河南省洛陽市強基聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試卷含答案

洛陽強基聯(lián)盟3月聯(lián)考高一數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊第六章~第七章第2節(jié)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 已知i(a?i)=b?(2A.-9 B.9 C.7D.-72. 已知△ABC為等邊三角形，則AB與BC的夾角為A.120° B.60°C.30° D.-60°3. 已知向量a=(8,-2),b=(m,1),若a=λb,則實數(shù)m的值是A.-4B.-1 C.1D.44. 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=2,b=3A.45°或135° B.135°C.45° D.60°或120°5. 若復數(shù)z滿足(z?2i)(1+iA.?1C.126. 已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,則“△ABC是鈍角三角形”是“a2+b2?c2<0”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7. 已知向量a，b的夾角為π3,且|a|=2,b=(1,1),則a在A.22B.1

8. 在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=3,AE=13EB,DF=2FC,A.125B.245二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9. 對于任意的平面向量a，b，c，下列說法錯誤的是A.若a≠b，則a與b不是共線向量B.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,則b=cD.(a·b)c=(b·c)a10. 若復數(shù)z為純虛數(shù)，則A.z+z為實數(shù)B.z-z為實數(shù)C.z2為實數(shù)D.zi為實數(shù)11. 下列說法正確的是A.若兩個非零向量AB,CD共線，則B.若向量a與b平行，b與c平行，則a，c方向相同或相反C.若非零向量AB與CD是共線向量，則它們的夾角是0°或180°D.平行向量就是共線向量，共線向量就是平行向量12. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是A.若a>b,則sinB.若sinA>sinC.若acosA=bcosD.若△ABC為銳角三角形,則sin三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 設(shè)復數(shù)z滿足zi+1=z,則|14. 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC+csinB=a,15. 已知平面向量a=(1,?2),b=(4,y),若a與a+b的夾角為銳角,則y的取值范圍為.16. 如圖，中華中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳A處測得山頂C處的仰角為60°，又利用無人機在離地面高400m的M處(即MD=400)，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°,則山高BC=m.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17. (本小題滿分10分)已知虛數(shù)z滿足|z|=(1)求證:z+5iz(2)若z是方程2x2+4x+k=0(k∈R)的一個根，求k與z18. (本小題滿分12分)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,且(3a+b)·(a?2b)=?16.(1)若(a?b)⊥(a+λb),求實數(shù)λ的值;(2)求a與2a?b的夾角的余弦值.19. (本小題滿分12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2cos(1)求角A;(2)若△ABC的周長為33,3，且△ABC外接圓的半徑為1，判斷△ABC的形狀，并求△20. (本小題滿分12分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,|AB|=2|DC(1)試用AB,AD表示(2)求DB?21. (本小題滿分12分)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=23,∠ADC=∠CAB=90°(1)若θ=60°,AB=2CD,求BD的長度;(2)若∠ADB=∠ABC=30°,求tanθ22. (本小題滿分12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知asin(1)求證:sin(2)若△ABC的面積S=kb2(k>0),求k的最大值，并證明：當k取最大值時，△ABC為直角三角形.

