必修-高中數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(全)

第一章集合與函數(shù)概念

課時(shí)一:集合有關(guān)概念

1.集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東

西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。

2.一般的研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡(jiǎn)稱為集。

3.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的：屬于或不屬

于。例：世界上最高的山、中國古代四大美女、教室里面所有的

人……

(2)元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。

例：由HAPPY的字母組成的集合｛H,A,P,丫｝

(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

例：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：｛...｝如：｛我校的籃球隊(duì)員｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰洋｝

(1)用大寫字母表示集合：A=｛我校的籃球隊(duì)員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

1)列舉法：將集合中的元素一一列舉出來｛a,b.c……｝

2)描述法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合。

｛xeR|x-3>2｝,｛x|x-3>2｝

①語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

4、集合的分類：

(1)有限集：含有有限個(gè)元素的集合

(2)無限集：含有無限個(gè)元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5｝

5、元素與集合的關(guān)系：

(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：aeA

（2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aA

?注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實(shí)數(shù)集R

課時(shí)二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系一子集

（1）定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合

有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。記作:AQ（或B°A）

注意：A=8有兩種可能（1）A是B的一部分，；

（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AZB或B^A

2.“相等”關(guān)系：A=B（525，且545,則5=5）

實(shí)例：設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AoA

②真子集:如果A=B,且AwB那就說集合A是集合B的真子集，記作A*B（或

B】A）

或若集合AqB，存在XeB且xA,則稱集合A是集合B的真子集。

③如果AcB,B=C,那么A=C

④如果A=B同時(shí)BcA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為①

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

?有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2向個(gè)真子集

課時(shí)三、集合的運(yùn)算

運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集

定義由所有屬于A且屬于B由所有屬于集合A或?qū)偃阂话悖粢粋€(gè)集合漢語我們

的元素所組成的集合，叫于集合B的元素所組成所研究問題中這幾道的所有元素，

做A,B的交集.記作的集合，叫做A,B的并我們就稱這個(gè)集合為全集，記作：U

AOB(讀作'A交B1,集.記作：AUB(讀作'A設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子

即AQB={x|xeA,且并B')，即AUB集，由S中所有不屬于A的元素組

XeB}.={x|xeA,或xeB}).成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集

(或余集)記作C$A,

CsA={x1xeS,且xtA}

?..-?***^****-,

韋恩圖示C?)

即

性質(zhì)AnA=AAUA=AAU①(CuA)n(CuB)=Cu(AUB)

An①二①=A(CUA)U(CUB)=Cu(AAB)

AnB=BnAAUB二BUAAU(CUA)=U

AABCAAAUBqAAn(CuA戶①.

ABcBAUBoB

課時(shí)四:函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使

對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)

應(yīng)，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f(x),

XGA.

(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

(2)與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xeA}叫做函

數(shù)的值域.

2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則

3.函數(shù)的表示方法：(1)解析法：明確函數(shù)的定義域

(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可

以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點(diǎn)

寺寺。

(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定

義域的特征。

4、函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),侔A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)

值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,切的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(xcA)的圖

象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)々，/均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以

滿足7M的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)打,4,均&C上.

(2)畫法

A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法：平移變換"申縮變換；對(duì)稱變換。

(3)函數(shù)圖像變換的特點(diǎn)：

1)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對(duì)稱y=-f(x)

2)函數(shù)y=f(x)關(guān)于丫軸對(duì)稱y=f(-x)

3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=-f(-x)

課時(shí)五：函數(shù)的解析表達(dá)式，及函數(shù)定義域的求法

1、函數(shù)解析式子的求法

(1)、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系

時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)、求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系數(shù)法：

3)換元法：

4)拼湊法：

2.定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是

使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

3、相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));

②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

4、區(qū)間的概念：

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示

課時(shí)六：

1.值域：先考慮其定義域

(1)觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域；

(2)反表示法：針對(duì)分式的類型，把丫關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X關(guān)于丫

的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。

(3)配方法：針對(duì)二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值

域，注意定義域的范圍。

(4)代換法(換元法)：作變量代換，針對(duì)根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類

型。

課時(shí)七

1.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(ucM),u=g(x)(xcA),貝ijy=f[g(x)]=F(x)(xeA)稱為f、g的復(fù)

合函數(shù)。

(4)常用的分段函數(shù)

1)取整函數(shù)：

2)符號(hào)函數(shù)：

3)含絕對(duì)值的函數(shù):

2.映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使

對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，

那么就稱對(duì)應(yīng)f:A.B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系)：

A(原象)-B(象)”

對(duì)于映射f:4一夕來說，則應(yīng)滿足：

(1)集合力中的每一個(gè)元素，在集合6中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合/中不同的元素，在集合8中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

(3)不要求集合臺(tái)中的每一個(gè)元素在集合力中都有原象。

注意：映射是針對(duì)自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對(duì)數(shù)字來說的。

所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)

課時(shí)八函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值

1、增減函數(shù)

(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任

意兩個(gè)自變量X1,X2,當(dāng)X1<X2時(shí),都有f(xi)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)

間D上是增函數(shù).區(qū)間2稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

(2)如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值X1,X2,當(dāng)X1<X2時(shí)，都有

f(xi)>f(x2),那么就說例在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間Q稱為y=f(x)的

單調(diào)減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單

調(diào)不減兩種

2、圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)外的在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)在這一區(qū)間

上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)

的圖象從左到右是下降的.

