家教資料高中數(shù)學(xué)必修一復(fù)習(xí)資料

必修1第一章集合與函數(shù)概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含義與表示〔1〕集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.〔2〕常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集.〔3〕集合與元素間的關(guān)系對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.〔4〕集合的表示法①自然語言法：用文字表達(dá)的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.〔5〕集合的分類①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合間的根本關(guān)系〔6〕子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集〔或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)假設(shè)且，那么(4)假設(shè)且，那么或真子集AB〔或BA〕，且B中至少有一元素不屬于A〔1〕〔A為非空子集〕(2)假設(shè)且，那么集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA〔7〕集合有個(gè)元素，那么它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的根本運(yùn)算〔8〕交集、并集、補(bǔ)集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且〔1〕〔2〕〔3〕并集或〔1〕〔2〕〔3〕補(bǔ)集〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法〔1〕含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個(gè)整體，化成，型不等式來求解〔2〕一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根〔其中無實(shí)根的解集或的解集〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念〔1〕函數(shù)的概念①設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法那么，對于集合中任何一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)〔包括集合，以及到的對應(yīng)法那么〕叫做集合到的一個(gè)函數(shù)，記作．②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法那么．③只有定義域相同，且對應(yīng)法那么也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)．〔2〕區(qū)間的概念及表示法①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做．注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須．〔3〕求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原那么：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)．②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤中，．⑥零〔負(fù)〕指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦假設(shè)是由有限個(gè)根本初等函數(shù)的四那么運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，那么其定義域一般是各根本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：假設(shè)的定義域?yàn)?，其?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出．⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義．〔4〕求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法根本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小〔大〕數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小〔大〕值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：①觀察法：對于比擬簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：假設(shè)函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，那么在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用根本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換到達(dá)化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．【1.2.2】函數(shù)的表示法〔5〕函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系．〔6〕映射的概念①設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法那么，對于集合中任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)〔包括集合，以及到的對應(yīng)法那么〕叫做集合到的映射，記作．②給定一個(gè)集合到集合的映射，且．如果元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．〖1.3〗函數(shù)的根本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大〔小〕值〔1〕函數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)．〔1〕利用定義〔2〕利用函數(shù)的單調(diào)性〔3〕利用函數(shù)圖象〔在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增〕〔4〕利用復(fù)合函數(shù)如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)．〔1〕利用定義〔2〕利用函數(shù)的單調(diào)性〔3〕利用函數(shù)圖象〔在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減〕〔4〕利用復(fù)合函數(shù)②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)．③對于復(fù)合函數(shù)，令，假設(shè)為增，為增，那么為增；假設(shè)為減，為減，那么為增；假設(shè)為增，為減，那么為減；假設(shè)為減，為增，那么為減．