洛陽強基聯(lián)盟3月聯(lián)考·高一數(shù)學參考答案、提示及評分細則1.Bi(a?i)=b?(2i)3,即1+ai=b+8i,所以a=8,b=1,a+b=9.故選B.2.A因為△ABC為等邊三角形,所以AB與BC的夾角為120°.故選A.3.A由a=λb,得8=λm,?2=λ,解得m4.C由正弦定理得sinA=5.D由(z?2i)(1+i)=i,得z=i1+i+2i=i1?i6.B若△ABC中B為鈍角,則C為銳角,cosC>0,即有a2+b2?c2>0,故充分性不成立；若a2+b2?c2<0,由余弦定理得cosC=a7.C8.D因為AE=13EB得cos∠BCD=15,則9. ACD對于A，兩個向量是否共線只跟方向有關(guān)，故A錯誤；對于B，這是數(shù)量積對加法的分配律，顯然成立的，故B正確；對于C若a和b，c都垂直，顯然b，c至少在模長方面沒有任何關(guān)系，故C錯誤；對于D,(a·b)c=(b·c)a很多時候是不成立的,則(a·b)c與(b·c)a是分別和c、a共線的向量,故錯誤.故選ACD.10.ACD因為z為純虛數(shù),設(shè)z=mi(m∈R,且m≠0),z=?mi,則z+z=0,A正確;z?z=2mi11.CD平行向量又叫共線向量，向量AB與CD是共線向量，則AB與CD平行或共線，故A錯誤；當b為零向量時，結(jié)論不成立，故B錯誤；由向量的夾角可知C正確；平行向量就是共線向量，共線向量就是平行向量，故D正確。故選CD.12.ABD在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,所以ab=sinAsinB.若a>b,則ab=sinAsinB>1,又sinA>0,sinB>0,所以sinA>sinB,故A正確;因為ab=sinAsinB,又sinA>sinB,sinA>0,sinB>0,所以ab=sinAsinB>1,所以a>b,所以13.22由zi+1=z,得z=?114.62由正弦定理得sinBcosC+sinCsinB=sinA,即sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinCsinB=cosBsinC,∵sinC≠0,∴sinB=cosB,∴tanB=1.∵B∈(0,π),∴B=π4,∴asinA=15.?∞?8∪?892因為a與a+b的夾角為銳角,所以a·(a+b)>0,且a與a+b不共線,即1×5?2(y?2)>0,且1×(y?2)≠16.600由題意知∠AMD=45°,則AM=2MD=4002,又由∠CAB=60°,所以∠MAC=180°-60°-45°=75°,∠ACM=180°?75°?60°=45°,在△MAC中，由正弦定理得ACsin∠AMC=MA17.(1)證明:方法一:設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),…………………1分因為|z|=5,所以所以z+5i所以z+5iz在復平面內(nèi)對應的點為(a+b,a+b),在直線方法二:設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),…………1分因為|z|=a2+b2z+=a+bi+ai+b=a+b+(a+b)i,…………4分所以z+5iz在復平面內(nèi)對應的點為(a+b,a+b),在直線(2)解:因為z=a+bi是方程2x2+4x+k=0(k∈R)所以2(a+bi)2+4(a+bi)+k=0,???????????????????????????6分即2a2?2b2+4a+k+(4ab+4b)i=0所以2a2?2b2+4a+k=0,且4ab+4b由4ab+4b=0及b≠0,得a=?1,……………8分因為a2+b2=5,所以b=±2把a=?1,b=±2代入2a2?2b2+4a+k=0得k=10,所以k=10,z=-1±2i………………10分18.解:(1)因為(3a+b)·(a?2b)=?16,所以3a2?5a·b?2b2=?16,即3×22?5a·b?2×32=?16,解得a·b=2.……………3分若(a?b)⊥(a+λb),則即a2+(λ?1)a·b?λb2=0,即22+2(λ?1)?λ×32=0,解得λ=22又a·(2a?b)=2a2?a·b=2×22?2=6,…………………9分所以cos<即a與2a?b的夾角的余弦值為3171719.解:(1)2ccosA=acosB+bcosA,由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA,……2分因為sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以2sinCcosA=sinC,因為C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosA=1因為A∈(0,π),所以A=π3(2)設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,則R=1,由正弦定理，得a=2RsinA=3因為△ABC的周長為33,所以b+c=2由余弦定理，得a即3=12?3bc,所以bc=3……………9分由b+c=23,bc=3,得所以△ABC為等邊三角形.………………………11分所以△ABC的面積S=120.解:AE=BC=AC?AB=2|AD|=12DB=DB?===94.……………21.解:(1)由AB=2可知AD=CDtan在△ABD中,∠DAB=由余弦定理可知,B則BD=19.2∵∠CAB=90°由題意易知,AD=2cosθ,∠ABD=60°?θ.在△ABD中，由正弦定理可知ADsin∠ABD∴2cosθsin