3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：

6任取Xi,x2eD,且xi<x2；

2作差f(Xl)-f(x2)；

3變形(通常是因式分解和配方)；

4定號(hào)(即判斷差f(x。-f(X2)的正負(fù))；

5下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)1g旬的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)〃=0仞/=/仞的單調(diào)性密切相關(guān)，

其規(guī)律：“同增異減”

注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和

在一起寫成其并集.

課時(shí)九：函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1)、偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,賄f(-x)=f(x)，力除f(x)

就叫做偶函數(shù).

(2)、奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=—f(x),那么

f(x)就叫做奇函數(shù).

(3)、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

多首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若是不對(duì)稱，則是

非奇非偶的函數(shù)；若對(duì)稱，則進(jìn)行下面判斷；

a確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；

3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,貝ijf(x)是偶函數(shù)；

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

(4)利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性

1)在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；

奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；

奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；

偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；

一奇一偶的乘積是奇函數(shù)；

2)復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇。

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)

的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，

(1)再根據(jù)定義判定；

⑵由f(-x)±f(x)=Q或f(x)/f(-x)=t\來判定;

(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

課時(shí)十、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用

1、函數(shù)的最值

6利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

2利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)

在x=b處有最大值f(b);

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增則函數(shù)尸f(x)

在x=b處有最小值f(b);

2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。

3、判斷含糊單調(diào)性時(shí)也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與

0作比較，作商法是與1作比較。

4、絕對(duì)值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。

5、在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并

不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。(高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0)o

課時(shí)十四

1、指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算：

復(fù)習(xí)初中整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：

am*gn=Qm+n

(am)n=amn

(a*b)n=anbn

2、根式的概念：一般地，若，刃隘x叫做。的〃次方根，其中〃>1，且〃GN*

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。

此時(shí)，a的n次方根用符號(hào)表示。

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。此時(shí)正數(shù)a

的正的n次方根用符號(hào)表示，負(fù)的n的次方根用符號(hào)表示。正的n次

方根與負(fù)的n次方根可以合并成（a>0）。

注意：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；。的任何次方根都是0,記作V5=o。

當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，物三。，當(dāng)"是偶數(shù)時(shí)，叱t小卜（a-0）

[-a（a<0）

式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)。

3、分?jǐn)?shù)指數(shù)累

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的

tn__m]?

a,l>O,m,n￡N*,n>1）,a〃=—（a>O,zn,/ze,n>1）

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義

4、有理數(shù)指數(shù)米的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-ar=ar+s(a>0,r,se7?)；

(2)(?>0,r,5GR)；

rs

(3)(a4=aa(a>0,r,5GR).

5、無理數(shù)指數(shù)幕

一般的，無理數(shù)指數(shù)幕aa（a>0,a是無理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。有理數(shù)指數(shù)

幕的運(yùn)算性質(zhì)同樣使用于無理數(shù)指數(shù)累。

課時(shí)十五：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點(diǎn)（1）

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=a'（a>0,且〃工1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變

量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.為什么？

2、在同以坐標(biāo)平面內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖像：

(1)(2)(3)(4)(5)

圖像特征圖像特征

a>1a>10<a<1a>1

向X、丫軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽

圖像關(guān)于原點(diǎn)和丫軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖像都在X軸的上方函數(shù)的值域?yàn)镽+

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)a0=1

自左向右看圖像逐漸自左向右看圖像逐漸

增函數(shù)減函數(shù)

上升。上升。

在第一象限內(nèi)圖像縱在第一象限內(nèi)圖像縱

x>0,ax>1x>0,ax<1

坐標(biāo)都大于1o坐標(biāo)都大于1o

在第二象限內(nèi)圖像縱在第二象限內(nèi)圖像縱

x<0,ax<1x<0,ax>1

坐標(biāo)都小于1o坐標(biāo)都大于1o

函數(shù)值開始增加較慢，函數(shù)值開始減小極快，

圖像上升的趨勢(shì)愈來圖像上升的趨勢(shì)愈來

到了某一值后增長(zhǎng)速到了某一值后減小速

愈陡。愈陡。

度極快。度較慢。

課時(shí)十六：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點(diǎn)(1)

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

(1)在［a,b］上,值域是［f(a),f(b)］或［f(b),f(a)］;

(2)若XHO,則f(x)wl；f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)xeR；

(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù)￡G)=2*俗>0且271),總有寅1)=2；

(4)當(dāng)a>1時(shí)，若Xi<X2，則有f(Xi)<f(X2)o

二對(duì)數(shù)函數(shù)

(一)對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果a,=N(a>0,*l),那么數(shù)x叫做以a為后N的對(duì)數(shù)，

記作：x=log〃N(a—底數(shù)，N—真數(shù)，1嗚N—對(duì)數(shù)式)

說明：6注意底數(shù)的限制a〉0,且a"；

2a,=No、%N=x；工］/

3注意對(duì)數(shù)的書寫格式.”

兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

d常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)IgN；

2自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)InN.

?指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

幕值真數(shù)

底數(shù)

指藪對(duì)數(shù)

(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果〃>0,且owl,M>0,N>0,為B么：

。log/M-N)=logwM+logf/N；

2log。｝=logaM-log〃N；

n

3log(,M=nlog(