5.3 函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類（原卷版）

5.3函數(shù)的單調(diào)性6種常見考法歸類設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A，(1)如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么稱y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，I稱為y＝f(x)的增區(qū)間.(2)如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么稱y＝f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)，I稱為y＝f(x)的減區(qū)間.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.注：增(減)函數(shù)定義中x1，x2的三個特征①任意性：x1，x2是區(qū)間內(nèi)任意兩個實(shí)數(shù)；②有序性：一般要對x1和x2的大小規(guī)定，通常規(guī)定：x1＜x2；③同區(qū)間性：x1，x2屬于同一個單調(diào)區(qū)間.這三個特征缺一不可.3.函數(shù)的最大值與最小值設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域是A.如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0).注：任何函數(shù)不一定都有最大(小)值，函數(shù)的最值首先是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素，若僅有對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤M，但M不在函數(shù)值域內(nèi)，則M不能稱為函數(shù)的最值，例如函數(shù)y＝eq\f(1,x)，這個函數(shù)既沒有最大值也沒有最小值.4.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2；(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的關(guān)系式；(3)定號：確定f(x1)－f(x2)的符號；(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號與定義確定單調(diào)性.5.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種求法①圖象法.即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間.②定義法.即先求出定義域，再利用定義進(jìn)行判斷求解.6.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上單調(diào)區(qū)間時，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；在單調(diào)區(qū)間D上函數(shù)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)，不能二者兼有.7.單調(diào)性定義的等價形式:（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù):任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù):任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.8.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時，與單調(diào)性相同；當(dāng)時，與單調(diào)性相反.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)時，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:簡記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.9.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).10.利用單調(diào)性比較大小的方法(1)利用函數(shù)單調(diào)性可以比較函數(shù)自變量(函數(shù)值)的大小，例如：已知f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)，則對x1，x2∈D，x1<x2?f(x1)<f(x2).(2)利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，務(wù)必將自變量x的值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上才能進(jìn)行比較，最后寫結(jié)果時再還原回去.11.利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法當(dāng)函數(shù)f(x)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號“f”脫掉，列出關(guān)于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數(shù)的定義域.12.用圖象法求最值的三個步驟13.利用單調(diào)性求最值：首先判斷函數(shù)的單調(diào)性；然后利用單調(diào)性寫出最值.14.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：(1)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a).15.含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的解法解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符號確定拋物線的開口方向，依對稱軸x＝－h(huán)得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值.16.對于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，一般有如下幾種類型：(1)區(qū)間固定，對稱軸變動(含參數(shù))，求最值；(2)對稱軸固定，區(qū)間變動(含參數(shù))，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數(shù).通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對稱軸的相對位置進(jìn)行分類討論.考點(diǎn)一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（一）由圖象求單調(diào)區(qū)間（二）用定義求單調(diào)區(qū)間（三）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（一）由單調(diào)性比較大?。ǘ┯蓡握{(diào)性求參數(shù)（三）利用單調(diào)性解不等式考點(diǎn)四利用函數(shù)圖象求最值考點(diǎn)五利用單調(diào)性求最值考點(diǎn)六二次函數(shù)的最值考點(diǎn)一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1．（2023上·廣東惠州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)用單調(diào)性定義證明：在上單調(diào)遞增；(2)若對，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．2．（2023上·陜西延安·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（河南省南陽市20232024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(2)求函數(shù)的值域．4．（2023上·北京·高一北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.5．（2023上·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；6．（2023上·福建泉州·高一泉州七中?？计谥校┤舴橇愫瘮?shù)對任意x，y均有，且當(dāng)時，.(1)求，并證明；(2)求證：為上的減函數(shù)；(3)當(dāng)時，對時恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.7．（2023上·遼寧大連·高一大連市一0三中學(xué)?？计谥校┮阎x域為，對任意x，，都有，當(dāng)時，，且.(1)求和的值；(2)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)求不等式的解集.考點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（一）由圖象求單調(diào)區(qū)間8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）根據(jù)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減；（2）寫出的單調(diào)區(qū)間．9．（2023上·福建泉州·高一福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．10．（2023上·江西撫州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．11．【多選】（2023上·廣西南寧·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為B．的最大值為2C．的最小值為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為和12．（2023上·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(3)用定義證明函數(shù)在為增函數(shù)．（二）用定義求單調(diào)區(qū)間13．（2023上·高一課時練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.14．（2023上·廣東肇慶·高一校考期中）函數(shù)的增區(qū)間為．15．（2023上·高一?？颊n時練習(xí)）求的單調(diào)區(qū)間．（三）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間16．（2023上·廣東廣州·高一廣州市協(xié)和中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．17．（2023上·山東青島·高一青島三十九中校考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．18．（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．19．（2023上·湖北十堰·高一鄖西縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用由單調(diào)性比較大小20．（2023下·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域為，則“”是“是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件21．【多選】（2023上·高一課時練習(xí)）（多選）如果函數(shù)在上是增函數(shù)，那么對于任意的、，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若，則D．22．（2023上·福建福州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)為定義在上的單調(diào)增函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．23．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)在上是遞減函數(shù)，且，則有（

）A． B．C． D．24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．25．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保?6．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)比較，的大?。?7．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，，且．請確定與的大小關(guān)系，并給出證明．由單調(diào)性求參數(shù)28．（2023上·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．29．（2023上·廣東湛江·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．30．（山東省聊城市20232024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．31．【多選】（河南省南陽市20232024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）滿足函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)的實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．32．（2023上·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．33．（2023上·山東聊城·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)是定義在上的減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C．D．34．（2023上·重慶·高一重慶十八中校考期中）已知函數(shù)滿足對于任意實(shí)數(shù)且，都有成立，則的取值范圍是．35．（2023上·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是．36．【多選】（2023上·山東·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若任意且都有，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C．0 D．利用單調(diào)性解不等式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．38．（2023上·高一課時練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為.39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是．40．（2023上·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）已知的定義域為，對任意的、，且都有且，則不等式的解集為.41．（2023上·江蘇南京·高一期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，對任意的實(shí)數(shù)且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．42．（2023上·天津南開·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．43．（2023上·遼寧大連·高一大連八中校考期中）定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式解集是.44．（2023上·江蘇蘇州·高一蘇州中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)是定義在上的增函數(shù)，且對一切，滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．45．【多選】（2023上·安徽滁州·高一安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，，則（

）A．B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D．不等式的解集是考點(diǎn)四利用函數(shù)圖象求最值46．（2023上·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的值域.47．（2023上·廣東汕頭·高一校考期中）已知函數(shù)(1)求；(2)若，求的取值范圍(3)畫出的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.（直接寫出結(jié)果即可）48．（2023上·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)證明為偶函數(shù);(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在時的最大值與最小值.49．（2023上·福建廈門·高一廈門市松柏中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)．(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最小值．考點(diǎn)五利用單調(diào)性求最值50．（2023上·四川廣安·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)過點(diǎn)．(1)求b的值；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．51．（2023上·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)判斷函數(shù)單調(diào)性，并證明；(2)求的最大值和最小值.52．（2023上·福建莆田·高一莆田第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)在區(qū)間上的單調(diào)性并利用定義證明:(2)求在區(qū)間上的最值.53．（山東省聊城市20232024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為．考點(diǎn)六二次函數(shù)的最值54．（遼寧省部分學(xué)校20232024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知為二次函數(shù)，且，．(1)求的解析式：(2)若，試求的最小值．55．（2023上·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，，.(1