題時若是想用配方法來解題，必須把最值問題中出現(xiàn)的函數(shù)解析式化為二次函數(shù)，之后再觀察此二次函數(shù)的解析式對應的圖像的特點，再結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)來運用配方的方法求解，求解時要確定函數(shù)的定義域。2.2.3判別式法在解決最值問題時常要求我們求解分式最值問題，還有一類比較不常見的無理函數(shù)最值問題，這兩種往往采用判別式法，如遇到通過已知條件可以將函數(shù)變?yōu)橐粋€關(guān)于某個變量的二次方程的話，要想最后解決問題我們還需再結(jié)合一元二次方程的判別式。例7已知函數(shù)，求其最值。分析：從整體看，其是自變量為的函數(shù)，通過整理得即，由于可以用“”求的取值，從而此題可得解。解：由整理可得,因為，當時無解，所以，必須使得,由此可得：;又因為,所以的最小值等于.例8設(shè)，且滿足，求的最小值。解：令，則，轉(zhuǎn)化為的最小值問題，將代入題設(shè)條件，化簡整理得到關(guān)于的一元二次方程,該方程有解，則,解得當且僅當時取得，故的最小值為.例9如果實數(shù)滿足等式，求的最大值。解：設(shè)，則，代入，整理得：,該方程有解，則,得，當且僅當時等號成立，故的最大值為.評注：一般對于能夠?qū)⒁阎獥l件得到的解析式化為一元二次函數(shù)的題型，比較適合用判別式法，當將其他變量代換時要注意變量的變化及其取值范圍。2.2.4換元法換元法就是把遇到的數(shù)學問題中的一個式子不看式子里的拆分結(jié)構(gòu)只當做是一個整體，應用換元法就引入了新的變量，應注意由原來的式子變?yōu)楹行伦兞康氖阶舆@個過程當中新變量取值范圍的變化，引入新的變量后可以揭示整個式子的所隱含的數(shù)量關(guān)系，或者將本來看起來沒有聯(lián)系的變量之間聯(lián)系起來，可以達到化繁為簡的效果。例10設(shè)的最大值和最小值。解：設(shè)，,,則,則，當時，取得最小值：;當時，，取得最大值：,當時，，取得最大值：,因此，,.在這里我們需要注意，設(shè)后，需注意注意參數(shù)的范圍。例11設(shè)是非負實數(shù)，且，求證.證明：待證不等式關(guān)于是對稱的，故不妨設(shè)，結(jié)合即得，下面做增量代換,,則,,當且僅當時等號成立，證畢。例12設(shè)，且求的最大值。解：因，故可設(shè)，其中，由得即，,故,當且僅當時，p取得最大值.評注：在最值問題中關(guān)于換元法的題型是多種多樣的，當然換元的形式也就是多變的，還有可能出現(xiàn)在解決一些問題時我們不僅僅只用到一次換元法，可能一道題就要對它采取多次不同方式的換元，但是無論變換的形式怎么多樣或是要進行多少次變換，都要記住每一次變換都要注意引入的新的取值范圍。2.2.5數(shù)形結(jié)合法對于很多最值問題，如果按照一般的方法來解決，解題過程往往會比較繁瑣，而且對于一些最值問題常規(guī)方法根本沒辦法求解，但如果我們能夠利用幾何的方法來求解這些問題，把原題中的數(shù)量關(guān)系對應到幾何圖形中，用滿足這些數(shù)量關(guān)系的幾何圖形的特性來求解問題，對于這類最值問題利用此方法求解往往能夠事半功倍地解決問題，這種方法就是我們所說的“數(shù)形結(jié)合法”，數(shù)形結(jié)合法就是把一些用一般代數(shù)方法求解比較困難代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解，對于解決部分最值問題這種方法很簡潔直觀。例13用表示三個數(shù)中的最小值，設(shè)，求的最大值。解：如圖1，建立坐標系，在同一個直角坐標系畫出的圖象．由已知可得，所求的函數(shù)圖像是這三個函數(shù)的圖像比較處于最下面的部分，由所畫圖像可得圖象的最大值點是函數(shù)的交點，故的.例14已知數(shù)列的通項公式為，若對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍。解：根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列和函數(shù)性質(zhì)的比較，數(shù)列是一個一個孤立的點集而函數(shù)是連續(xù)的點集，求數(shù)列問題，我們可以先化為函數(shù)問題．，表明點在函數(shù)的圖象上，由題意知為數(shù)列中的最小項，作出函數(shù)的圖象（如圖2），觀察可知，即實數(shù)的取值范圍為.