〔2〕打“√〞函數(shù)的圖象與性質(zhì)yyxo分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)．〔3〕最大〔小〕值定義①一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：〔1〕對于任意的，都有；〔2〕存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作．②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：〔1〕對于任意的，都有；〔2〕存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作．【1.3.2】奇偶性〔4〕函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．〔1〕利用定義〔要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱〕〔2〕利用圖象〔圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱〕如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．〔1〕利用定義〔要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱〕〔2〕利用圖象〔圖象關(guān)于y軸對稱〕②假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，那么．③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)〔或奇函數(shù)〕的和〔或差〕仍是偶函數(shù)〔或奇函數(shù)〕，兩個(gè)偶函數(shù)〔或奇函數(shù)〕的積〔或商〕是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積〔或商〕是奇函數(shù)．〖補(bǔ)充知識〗函數(shù)的圖象〔1〕作圖利用描點(diǎn)法作圖：①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)〔奇偶性、單調(diào)性〕；④畫出函數(shù)的圖象．利用根本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種根本初等函數(shù)的圖象．①平移變換②伸縮變換③對稱變換〔2〕識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．〔3〕用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形〞的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．第一章集合與函數(shù)概念第一講集合★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：集合的定義及其關(guān)系題型1：集合元素的根本特征[例1]〔2023年江西理〕定義集合運(yùn)算：．設(shè)，那么集合的所有元素之和為〔〕A．0；B．2；C．3；D．6[解題思路]根據(jù)的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素[解析]：正確解答此題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據(jù)題中定義的集合運(yùn)算知=，故應(yīng)選擇D【名師指引】這類將新定義的運(yùn)算引入集合的問題因?yàn)楸尘肮?，所以成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，這時(shí)要充分理解所定義的運(yùn)算即可，但要特別注意集合元素的互異性。題型2：集合間的根本關(guān)系[例2]．?dāng)?shù)集與之的關(guān)系是〔〕A．；B．；C．；D．[解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來，然后進(jìn)行判斷；也可依選擇支之間的關(guān)系進(jìn)行判斷。[解析]從題意看，數(shù)集與之間必然有關(guān)系，如果A成立，那么D就成立，這不可能；同樣，B也不能成立；而如果D成立，那么A、B中必有一個(gè)成立，這也不可能，所以只能是C【名師指引】新定義問題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解決這類問題的方法就是嚴(yán)格根據(jù)題中的定義，逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，不方便進(jìn)行檢驗(yàn)的，就設(shè)法舉反例?？键c(diǎn)二：集合的根本運(yùn)算[例3]設(shè)集合，假設(shè)，求實(shí)數(shù)的值；〔2〕假設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍假設(shè)，[解題思路]對于含參數(shù)的集合的運(yùn)算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)條件求參數(shù)。[解析]因?yàn)?，?〕由知，，從而得，即，解得或當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，滿足條件所以或〔2〕對于集合，由因?yàn)?，所以①?dāng)，即時(shí)，，滿足條件；②當(dāng)，即時(shí)，，滿足條件；③當(dāng)，即時(shí)，才能滿足條件，由根與系數(shù)的關(guān)系得，矛盾故實(shí)數(shù)的取值范圍是【名師指引】對于比擬抽象的集合，在探究它們的關(guān)系時(shí)，要先對它們進(jìn)行化簡。同時(shí)，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.第2講函數(shù)與映射的概念求值域的幾種常用方法〔1〕配方法：對于〔可化為〕“二次函數(shù)型〞的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)，可變?yōu)榻鉀Q〔2〕根本函數(shù)法：一些由根本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用根本函數(shù)的值域來求，如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求?！?〕判別式法：通過對二次方程的實(shí)根的判別求值域。如求函數(shù)的值域由得，假設(shè)，那么得，所以是函數(shù)值域中的一個(gè)值；假設(shè)，那么由得，故所求值域是〔4〕別離常數(shù)法：常用來求“分式型〞函數(shù)的值域。如求函數(shù)的值域，因?yàn)?，而，所以，故?〕利用根本不等式求值域：如求函數(shù)的值域當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，假設(shè)，那么假設(shè)，那么，從而得所求值域是〔6〕利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因，故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域?yàn)椤?〕圖象法：如果函數(shù)的圖象比擬容易作出，那么可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域〔求某些分段函數(shù)的值域常用此法〕?！