2007全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

PAGE62007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其他中間檔次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應(yīng)的分數(shù).第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6小題，每題均給出了代號為的四個答案，其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內(nèi).每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1.已知滿足，則的值為（）（A）1.（B）.（C）.（D）.【答】B.解由得，所以，故選（B）.注：本題也可用特殊值法來判斷.2．當分別取值，，，…，，，，…，，，時，計算代數(shù)式的值，將所得的結(jié)果相加，其和等于（）（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.【答】C.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第1頁（共8頁）解因為，即當分別取值，為正整數(shù)）時，計算所得的代數(shù)式的值之和為0；而當時，.因此，當分別取值，，，…，，，，…，，，時，計算所得各代數(shù)式的值之和為0.故選（C）.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第1頁（共8頁）3.設(shè)是△的三邊長，二次函數(shù)在時取最小值，則△是（）（A）等腰三角形.（B）銳角三角形.（C）鈍角三角形.（D）直角三角形.【答】D.解由題意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形.故選（D）.4.已知銳角△的頂點到垂心的距離等于它的外接圓的半徑，則∠的度數(shù)是（）AECBDOH（A）30°.（B）45AECBDOH【答】C.解銳角△的垂心在三角形內(nèi)部，如圖，設(shè)△的外心為，為的中點，的延長線交⊙于點，連、，則//，//，則，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故選（C）.5．設(shè)是△內(nèi)任意一點，△、△、△的重心分別為、、，則的值為（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答】A.解分別延長、、，與△的三邊、、交于點、、，由于、、分別為△、△、△的重心，易知、、分別為、、的中點，所以.易證△∽△，且相似比為，所以.所以.故選（A）.6．袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球，從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是（）（A）.（B）.（C）.（D）.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第2頁（共8頁）【答】B.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第2頁（共8頁）＝.3.已知直角梯形的四條邊長分別為，過、兩點作圓,與的延長線交于點，與的延長線交于點，則的值為____4_____.ABCDEFGMN解延長交⊙于點，設(shè)的中點分別為點，則易知.因為，由割線定理，易證，所以.ABCDEFGMN4．若和均為四位數(shù)，且均為完全平方數(shù)，則整數(shù)的值是___17____.解設(shè)，，則，兩式相減得，因為101是質(zhì)數(shù)，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.第二試（A）一、（本題滿分20分）設(shè)為正整數(shù)，且，如果對一切實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離不小于，求的值.解因為一元二次方程的兩根分別為和，所以二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為.由題意，，即，即.由題意知，，且上式對一切實數(shù)恒成立，所以2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第4頁（共8頁）2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第4頁（共8頁）所以或ABCDEFMNP二、（本題滿分25分）如圖，四邊形是梯形，點是上底邊上一點，的延長線與的延長線交于點，過點作的平行線交的延長線于點，與交于點.證明：∠=∠.ABCDEFMNP證明設(shè)與交于點，∵//，∴△∽△，∴,∴.又∵//，∴△∽△，∴,∴.∴,故又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.三、（本題滿分25分）已知是正整數(shù)，如果關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，求的值及方程的整數(shù)根.解觀察易知，方程有一個整數(shù)根，將方程的左邊分解因式，得因為是正整數(shù)，所以關(guān)于的方程（1）的判別式，它一定有兩個不同的實數(shù)根.而原方程的根都是整數(shù)，所以方程（1）的根都是整數(shù)，因此它的判別式應(yīng)該是一個完全平方數(shù).設(shè)（其中為非負整數(shù)），則，即.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第5頁（共8頁）顯然與的奇偶性相同，且，而，所以2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第5頁（共8頁）或或解得或或而是正整數(shù)，所以只可能或當時，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時原方程的三個根為1，和.當時，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時原方程的三個根為1，和.第二試（B）一、（本題滿分20分）設(shè)為正整數(shù)，且，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為.如果對一切實數(shù)恒成立，求的值.解因為一元二次方程的兩根分別為和，所以；一元二次方程的兩根分別為和，所以.所以，（1）由題意知，，且（1）式對一切實數(shù)恒成立，所以所以或二、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第6頁（共8頁）三、（本題滿分25分）設(shè)是正整數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，如果兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），求的值.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第6頁（共8頁）解聯(lián)立方程組消去得，即，分解因式得（1）顯然是方程（1）的一個根，（1，56）是兩個函數(shù)的圖象的一個交點.因為是正整數(shù)，所以關(guān)于的方程（2）的判別式，它一定有兩個不同的實數(shù)根.而兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點，所以方程（2）的根都是整數(shù)，因此它的判別式應(yīng)該是一個完全平方數(shù).設(shè)（其中為非負整數(shù)），則，即.顯然與的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整數(shù)，所以只可能或當時，方程（2）即，它的兩根分別為和，此時兩個函數(shù)的圖象還有兩個交點和.當時，方程（2）即，它的兩根分別為和，此時兩個函數(shù)的圖象還有兩個交點和.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第7頁（共8頁）第二試（C）2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第7頁（共8頁）一、（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第一題相同.二、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三、（本題滿分25分）設(shè)是正整數(shù)，如果二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象有公共整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），求的值和對應(yīng)的公共整點.解聯(lián)立方程組消去得＝，即，分解因式得（1）如果兩個函數(shù)的圖象有公共整點，則方程（1）必有整數(shù)根，從而關(guān)于的一元二次方程（2）必有整數(shù)根，所以一元二次方程（2）的判別式應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，而.所以應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，設(shè)（其中為非負整數(shù)），則，