八年級(jí)數(shù)學(xué)《勾股定理》章節(jié)復(fù)習(xí)講義

授課主題勾股定理章節(jié)復(fù)習(xí)

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；

教學(xué)目的2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；

3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

重、難點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用

教學(xué)內(nèi)容

上節(jié)課程知識(shí)點(diǎn)回顧

知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理

要點(diǎn)一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊匕的平方和等于斜邊c的平方.（即：a2+b2=c2}

2.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問(wèn)題；

（3）求作長(zhǎng)度為防的線段.

要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理

1.原命題與逆命題

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把

其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長(zhǎng)久b、C,滿足。2+。2=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：

（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為C;

⑵驗(yàn)證與/+〃是否具有相等關(guān)系，若/+/=/,則AABC是以NC為直角的直角三角形，反之,

則不是直角三角形.

3.勾股數(shù)

滿足不定方程f+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以％、y、z

為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

常見(jiàn)的勾股數(shù)：①3、4,5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（心儀C）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以成、bt、（7為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.

3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為a、b、c,且a<Z?<c,那么存在/=b+c成立.（例如④中存在7?=24+25、92

=40+41等）

要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).

典型例題

類型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用

如圖所示，直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZB=90°,AD=3非,AB=1OV5,BC=8百，E是AB

上一點(diǎn)，且AE=4A6，求點(diǎn)E到CD的距離EF.

類型二、勾股定理與其他知識(shí)結(jié)合應(yīng)用

▼2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC=400米，BD=200米,

CD=800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家.試問(wèn)在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？

匚二二二mn

C

A?

C3、如圖所示，等腰直角aABC中，ZACB=90°,E、F為AB上兩點(diǎn)（E左F右），且NECF=45°,求

證：AE2+BF2=EF2.

Cd、已知：如圖，4ABC中，NCAB=120°,AB=4,AC=2,AD±BC,D是垂足，求AD的長(zhǎng).

AR

類型三、本章中的數(shù)學(xué)思想方法

1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪牵蜻M(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決.

C5、如圖所示，4ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的

點(diǎn)，且DELDF,若BE=12,CF=5.求線段EF的長(zhǎng).

2.方程的思想方法

、如圖所示，已知AABC中，ZC=90°,ZA=60°,白+小=3+^，求a、8、c的值.

B

變式訓(xùn)練

【變式1】如圖所示，在AABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知AB=13,AD-12,AC=15,BD=5,求DC的長(zhǎng).

【變式2】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E,AE=3,EB=1,在AC上有一點(diǎn)P,使EP+BP最短.求

EP+BP的最小值.

【變式3】已知凸四邊形ABCD中，/ABC=30°,/ADC=60°,AD=DC,

求證：BD2=AB2+BC2

DB

【變式4】直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5c777,求直角三角形的面積.

知識(shí)小結(jié)

當(dāng)堂檢測(cè)

1.在△ABC中，若a=/-1,。=2〃,c=+1,則△ABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則NABC的度數(shù)為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

3.在下列說(shuō)法中是錯(cuò)誤的（）

A.在AABC中，ZC=ZA—ZB,則AABC為直角三角形.

B.在aABC中，若NA：ZB：/C=5：2：3,則AABC為直角三角形.

34

C.在aABC中，若。=—c,b=—c,則AABC為直角三角形.

55

D.在AABC中，若a：b：c=2：2：4,則AABC為直角三角形.

4.若等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和6,則底邊上的高等于（）

A.V7B.V7或標(biāo)C.472D.40或77

5.若三角形的三邊長(zhǎng)分別等于J5、、以2,則此三角形的面積為（）

,V2V3

A.---B.41D.若

22

6.如圖，RtaABC中，NC=90°,CDLAB于點(diǎn)D,AB=13,CD=6,貝ijAC+BC等于()

A.5B.5V13

C.13V13D.975

7.已知三角形的三邊長(zhǎng)為。、b、，由下列條件能構(gòu)成直角三角形的是（

A.a2=(m—1)',b2=4/w2,c2=(〃z+l)~B.a2=(〃2—1)~,Z?2=4m,C2=(〃2+l)-

C.a2=(nz-l)~,b2=2m,c2=(nz+l)'D.a2=—1)',b2=2nr,c2=(m+1)一

8.如圖，已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5,點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD

取最小值時(shí)，/XAPD中邊AP上的高為（）

A.—V17B.C.D.3

171717

課堂總結(jié)

家庭作業(yè)

1.如圖，平面上A、B兩點(diǎn)處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C處有食物，已知點(diǎn)C在A的東南方向，在

B的西南方向.甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從A、B兩地出發(fā)爬向C處，速度都是30cm/min.結(jié)果甲螞蟻用了2min,

乙螞蟻2分40秒到達(dá)C處分享食物，兩只螞蟻原來(lái)所處地點(diǎn)相距5

2.如圖，AB=5,AC=3,BC邊上的中線AD=2,則4ABC的面積為

3.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6,BC=8,將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上,

折痕為AD,則BD=一.

4.△ABC中，AB=AC=13,若AB邊上的高CD=5,則BC=_.

5.如圖，長(zhǎng)方體的底面功長(zhǎng)分別為Ian和3c”7,高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面

纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要cm,如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞〃圈到達(dá)點(diǎn)B,那

么所用細(xì)線最短需要cm.

6.已知：AABC中，AB=15,AC=13,BC邊上的高AD=12,BC=.

7.已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)