餆狳c(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：判斷兩函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)[例1]試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？〔1〕，；〔2〕，〔3〕，〔n∈N*〕；〔4〕，；〔5〕，[解題思路]要判斷兩個(gè)函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)，就要考查函數(shù)的三要素。[解析]〔1〕由于，，故它們的值域及對應(yīng)法那么都不相同，所以它們不是同一函數(shù).〔2〕由于函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù).〔3〕由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，∴，，它們的定義域、值域及對應(yīng)法那么都相同，所以它們是同一函數(shù).〔4〕由于函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)椋鼈兊亩x域不同，所以它們不是同一函數(shù).〔5〕函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法那么都相同，所以它們是同一函數(shù).[答案]〔1〕、〔2〕、〔4〕不是；〔3〕、〔5〕是同一函數(shù)【名師指引】構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)。都可視為同一函數(shù).考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域、值域題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域[例2].〔08年湖北〕函數(shù)的定義域?yàn)?)A.;B.；C.;D.[解題思路]函數(shù)的定義域應(yīng)是使得函數(shù)表達(dá)式的各個(gè)局部都有意義的自變量的取值范圍。[解析]欲使函數(shù)有意義，必須并且只需，故應(yīng)選擇【名師指引】如沒有標(biāo)明定義域，那么認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的的取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意：①分母不能為0；②對數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；④零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0；⑥假設(shè)解析式由幾個(gè)局部組成，那么定義域?yàn)楦鱾€(gè)局部相應(yīng)集合的交集；⑦如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義，而且注意：研究函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原那么，實(shí)際問題的定義域不要漏寫。題型2：求抽象函數(shù)的定義域[例3]〔2006·湖北〕設(shè)，那么的定義域?yàn)椤病矨.；B.；C.；D.[解題思路]要求復(fù)合函數(shù)的定義域，應(yīng)先求的定義域。[解析]由得，的定義域?yàn)椋式獾?。故的定義域?yàn)?選B.【名師指引】求復(fù)合函數(shù)定義域,即函數(shù)的定義為，那么函數(shù)的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地，假設(shè)函數(shù)的定義域是，指的是，要求的定義域就是時(shí)的值域。題型3；求函數(shù)的值域[例4]函數(shù)，假設(shè)恒成立，求的值域[解題思路]應(yīng)先由條件確定取值范圍，然后再將中的絕對值化去之后求值域[解析]依題意，恒成立，那么，解得，所以，從而，，所以的值域是【名師指引】求函數(shù)的值域也是高考熱點(diǎn)，往往都要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值?？键c(diǎn)三：映射的概念[例5]〔06陜西〕為確保信息平安，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文〔加密〕，接收方由密文明文〔解密〕，加密規(guī)那么為：明文對應(yīng)密文例如，明文對應(yīng)密文當(dāng)接收方收到密文時(shí)，那么解密得到的明文為〔〕A．；B．；C．；D．[解題思路]密文與明文之間是有對應(yīng)規(guī)那么的，只要按照對應(yīng)規(guī)那么進(jìn)行對應(yīng)即可。[解析]當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，有，解得，解密得到的明文為C．【名師指引】理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：〔1〕集合A、B及對應(yīng)法那么f是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng)；〔2〕對應(yīng)法那么有“方向性〞，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從集合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；〔3〕集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)的本質(zhì)特征；〔4〕集合A中不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；〔5〕不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.第3講函數(shù)的表示方法★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1：用圖像法表示函數(shù)[例1]〔09年廣東南海中學(xué)〕一水池有個(gè)進(jìn)水口,個(gè)出水口,一個(gè)口的進(jìn)、出水的速度如圖甲點(diǎn)到點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下個(gè)論斷：進(jìn)水量出水量蓄水量甲乙丙〔1〕點(diǎn)到點(diǎn)只進(jìn)水不出水；〔2〕點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水只出水；〔3〕點(diǎn)到點(diǎn)不進(jìn)水不出水．那么一定不正確的論斷是(把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號都填上).[解題思路]根據(jù)題意和所給出的圖象，對三個(gè)論斷進(jìn)行確認(rèn)即可。[解析]由圖甲知，每個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時(shí)1個(gè)單位，兩個(gè)進(jìn)水口1個(gè)小時(shí)共進(jìn)水2個(gè)單位，3個(gè)小時(shí)共進(jìn)水6個(gè)單位，由圖丙知①正確；而由圖丙知，3點(diǎn)到4點(diǎn)應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故②錯(cuò)誤；由圖丙知，4點(diǎn)到6點(diǎn)可能是不進(jìn)水不出水，也可能是兩個(gè)進(jìn)水口都進(jìn)水，同時(shí)出水口也出水，故③不一定正確。