專題07 解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略（原卷版）

專題07解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】 1【類型二過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】 13【類型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 22【典型例題】【類型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】例題：已知，如圖中，、的平分線相交于點，過點作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個等腰三角形，且與、的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關(guān)系還成立嗎？請說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點作交于，交于．請直接寫出與、間的數(shù)量關(guān)系是．【變式訓(xùn)練】1．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E是BC的中點，過E作EFAD交CA延長線于P，交AB于F，求證：(1)△APF是等腰三角形；(2)BF=CP(3)若AB=12，AC=8，試求出PA的長．2．已知：如圖1，中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點D，過點D作交AB于點E，交AC于點F．(1)求證：BE+CF＝EF；(2)若將已知條件中的“∠ACB的角平分線”改為“∠ACB的外角平分線”，其他條件不變（如圖2）（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出BE，CF，EF之間的關(guān)系．（不需證明）3．（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整．已知△ABC．(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖①，若點D是和的角平分線的交點，過點D作分別交，于E，F(xiàn)．填空：與的數(shù)量關(guān)系是______．請說明理由(2)猜想論證如圖②，若點D是外角和的角平分線的交點，其他條件不變，填：與的數(shù)量關(guān)系是______．請說明理由(3)類比探究如圖③，若點D是和外角的角平分線的交點．其他條件不變，則（1）中的關(guān)系成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請寫出關(guān)系式，再證明．4．解答(1)問題背景如圖（1），已知，平分，求證：．(2)嘗試應(yīng)用：如圖（2），在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)拓展創(chuàng)新：如圖（3），在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．

5．【問題背景】在學(xué)習(xí)了等腰三角形等有關(guān)知識后，數(shù)學(xué)活動小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角平分線遇上平行線時一般可得等腰三角形．如圖1，為的角平分線上一點，常過點作交于點，易得為等腰三角形．(1)【基本運用】如圖2，把長方形紙片沿對角線折疊，使點落在點處，則重合部分是等腰三角形．請將以下過程或理由補充完整：∵在長方形中，，∴，由折疊性質(zhì)可得：____________，∴，∴，（依據(jù)是：____________）∴是等腰三角形；(2)【類比探究】如圖3，中，內(nèi)角與外角的角平分線交于點，過點作分別交、于點、，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)【拓展提升】如圖4，四邊形中，，為邊的中點，平分，連接，求證：．【類型二過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】例題：已知：等邊中．(1)如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A，B重合），點N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點P為AC邊的中點，點E在AB的延長線上，點F在BC的延長線上，滿足，求的值．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，為延長線上一點，且交于點.(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，為中點，求的長.2．已知，在等邊三角形中，點E在上，點D在的延長線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點E為的中點時，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點E為邊上任意一點時，確定線段與的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論，并說明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作，交于點F．（請你完成以下解答過程）．(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】在等邊三角形中，點E在直線上，點D在線段的延長線上，且，若的邊長為1，，求的長（直接寫出結(jié)果）．3．在等邊中，是的中點，，的兩邊分別交直線、于、．(1)問題：如圖1，當(dāng)、分別在邊、上，，時，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；(2)探究：如圖2，當(dāng)落在邊上，落在射線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？寫出理由；(3)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)落在射線上，F(xiàn)落在射線上時，，，則___________．【類型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】例題：如圖，在中，，的平分線交于點D．求證：．

【變式訓(xùn)練】1．在中，，(1)如圖①，當(dāng)，為的角平分線時，在上截取，連接，易證．請證明；(2)①如圖②，當(dāng)，為的角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．2．【問題背景】小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系__________________；【類比運用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點C落在