級高數(shù)下積分應用舉例

第四節(jié)重積分的應用舉例一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動慣量五、物體的引力一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為

空間區(qū)域的體積被圓柱面所截得的例1

求球體(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:由對稱性可知二、曲面的面積設光滑曲面小切平面的面積

dS無限積累而成.設它在D

上的投影的面積為d

,(dS稱為曲面面積元素)則?則面積S可看成曲面上各點處或偏導數(shù)連續(xù)(可微)且不同時為零(見書P99)故有曲面的面積公式即例1.求

x

+y

+z

=

1被三坐標面所割的第一卦限部分的面積.

(曲頂柱體的體積)切記：別寫成！(Dxy是

在xoy面上的投影區(qū)域)若光滑曲面方程為則有若光滑曲面方程為則有同理可得設光滑曲面故有曲面面積公式解

另如：作業(yè)本P43一4

設空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量

由加權平均算法得出分別位于分別為三、物體的質(zhì)心該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標為質(zhì)心即“質(zhì)量中心”，物體或物體系的質(zhì)量分布用加權平均求出的平均中心.重心是物體各部分所受重力的合力作用點.由元素法,得當薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心.注:若物體質(zhì)量均勻分布,則物體重心、質(zhì)心(形心)重合由元素法,得例.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:

利用對稱性可知而之間均勻薄片

∴質(zhì)心為C(0,7/3)另如：作業(yè)本P44二4

2、空間物體的質(zhì)心推廣的質(zhì)心在處.當物體是均勻的，質(zhì)心稱為形心.四、轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量為m

的質(zhì)點關于軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點系關于軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.同理此薄片對y軸、原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為:1、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量設平面薄片物體占有xoy面上區(qū)域D,有連續(xù)該物體位于(x,y)處的微元

分布的面密度對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量為因此薄片對

x

軸的轉(zhuǎn)動慣量:解如圖建立坐標系：對

y軸的轉(zhuǎn)動慣量為：（面密度為常數(shù)）

()同理：對

x軸的轉(zhuǎn)動慣量為：()解:建立坐標系(如圖)關于非坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量解Ⅰ(套公式)Ⅱ()同理，設物體占有空間區(qū)域

,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對

z

軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z

軸的轉(zhuǎn)動慣量為2、空間物體的轉(zhuǎn)動慣量推廣類似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量G

為引力常數(shù)設物體占有空間區(qū)域

,它對其外P0(x0,y0,z0)處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力利用元素法,在

上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標軸上的分量分別為1、空間物體對質(zhì)點的引力五、引力空間物體對單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為：對xoy面上的平面薄片D,它對對P0(x0,y0,z0)處2、平面薄片對質(zhì)點的引力單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為解：由積分區(qū)域的對稱性及質(zhì)量分布均勻性知所求引力為幾何應用：立體的體積、曲面的面積物理應用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點的引力（注意審題，熟悉相關物理知識）六、小結(jié)1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標系、確定積分次序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法

(正確使用對稱性)附注求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為七.(1)