從而一定不正確的論斷是〔2〕【名師指引】象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個(gè)熱點(diǎn)，它要求考生熟悉根本的函數(shù)圖象特征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點(diǎn)題型是“知式選圖〞和“知圖選式〞?？键c(diǎn)2：用列表法表示函數(shù)[例2]〔07年北京〕函數(shù)，分別由下表給出123131123321那么的值為；滿足的的值是[解題思路]這是用列表的方法給出函數(shù)，就依照表中的對應(yīng)關(guān)系解決問題。[解析]由表中對應(yīng)值知=；當(dāng)時(shí)，，不滿足條件當(dāng)時(shí)，，滿足條件，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，∴滿足的的值是【名師指引】用列表法表示函數(shù)具有明顯的對應(yīng)關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系，用好對應(yīng)關(guān)系即可?？键c(diǎn)3：用解析法表示函數(shù)題型1：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式[例3]〔04湖北改編〕=，那么的解析式可取為[解題思路]這是復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式，應(yīng)該首選換元法[解析]令，那么，∴.∴.故應(yīng)填【名師指引】求函數(shù)解析式的常用方法有：①換元法〔注意新元的取值范圍〕；②待定系數(shù)法〔函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等〕；③整體代換〔配湊法〕；④構(gòu)造方程組〔如自變量互為倒數(shù)、為奇函數(shù)且為偶函數(shù)等〕。題型2：求二次函數(shù)的解析式[例4]〔普寧市城東中學(xué)09屆高三第二次月考〕二次函數(shù)滿足，且。⑴求的解析式；⑵在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的范圍。[解題思路]〔1〕由于是二次函數(shù)，故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解；〔2〕用數(shù)表示形，可得求對于恒成立，從而通過別離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可。[解析]⑴設(shè)，那么與條件比擬得：解之得，又，⑵由題意得：即對恒成立，易得【名師指引】如果函數(shù)的類型，那么可利用待定系數(shù)法求解；通過別離參數(shù)求函數(shù)的最值來獲得參數(shù)的取值范圍是一種常用方法?？键c(diǎn)4：分段函數(shù)題型1：根據(jù)分段函數(shù)的圖象寫解析式[例5](07年湖北)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥物消毒法進(jìn)行消毒。藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y〔毫克〕與時(shí)間t〔小時(shí)〕成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為〔a為常數(shù)〕，如下圖，根據(jù)圖中提供的信息，答復(fù)以下問題：〔Ⅰ〕從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y〔毫克〕與時(shí)間t〔小時(shí)〕之間的函數(shù)關(guān)系式為；〔Ⅱ〕據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室。[思路點(diǎn)撥]根據(jù)題意，藥物釋放過程的含藥量y〔毫克〕與時(shí)間t是一次函數(shù)，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系是的，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定其中的參數(shù)，然后再由所得的表達(dá)式解決〔Ⅱ〕[解析]〔Ⅰ〕觀察圖象，當(dāng)時(shí)是直線，故；當(dāng)時(shí)，圖象過所以，即，所以〔Ⅰ〕，所以至少需要經(jīng)過小時(shí)【名師指引】分段函數(shù)的每一段一般都是由根本初等函數(shù)組成的，解決方法是分段處理。題型2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象例6](2006·上海)設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像。[思路點(diǎn)撥]需將來絕對值符號翻開，即先解，然后依分界點(diǎn)將函數(shù)分段表示，再畫出圖象。[解析],如右上圖.【名師指引】分段函數(shù)的解決方法是分段處理，要注意分段函數(shù)的表示方法，它是用聯(lián)立符號將函數(shù)在定義域的各個(gè)局部的表達(dá)式依次表示出來，同時(shí)附上自變量的各取值范圍。第4講函數(shù)的單調(diào)性與最值★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性題型1：討論函數(shù)的單調(diào)性[例1](2023廣東)設(shè),函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性.[解題思路]分段函數(shù)要分段處理，由于每一段都是根本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，所以應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)來研究。[解析]:因?yàn)?所以.(1)當(dāng)x<1時(shí)，1-x>0，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)x>1時(shí)，x-1>0，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上得，①當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)k<0時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【名師指引】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單調(diào)性是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，分段落函數(shù)用注意分段處理.題型2：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性[例2]定義在R上的函數(shù)，，當(dāng)x＞0時(shí)，，且對任意的a、b∈R，有f〔a+b〕=f〔a〕·f〔b〕.〔1〕求證：f〔0〕=1；〔2〕求證：對任意的x∈R，恒有f〔x〕＞0；〔3〕求證：f〔x〕是R上的增函數(shù)；〔4〕假設(shè)f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，求x的取值范圍.[解題思路]抽象函數(shù)問題要充分利用“恒成立〞進(jìn)行“賦值〞，從關(guān)鍵等式和不等式的特點(diǎn)入手。[解析]〔1〕證明：令a=b=0，那么f〔0〕=f2〔0〕.