高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù) 第二節(jié) 推理與證明習(xí)題 理試題

第二節(jié)推理與證明[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共30分)1.要證a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明 ()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥01.D【解析】因?yàn)閍2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2),所以要證a2+b2-1-a2b2≤0,只需證明(a2-1)(b2-1)≥0.2.下列敘述正確的是 ()A.綜合法、分析法是直接證明的方法B.綜合法是直接證法,分析法是間接證法C.綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是肯定的D.綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是假定的2.A【解析】根據(jù)相關(guān)定義可知A項(xiàng)正確.3.用反證法證明命題時(shí),對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的反設(shè)是 ()A.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)3.B【解析】“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的反設(shè)是“自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1++…+時(shí),起始值至少取 ()A.7 B.8 C.9 D.104.B【解析】1++…+=21-.當(dāng)n=7時(shí),2;當(dāng)n=8時(shí),2,故起始值至少取8.5.已知a>b>c>0,則下列不等式成立的是 ()A. B.C. D.5.C【解析】由題意可得(a-c)=[(a-b)+(b-c)]=2+≥2+2=4,所以.6.已知面積為S的凸四邊形中,四條邊長(zhǎng)分別記為a1,a2,a3,a4,點(diǎn)P為四邊形內(nèi)任意一點(diǎn),且點(diǎn)P到四邊的距離分別記為h1,h2,h3,h4,若=k,則h1+2h2+3h3+4h4=.類比以上性質(zhì),體積為V的三棱維的每個(gè)面的面積分別記為S1,S2,S3,S4,此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到每個(gè)面的距離分別為H1,H2,H3,H4,若=K,則H1+2H2+3H3+4H4= ()A. B. C. D.6.B【解析】在平面圖形中,利用面積分割得S=a1h1+a2h2+a3h3+a4h4=kh1+×2kh2+×3kh3+×4kh4,則h1+2h2+3h3+4h4=.類比到空間,利用體積分割得V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=KH1+×2KH2+×3KH3+×4KH4,則H1+2H2+3H3+4H4=.二、填空題(每小題5分,共15分)7.數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=-,則a2016=.

7.-2【解析】由題意可得a1=1,a2=-,a3=-2,a4=1,a5=-,…,歸納得出數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列,而2016=3×672,∴a2016=a3=-2.8.已知如圖1所示的圖形有面積關(guān)系,用類比的思想寫(xiě)出如圖2所示的圖形的體積關(guān)系=.

8.【解析】在圖2中過(guò)點(diǎn)A作AO⊥平面PBC于點(diǎn)O,連接PO,則A1在平面PBC內(nèi)的射影O1落在PO上,則,又∵,∴.9.(2015·蚌埠質(zhì)檢)若正方體P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4的棱長(zhǎng)為1,集合M={x|x=,S,T∈{P,Q},i,j∈{1,2,3,4}},則對(duì)于下列命題:①當(dāng)時(shí),x=1;②當(dāng)時(shí),x=-1;③當(dāng)x=1時(shí),(i,j)有8種不同取值;④當(dāng)x=1時(shí),(i,j)有16種不同取值;⑤M={-1,0,1}.其中正確的結(jié)論序號(hào)為.(填上所有正確結(jié)論的序號(hào))

