逆向建模與產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計(jì)課件：產(chǎn)品建模數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)

逆向工程建模與產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計(jì)２.1曲線、曲面的數(shù)學(xué)描述２.2插值、逼近、擬合２.3光順性與連續(xù)性２.4B樣條曲線、曲面２.5B樣條曲線曲面的擬合產(chǎn)品建模數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)２.１、曲線、曲面的數(shù)學(xué)描述1、顯示描述曲線：y=f(x)曲面：z=f(x,y)2、隱式描述曲線：f(x，y)=0曲面：F(x,y,z)=0不足：xy每個(gè)先x值只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y值，所以用顯式方程不能表示封閉或多值曲線出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情況不足：yxyx與坐標(biāo)軸相關(guān)的，函數(shù)描述不具有唯一性不便于計(jì)算機(jī)處理(0,0)(1,1/2)(2,0)(0,0)3、參數(shù)描述曲線：x=x(t)，y=y(t)曲面：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)1）可以與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的2）便于處理斜率為無(wú)窮大的情況3）規(guī)格化的參數(shù)變量[0,1]4）便于計(jì)算機(jī)處理（矩陣表示）２.２、插值、逼近、擬合1、插值

給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n)，構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值（Interpolation），所構(gòu)造的曲線成為插值曲線。曲面依然。1）優(yōu)點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)的誤差為零2）測(cè)量點(diǎn)過(guò)多時(shí)，控制困難3）測(cè)量有誤差時(shí)，光順性差2、逼近1）可以用低階函數(shù)2）測(cè)量點(diǎn)過(guò)多時(shí)，較少的控制點(diǎn)3）測(cè)量有誤差時(shí)，保證光順性

給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n)，在允許誤差范圍內(nèi),構(gòu)造一條曲線，接近這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近（Approximation），所構(gòu)造的曲線成為逼近曲線。曲面依然。3、擬合

插值和逼近統(tǒng)稱擬和（Fitting）２.３、連續(xù)性與光順性1、連續(xù)性參數(shù)連續(xù)，Ck，方向一致，大小相等幾何連續(xù)，Gk，方向一致。幾何連續(xù)并不一定參數(shù)連續(xù)C0和G0連續(xù)：位置連續(xù)。PQ1Q2Q3Q41、連續(xù)性（續(xù)）C1和G1連續(xù)：一階參數(shù)連續(xù)，切向連續(xù)。C2和G2連續(xù)：二階參數(shù)連續(xù)，曲率連續(xù)。G2連續(xù)G1連續(xù)幾何連續(xù)比較2、光順性（Smoothness或Fairness）二階幾何連續(xù)（位置、切線方向、曲率矢量連續(xù)）不存在奇異點(diǎn)和多余拐點(diǎn)曲率變化較小應(yīng)變能較小２.４、B樣條曲線與曲面1、樣條的來(lái)歷2、樣條的多項(xiàng)式插值表示形式簡(jiǎn)單，求解方便系數(shù)幾何意義不明顯，不便于控制操作當(dāng)n很大時(shí)，解線性方程組費(fèi)時(shí)，不可取3、三次B樣條曲線3、三次B樣條曲線（續(xù)）保持了形式簡(jiǎn)單，求解方便系數(shù)幾何意義不明顯，便于控制操作保證光順性4、非均勻有理B樣條NURBS曲線（續(xù)）3、三次B樣條曲面（續(xù)）基于B樣條曲線的數(shù)學(xué)描述，可以得到B樣條曲面的數(shù)學(xué)描述以及性質(zhì)。給定個(gè)空間點(diǎn)列，則次B樣條曲面方程為：

其中，，是k次和l次的B樣條基函數(shù)，由組成的空間網(wǎng)格稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)格。２.5、B樣條曲線與曲面的擬合一般過(guò)程型值點(diǎn)與控制點(diǎn)完全不同由型值點(diǎn)反算出控制點(diǎn)由控制點(diǎn)計(jì)算B樣條曲線、曲面連續(xù)性光順性評(píng)價(jià)２.6、曲面的應(yīng)用曲面在模具中的應(yīng)用

曲面在汽車(chē)工業(yè)中的應(yīng)用

小結(jié)本章主要對(duì)逆向建模過(guò)程中所涉及的曲線、曲面數(shù)學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行論述，在此基礎(chǔ)上著重介紹非均勻有理B樣條曲線、曲面的連續(xù)性與光順性的相關(guān)概念及檢查評(píng)定方法。并對(duì)