又f〔0〕≠0，∴f〔0〕=1.〔2〕證明：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f〔0〕=f〔x〕·f〔－x〕=1.∴f〔－x〕=x≥0時(shí)f〔x〕≥1＞0，∴x∈R時(shí)，恒有f〔x〕＞0.〔3〕證明：設(shè)x1＜x2，那么x2－x1＞0.∴f〔x2〕=f〔x2－x1+x1〕=f〔x2－x1〕·f〔x1〕.∵x2－x1＞0，∴f〔x2－x1〕＞1.又f〔x1〕＞0，∴f〔x2－x1〕·f〔x1〕＞f〔x1〕.∴f〔x2〕＞f〔x1〕.∴f〔x〕是R上的增函數(shù).〔4〕解：由f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，f〔0〕=1得f〔3x－x2〕＞f〔0〕.又f〔x〕是R上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名師指引】解此題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是〔3〕中“f〔x2〕=f［〔x2－x1〕+x1］〞是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里表達(dá)了向條件化歸的策略.考點(diǎn)2函數(shù)的值域〔最值〕的求法題型1：求分式函數(shù)的最值[例3]〔2000年上?！澈瘮?shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；[解題思路]當(dāng)時(shí)，，這是典型的“對鉤函數(shù)〞，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或?qū)?shù)；[解析]當(dāng)時(shí)，，。在區(qū)間上為增函數(shù)。在區(qū)間上的最小值為?！久麕熤敢繉τ诤瘮?shù)假設(shè)，那么優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，否那么會得到而認(rèn)為其最小值為，但實(shí)際上，要取得等號，必須使得，這時(shí)所以，用均值不等式來求最值時(shí)，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。此題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；題型2：利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍[例4]〔2000年上?！澈瘮?shù)假設(shè)對任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍。[解題思路]欲求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)從恒成立的具體情況開始。[解析]在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3，即【名師指引】這里利用了別離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。題型3：求三次多項(xiàng)式函數(shù)的最值[例5]〔09年高州中學(xué)〕為實(shí)數(shù)，函數(shù)，假設(shè)，求函數(shù)在上的最大值和最小值。[解題思路]求三次多項(xiàng)式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)作為工具來研究其單調(diào)性。[解析]∵，……3分……4分得：當(dāng)……5分當(dāng)……6分因此，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而在內(nèi)單調(diào)遞減，且又，，………………10分【名師指引】用導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性和最值是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)，要求考生熟練掌握用導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性和最值的方法和步驟。第5講函數(shù)的奇偶性和周期性★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1判斷函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用題型1：判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性[例1]判斷以下函數(shù)的奇偶性：〔1〕f〔x〕=|x+1|－|x－1|；〔2〕f〔x〕=〔x－1〕·；〔3〕；〔4〕[思路點(diǎn)撥]判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)依照定義解決，但都要先考查函數(shù)的定義域。[解析]〔1〕函數(shù)的定義域x∈〔－∞，+∞〕，對稱于原點(diǎn).∵f〔－x〕=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－〔|x+1|－|x－1|〕=－f〔x〕，∴f〔x〕=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對稱于原點(diǎn)，所以f〔x〕既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).〔3〕去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷.由得=，∴f〔－x〕==－=－f〔x〕故f〔x〕為奇函數(shù).〔4〕∵函數(shù)f〔x〕的定義域是〔－∞，0〕∪〔0，+∞〕，并且當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，∴f〔－x〕=〔－x〕［1－〔－x〕］=－x〔1+x〕=－f〔x〕〔x＞0〕.當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f〔－x〕=－x〔1－x〕=－f〔x〕〔x＜0〕.故函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù).【名師指引】eq\o\ac(○,1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì),定義域具有對稱性(即假設(shè)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域?yàn)镈,那么時(shí))是一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件eq\o\ac(○,2)分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式.題型2：證明抽象函數(shù)的奇偶性[例2]〔09年山東梁山〕定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)滿足：對任意的，都有.