例15求函數(shù)的最大值與最小值。解：可以把這道題理解為在直角坐標系上一個特殊的單位圓上的點，其中一個在單位圓上點的直角坐標是，其中一個在圓上點與一個固定點之間的連接有一個斜率這個斜率就是，設(shè)過定點的直線與相切，切點為和．顯然，當直線與單位圓相切時，斜率的最值就是的最值。由相切的條件列方程得，即,解得；或故，函數(shù)的最大值為最小值為評注：觀察一道題能不能用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，關(guān)鍵是看需要解決的問題中的數(shù)量關(guān)系是不是符合一些幾何的特性，因此找到問題中所含的幾何意義是解決此類問題的關(guān)鍵所在，從上面的例子很容易看出，相對簡單的公式往往具有類似于眾所周知的公式、幾何量、曲線方程等的結(jié)構(gòu)。在這一點上，我們不僅要靈活運用我們的幾何知識，而且還要靈活運用我們的空間想象力，將問題中利用到的一部分幾何意義，與其整體或其余部分聯(lián)系起來。雖然在最值問題中只有很小部分可以利用此方法求解，但是這種方法的特點是不但過程中的每一步都易于理解，而且有助于培養(yǎng)幾何中直觀思考問題的習慣。3.2.6導數(shù)法利用導數(shù)法求最值，首先要把問題變?yōu)橛嘘P(guān)函數(shù)的問題，然后對所得的函數(shù)求導，得到函數(shù)的單調(diào)性，求最值變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值，于是原最值問題得解。例16求函數(shù)在區(qū)間上的最值。解：，，由導函數(shù)的正負情況易知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故有最大值又，故的最小值為.例17求數(shù)列的最大項。解：設(shè)，則，已知在上單調(diào)遞增，在上遞減，故有最大值，即數(shù)列的最大項為第100項，其值為.例18中，，，己知和分別是和的中點，分別為線段和上的動點，若,求線段的長度的取值范圍。解：如圖3，根據(jù)已知條件建立直角坐標系，則設(shè)，，有，,由得，,所以,,易求,即的取值范圍為.評注：導數(shù)法還經(jīng)常用于數(shù)列求最值，其解題過程和一般函數(shù)的最值問題解題過程類似，但是需要注意的是在數(shù)列中所有的項數(shù)都為正整數(shù)在做題時需要注意，對項數(shù)求整。三角函數(shù)問題也經(jīng)常會用導數(shù)法求解。

3中學階段最值相關(guān)的教學策略3.1概念課我們應該如何評價以為數(shù)學老師的能力，看的也就是他到底能否在數(shù)學的課堂上有效地幫助我們的學生真正理解這些數(shù)學概念，數(shù)學的概念雖然看似簡單,但是想要能夠讓我們的學生真正認識和了解這些數(shù)學的概念是很難的；章建躍博士強調(diào)：在這類的數(shù)學游戲中所要玩的也就是一種數(shù)學概念。在數(shù)學當中概念是所有的基礎(chǔ),是數(shù)學游戲的規(guī)則,只有知道規(guī)則才能玩好數(shù)學游戲。3.1.1以生為本，注重概念構(gòu)建過程教師在進行教學前首先要足夠了解學生，因為，在不同班級里的學生，在生理和心理發(fā)展方面都不一樣，所以，我們應該要真正做到以每位學生作為參與者的主體，注重每位學生的特征和個體差別，再合理安排教學，要保證做到自己的教學方式和教學進度能讓大部分學生所接受。教師在準備概念課時，教師首先要清楚應多注重學生對本節(jié)課概念的形成過程，在概念課的教學設(shè)計中，除此之外教師不能只是一味地給學生灌輸新的概念，比這個更重要的是要讓學生建立新概念和舊概念之間的聯(lián)系，講解時也要相互比較兩者之間有什么不同，吃透這個概念3.1.2概念課教學案例例如在講解《函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)》這節(jié)內(nèi)容的概念時，教學過程可以采用如下設(shè)計：第一步：先創(chuàng)設(shè)情境復習函數(shù)極值的定義和函數(shù)極值的求解方法。第二步：讓學生觀察圖4并總結(jié)函數(shù)極值的概念和求法。這樣讓學生對極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值屬于函數(shù)性質(zhì)中的的整體性質(zhì)，這是兩個不同的概念。它們之間既有區(qū)別也有聯(lián)系。第三步：讓學生觀察圖5圖6兩個圖像，觀察它們是否都有最值。