9.①④⑤【解析】因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),x==1,①正確,②錯(cuò)誤;當(dāng)x=1時(shí),i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,所以(i,j)有16種不同取值,③錯(cuò)誤,④正確;當(dāng)時(shí),x=0,當(dāng)時(shí),x=-1,所以M={-1,0,1},⑤正確.三、解答題(共20分)10.(10分)設(shè)f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).(1)請(qǐng)將g(5)用f(2),f(3),g(2),g(3)來(lái)表示;(2)如果(1)中獲得了一個(gè)結(jié)論,能否將其推廣,用“三段論”進(jìn)行證明.10.【解析】(1)由g(5)=包括a5,易知表示式中必有f(2)g(3)或f(3)g(2),又f(3)g(2)+g(3)f(2)=,因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推測(cè)g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).證明:因?yàn)閒(x)=,g(x)=,(大前提)所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,(小前提)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)==g(x+y).(結(jié)論)11.(10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-+…++…+(n∈N*).11.【解析】①當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=,命題成立.②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),命題成立,即1-+…++…+,則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1-+…+=(+…+)++…+=右邊,于是當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由①②可知,原命題對(duì)所有正整數(shù)都成立.[高考沖關(guān)]1.(5分)(2015·上海十三校聯(lián)考)用反證法證明命題:“已知a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為 ()A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除1.B【解析】“a,b中至少有一個(gè)能被5整除”的反面情況是“a,b都不能被5整除”.2.(5分)(2015·陜西高考)對(duì)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零整數(shù)),四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的,則錯(cuò)誤的結(jié)論是 ()A.-1是f(x)的零點(diǎn) B.1是f(x)的極值點(diǎn)C.3是f(x)的極值 D.點(diǎn)(2,8)在曲線y=f(x)上2.A【解析】若B,C,D都正確,則f(x)=a(x-1)2+3,a>0,代入點(diǎn)(2,8),解得a=5是整數(shù),此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),A錯(cuò)誤,適合題意;若A,B,D均正確,則解得不適合題意,故C一定正確;若B不正確,A,C,D正確,則同樣求得a無(wú)整數(shù)解,所以B一定正確;若D不正確,A,B,C正確,則解得a=-?Z,舍去,即D一定正確,故錯(cuò)誤的結(jié)論是A.3.(5分)(2015·濰坊質(zhì)檢)對(duì)于實(shí)數(shù)x,[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),觀察下列等式:[]+[]+[]=3[]+[]+[]+[]+[]=10[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21……按照此規(guī)律第n個(gè)等式的等號(hào)右邊的結(jié)果為.

3.2n2+n【解析】由題意可得3=1×3,10=2×5,21=3×7,則第n個(gè)等式的等號(hào)右邊的結(jié)果是n×(2n+1)=2n2+n.4.(5分)(2015·安徽高考)設(shè)x3+ax+b=0,其中a,b均為實(shí)數(shù).下列條件中,使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是.(寫(xiě)出所有正確條件的編號(hào))

①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.4.①③④⑤【解析】令f(x)=x3+ax+b,則f'(x)=3x2+a,若a≥0,則f(x)在R上單調(diào)遞增,若a<0,則f(x)在上單調(diào)遞增,在-上單調(diào)遞減.對(duì)于①,a=b=-3,得f(x)=x3-3x-3,f'(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的極大值f(-1)=-1<0,f(x)的極小值f(1)=-5<0,因?yàn)閒(x)在(-∞,-1),(1,+∞)單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),故f(x)=0只有一解;對(duì)于②,a=-3,b=2,得f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的極大值f(-1)=4>0,f(x)的極小值f(1)=0,因?yàn)閒(x)在(-∞,-1),(1,+∞)單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),故f(x)=0有兩解;對(duì)于③,a=-3,b>2,得f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的極大值f(-1)=2+b>0,f(x)的極小值f(1)=b-2>0,因?yàn)閒(x)在(-∞,-1),(1,+∞)單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),故f(x)=0只有一解;對(duì)于④,a=0,b=2,得f(x)=x3+2,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),故f(x)=0只有一解;對(duì)于⑤,a=1,b=2,得f(x)=x3+x+2,f'(x)=3x2+1>0,f(x)在R上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),故f(x)=0只有一解.5.(15分)(2015·湖北高考)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),bn=an(n∈N+),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f(x)=1+x-ex的單調(diào)區(qū)間,并比較與e的大小;(2)計(jì)算,由此推測(cè)計(jì)算的公式,并給出證明;(3)令cn=(a1a2…an,數(shù)列{an},{cn}的前n項(xiàng)和分別記為Sn,Tn,證明:Tn<eSn.5.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=1-ex.當(dāng)f'(x)>0,即x<0時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)<0,即x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞減;故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).當(dāng)x>0時(shí),f(x)<f(0)=0,即1+x<ex,令x=,得1+,即<e. ①(2)=1·=1+1=2;=2·21+2=(2+1)2=32;=32·3=(3+1)3=43.由此推測(cè)=(n+1)n. ②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②.(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=2,②成立.(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),②成立,即=(k+1)k.當(dāng)n=k+1時(shí),bk+1=(k+1)ak+1,由歸納假設(shè)可得=(k