求證f(x)為奇函數(shù)；[思路點(diǎn)撥]欲證明為奇函數(shù)，就要證明，但這是抽象函數(shù)，應(yīng)設(shè)法充分利用條件“對任意的，都有〞中的進(jìn)行合理“賦值〞[解析]令x=y=0，那么f(0)+f(0)=∴f(0)=0令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1)∴f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上為奇函數(shù)【名師指引】對于抽象函數(shù)的奇偶性問題，解決的關(guān)鍵是巧妙進(jìn)行“賦值〞，而抽象函數(shù)的不等式問題，要靈活利用條件，尤其是f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)考點(diǎn)2函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用[例3]〔普寧市城東中學(xué)09〕奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，假設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。[思路點(diǎn)撥]欲求的取值范圍，就要建立關(guān)于的不等式，可見，只有從出發(fā)，所以應(yīng)該利用的奇偶性和單調(diào)性將外衣“〞脫去。[解析]是定義在上奇函數(shù)對任意有由條件得=是定義在上減函數(shù)，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是【名師指引】利用函數(shù)的奇偶性可以求對稱區(qū)間上的函數(shù)的表達(dá)式[例4]設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.[思路點(diǎn)撥]欲由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)求a的取值范圍，就要設(shè)法利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性。而函數(shù)y=()是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法解決[解析]設(shè)0<x1<x2,那么－x2<－x1<0，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3).【名師指引】偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同。考點(diǎn)3函數(shù)奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用[例5]〔09年惠州第三次調(diào)研考〕定義在上的偶函數(shù)滿足對于恒成立，且，那么________[思路點(diǎn)撥]欲求，應(yīng)該尋找的一個(gè)起點(diǎn)值，發(fā)現(xiàn)的周期性[解析]由得到，從而得，可見是以4為周期的函數(shù)，從而，又由等式得又由是上的偶函數(shù)得又在等式中令得，即所以【名師指引】近年將函數(shù)的奇偶性、周期性綜合在一起考查逐步成為一個(gè)熱點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性〔奇偶性〕。必修1第二章根本初等函數(shù)(Ⅰ)〖2.1〗指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算〔1〕根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的次方根用符號表示；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根．②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．〔2〕分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．〔3〕分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①②③【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔4〕指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)0101圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低．〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算〔1〕對數(shù)的定義①假設(shè)，那么叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)．②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：．〔2〕幾個(gè)重要的對數(shù)恒等式，，．〔3〕常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即〔其中…〕．〔4〕對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤⑥換底公式：【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔5〕對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象001001定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，從式子中解出，得式子．如果對于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成．〔7〕反函數(shù)的求法①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域．〔8〕反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域．③假設(shè)在原函數(shù)的圖象上，那么在反函數(shù)的圖象上．④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)那么它必須為單調(diào)函數(shù)．〖2.3〗冪函數(shù)〔1〕冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．〔2〕冪函數(shù)的圖象〔3〕冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)．③單調(diào)性：如果，那么冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．如果，那么冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸．④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)〔其中互質(zhì)，和〕，假設(shè)為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，那么是奇函數(shù)，假設(shè)為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，那么是偶函數(shù)，假設(shè)為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，那么是非奇非偶函數(shù)．⑤圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)，其圖象在直線下方，假設(shè)，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，假設(shè)，其圖象在直線上方，假設(shè)，其圖象在直線下方．