專題07以雙曲線為情境的定點問題（原卷版）-高考數(shù)學圓錐曲線部分必會十大基本題型

雙曲線必會十大基本題型講與練07以雙曲線為情境的定點問題典例分析類型一：求線過定點1．雙曲線的左、右兩支上各有一點A、B，點B在直線上的射影是點，若直線AB過右焦點，則直線必定經(jīng)過的定點的坐標為___________．2．已知雙曲線C：－y2＝1，直線l：y＝kx＋m與雙曲線C相交于A，B兩點(A，B均異于左、右頂點)，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，則直線l所過定點為________．類型二：探索線過定點1．已知雙曲線的左焦點為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點，，當直線經(jīng)過的右焦點且垂直于軸時，.(1)求的方程；(2)是否存在軸上的定點，使得直線過點時，恒有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.2．已知雙曲線C：0)經(jīng)過點P(－2，1)，且C的右頂點到一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P分別作兩條直線與C交于A，B兩點(A，B兩點均不與點P重合)，設直線的斜率分別為．若，試問直線AB是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過定點，求出定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由．類型三：證明線過定點1．已知雙曲線，四點，，，中恰有三點在上.(1)求的方程；(2)過點的直線交于，兩點，過點作直線的垂線，垂足為.證明：直線過定點.2．在平面直角坐標系xOy中，動點Р與定點F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設過點A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點M，N(異于點A)，求證：直線MN過定點.類型四：證明圓過定點1．已知雙曲線過點，且C的漸近線方程為．(1)求C的方程．(2)A，B為C的實軸端點，Q為C上異于A，B的任意一點，與y軸分別交于M，N兩點，證明：以為直徑的圓過兩個定點．2．已知雙曲線：經(jīng)過點A，且點到的漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點作斜率不為的直線與雙曲線交于M，N兩點，直線分別交直線AM，AN于點E，F(xiàn)．試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；反之，請說明理由．方法點撥1、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.2．圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中的系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點．(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關．3．直線過定點問題的解題模型鞏固練習1．已知為雙曲線右支上的一個動點，為雙曲線的右焦點，若在軸的負半軸上存在定點，使得，則（

）A． B． C． D．2．雙曲線，過定點的兩條垂線分別交雙曲線于、兩點，直恒過定點（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點P（3，）．(1)求C的方程；(2)設Q（1，0），直線（）不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線BQ與C交于另一點D，過Q點作QN⊥AD于N，證明：直線AD過定點M，且點N在以QM為直徑的圓上．4．已知雙曲線C的右焦點F，半焦距c=2，點F到直線的距離為，過點F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M，N.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點的坐標.5．在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離與它到直線的距離之比為．記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點，交曲線于，兩點，線段的中點為，線段的中點為．證明：直線過定點，并求出該定點坐標．6．已知雙曲線的兩個焦點為、，一條漸近線方程為，且雙曲線經(jīng)過點，．(1)求雙曲線C的方程；(2)設點在直線，，且為常數(shù))上，過點作雙曲線的兩條切線、，切點為、，求證：直線過某一個定點．7．已知為橢圓的右焦點且為雙曲線的右頂點，橢圓與雙曲線的一個交點是．若點是雙曲線右支上的動點，直線交軸于點，試問以線段為直徑的圓是否恒過定點？證明你的結論．8．已知雙曲線的左頂點為，右焦點為F，點B在C上．當時．不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于P，Q兩點．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)直線PQ過點F，在x軸上是否存在點N，使得x軸平分？若存在，求出點的N的坐標；若不存在，說明理由．9．在平面直角坐標系中，已知雙曲線（、為正數(shù)）的右頂點為，右焦點到漸近線的距離為，直線與雙曲線交于、兩點，且、均不是雙曲線的頂點，為的中點．(1)求雙曲線的方程；(2)當直線與直線的斜率均存在時，設斜率分別為、，求的值；(3)若，試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點坐標：否則，說明理由．10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足．(1)求動點M的軌跡方程；(2)若動點M在雙曲線C上，設雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經(jīng)過定點．11．已知雙曲線的離心率為2，且過點．(1)求C的方程：(2)若點M，N在C上，且，B為垂足．是否存在定點Q，使得為定值？若存在，求出定點Q的坐標；若不存在，說明理由．12．已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點.(1)求C的方程；(2)設，直線不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線與C交于另一點D，求證：直線過定點.13．已知離心率為的雙曲線的中心在坐標原點，左、右焦點、在軸上，雙曲線的右支上一點使且的面積為1．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線：與雙曲線相交于、兩點（、不是左右頂點），且以為直徑的圓過雙曲線的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．14．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點為A，直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，且P、Q均不是雙曲線的頂點，M為PQ的中點．(1)設直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2，求k1·k2的值；(2)若＝，試探究直線l是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；否則，說明理由．15．雙曲線C：（，）的一條漸近線l的傾斜角為，過左、右焦點，分別作l的垂線，兩垂足間的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P（1，0）且斜率不為0的直線與雙曲線C交于M，N兩點，記N關于x軸的對稱點為Q，證明直線MQ過x軸上的定點．16．已知動圓過點，并且與圓外切，設動圓的圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線交于，兩點，設直線，點，直線交于點，證明直線經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標.17．已知雙曲線的右焦點為，離心率為2，直線與C的一條漸近線交于點P，且．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設Q為雙曲線C右支上的一個動點在x軸上是否存在定點M，使得？若存在