使學生對極值的局部性和最值的整體性有所了解，并且能夠明白這是兩個不同的概念，對最值有更進一步的認識。引導學生主動思考，從而更加深刻地認識最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系，突破本節(jié)難點，強化重點。第四步：讓學生總結(jié)函數(shù)最值的定義和求法。3.2習題課3.2.1針對重點，注重思維在上習題課前首先要了解課程的關(guān)鍵性難點和學生的薄弱處，要有針對性地設(shè)計習題，使設(shè)計出來的題不僅要能夠符合大部分同學的情況，而且要讓學生能夠通過完成習題掌握課程的重點和難點，避免題海戰(zhàn)術(shù)。針對相似類型的習題，教師講解時應有所選擇地講解，對各類題型解題所用的知識和解題方法做系統(tǒng)的講解，縱向角度的題型應按章節(jié)順序講解，橫向角度的題型不應按章節(jié)展開一道道講解，應按系統(tǒng)知識展開。所以在設(shè)計選擇題和填空題時都要仔細考慮，在設(shè)計選擇題時因考慮為什么要設(shè)置這些選項，這些選項之間有什么關(guān)聯(lián)和不同，要讓學生從這道題中學到什么？習題課的目的并不是教會學生怎么樣寫某道題，而是要教會學生看到題我要怎么去思考，學會怎么樣找準切入口，注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。3.2.2習題課教學案例例如在講解《函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)》這節(jié)內(nèi)容的習題課時，選取經(jīng)典的習題讓學生完成，并且可以可以設(shè)置梯度式的練習，針對以上要求，設(shè)計了如下習題。求下列函數(shù)的最值。..證明下列不等式。證明對數(shù)平均不等式：，其中平均值稱為“對數(shù)平均”（選做）。當時，證明：（選做）。（2019年全國Ⅲ卷，文20）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；當時，記在區(qū)間的最大值為,最小值為，求的取值范圍。此習題課所選題目具有針對性，教學過程中需要以生為本，教師可以依據(jù)自己的能力進行變式教學，課堂靈活起來了，課堂效率會比較高，并且每個學生通過本節(jié)習題課都能有不一樣的收獲。3.3復習課3.3.1系統(tǒng)整理，設(shè)疑激趣在傳統(tǒng)的教學當中，教師在上復習課的時候，關(guān)注更多的往往是找出學生不懂或薄弱的地方，然后針對這些弱點進行著重講解，因而教師在上復習課時的講解，在基礎(chǔ)一般的學生看來老師的講解時雜亂無章，沒有頭緒的，這樣并沒有發(fā)揮復習課的真正作用。因而，要正確把握復習課的定位，不應把通過練習去鞏固知識作為復習課的首要任務(wù)，要把促進所學知識的系統(tǒng)化作為復習課的主要目標。學生通過調(diào)動自己對所學知識的記憶，或者是在書本中尋找相應知識點來解決問題，通過系統(tǒng)消化整合知識，并理解這部分知識后面的數(shù)學思想，在這個過程中，學生已經(jīng)根據(jù)自身的特點查缺補漏，系統(tǒng)消化了所學的知識。這往往會使學生感到枯燥無味,這就更加迫切地要求老師在上習題活動時一定要特別強調(diào)解題活動的組織,避免讓老師陷入變得枯燥無味的問題,在同時也需要讓老師使學生感到數(shù)學活動是一門很有趣的學科,充分調(diào)動了學生們的積極主動性,讓我們的學生能夠始終秉持著強烈的好奇心和自主探究的精神來解題。再者，題的選取也極大地影響了復習課的效果，如何評價一道題的好壞，并不在于這道題的難度，而在于這道題能否引起學生的探究興趣，好的題能夠制造一制造出跌宕起伏的懸念，誘導學生一步步探究，這讓學生體會到從“疑無路”的失落到“又一村”喜悅。在解完題后能夠增強學生學習數(shù)學的信心，進一步提高學生對數(shù)學的興趣。3.3.2復習課教學案例例如在高三復習課“最值的解法中”教學過程可以如下設(shè)計：第一步：拋出問題，教師引導學生回顧求解最值的相關(guān)理論知識，學生通過探究問題建立自己的解題思維；如圖所示，給定兩個長度為1的平面向量,它們的夾角，點在以為圓心的圓弧上運動，且，其中求的最大值。這個問題難度不大，但解法靈活。這道題的設(shè)置是為了通過這種一題多解的方式，讓同學們有所對比和充分利用各方面數(shù)學知識，理解最值問題中所蘊含的學科理論知識，培養(yǎng)學生通過探究過程的感悟掌握解決問題的本質(zhì)能力，從而使得絕大多數(shù)學生對最值的求解達到融會貫