〖補(bǔ)充知識〗二次函數(shù)〔1〕二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：②頂點(diǎn)式：③兩根式：〔2〕求二次函數(shù)解析式的方法①三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大〔小〕值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③假設(shè)拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)時(shí)，選用兩根式求更方便．〔3〕二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是．②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，．③二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．〔4〕一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這局部知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理〔韋達(dá)定理〕的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布．設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且．令，從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向：②對稱軸位置：③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號．①k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))②x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))⑤有且僅有一個(gè)根x1〔或x2〕滿足k1＜x1〔或x2〕＜k2f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))此結(jié)論可直接由⑤推出．〔5〕二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令．〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)〔開口向上〕最小值假設(shè)，那么②假設(shè)，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③假設(shè)，那么xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最大值假設(shè)，那么②，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)(Ⅱ)當(dāng)時(shí)(開口向下)最大值①假設(shè)，那么②假設(shè)，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③假設(shè)，那么xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最小值①假設(shè)，那么②，那么．xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第1講§2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.¤知識要點(diǎn)：1.假設(shè)，那么x叫做a的n次方根，記為，其中n>1，且.n次方根具有如下性質(zhì)：〔1〕在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對值相等、符號相反的數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義；零的任何次方根都是零.〔2〕n次方根〔〕有如下恒等式：；；，〔a0〕.2.規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：〔〕；.¤例題精講：【例1】求以下各式的值：〔1〕〔〕；〔2〕.解：〔1〕當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.〔2〕.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【例2】，求的值.解：.【例3】化簡：〔1〕；〔2〕〔a＞0，b＞0〕；〔3〕.解：〔1〕原式=.〔2〕原式====.〔3〕原式=.點(diǎn)評：根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，切記不能混淆，注意將根指數(shù)化為分母，冪指數(shù)化為分子，根號的嵌套，化為冪的冪.正確轉(zhuǎn)化和運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，是復(fù)雜根式化簡的關(guān)鍵.【例4】化簡與求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式====4.〔2〕原式===.點(diǎn)評：形如的雙重根式，當(dāng)是一個(gè)平方數(shù)時(shí)，那么能通過配方法去掉雙重根號，這也是雙重根號能否開方的判別技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也表達(dá)了一種消去法的思想.第〔1〕小題還可用平方法，即先算得原式的平方，再開方而得.第2講§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).¤知識要點(diǎn)：1.定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)〔exponentialfunction〕，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.2.以函數(shù)與的圖象為例，觀察這一對函數(shù)的圖象，可總結(jié)出如下性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù).¤例題精講：【例1】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?〔2〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?〔3〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?【例2】求以下函數(shù)的值域：〔1〕；〔2〕解：〔1〕觀察易知，那么有.∴原函數(shù)的值域?yàn)?〔2〕.令，易知.那么.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，由其對稱軸觀察得到在上為增函數(shù)，所以.∴原函數(shù)的值域?yàn)?【例3】〔05年福建卷.理5文6〕函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕.A． B．C． D．解：從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)為減函數(shù)，從而0<a<1；從曲線位置看，是由函數(shù)的圖象向左平移|-b|個(gè)單位而得，所以-b>0，即b<0.所以選D.點(diǎn)評：觀察圖象變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到參數(shù)a的范圍.根據(jù)所給函數(shù)式的平移變換規(guī)律，得到參數(shù)b的范圍.也可以取x=1時(shí)的特殊點(diǎn)，得到，從而b<0.【例4】函數(shù).〔1〕求該函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕指出該函數(shù)的單調(diào)性.解：〔1〕當(dāng)，即時(shí)，.所以，該函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).〔2〕∵是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù).點(diǎn)評：底數(shù)兩種情況的辨析，實(shí)質(zhì)就是分類討論思想的運(yùn)用.而含參指數(shù)型函數(shù)的研究，要求正確處理與參數(shù)相關(guān)的變與不變.第3講§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：在解決簡單實(shí)際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.¤知識要點(diǎn)：以函數(shù)與的圖象為例，得出這以下結(jié)論：〔1〕函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱.〔2〕指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，底數(shù)由下到大.¤例題精講：【例1】按從小到大的順序排列以下各數(shù)：，，，.解：構(gòu)造四個(gè)指數(shù)函數(shù)，分別為，，，，它們在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，依次是，，，.如右圖所示.由于，所以從小到大依次排列是：，，，.點(diǎn)評：利用指數(shù)函數(shù)圖象的分步規(guī)律，巧妙地解決了同指數(shù)的冪的大小比擬問題.當(dāng)然，我們在后面的學(xué)習(xí)中，可以直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比擬此類大小.【例2】.〔1〕討論的奇偶性；〔2〕討論的單調(diào)性.解：〔1〕的定義域?yàn)镽.∵.∴為奇函數(shù).〔2〕設(shè)任意，且，那么.由于，從而，即.∴，即.∴為增函數(shù).點(diǎn)評：在這里，奇偶性與單調(diào)性的判別，都是直接利用知識的定義來解決.需要我們理解兩個(gè)定義，掌握其運(yùn)用的根本模式，并能熟練的進(jìn)行代數(shù)變形，得到理想中的結(jié)果.【例3】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕設(shè).由知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).根據(jù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，y關(guān)于u為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y關(guān)于u為減函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.〔2〕函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè).易知為減函數(shù).而根據(jù)的圖象可以得到，在區(qū)間與上，y關(guān)于u均為減函數(shù).∴在上，原函數(shù)為增函數(shù)；在上，原函數(shù)也為增函數(shù).點(diǎn)評：研究形如的函數(shù)的單調(diào)性，可以有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相反.而對于形如的函數(shù)單調(diào)性的研究，也需結(jié)合的單調(diào)性及的單調(diào)性進(jìn)行研究.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，遵循一般步驟和結(jié)論，即：分別求出與兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再按口訣“同增異減〞得出復(fù)合后的單調(diào)性，即兩個(gè)函數(shù)同為增函數(shù)或者同為減函數(shù)，那么復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；假設(shè)兩個(gè)函數(shù)一增一減，那么復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).為何有“同增異減〞？我們可以抓住“x的變化→的變化→的變化〞這樣一條思路進(jìn)行分析.第4講§2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解對數(shù)的概念；能夠說明對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，并能運(yùn)用指對互化關(guān)系研究一些問題.¤知識要點(diǎn)：1.定般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)〔logarithm〕.記作，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2.我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)〔commonlogarithm〕，并把常用對數(shù)簡記為lgN在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)……為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，并把自然對數(shù)簡記作lnN3.根據(jù)對數(shù)的定義，得到對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系：當(dāng)時(shí)，.4.負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)；，¤例題精講：【例1】將以下指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕ln100=4.606.解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.【例2】計(jì)算以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.〔2〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.〔3〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.【例3】求證：〔1〕；〔2〕.證明：〔1〕設(shè)，那么，解得.所以.〔2〕設(shè)，，那么，.因?yàn)?，那?所以，.點(diǎn)評：對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是對數(shù)運(yùn)算的靈魂，其推導(dǎo)以對數(shù)定義得到的指對互化關(guān)系為橋梁，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)而得到.我們需熟知各種運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo).【例4】試推導(dǎo)出換底公式：〔，且；，且；〕.證明：設(shè)，，，那么，，.從而，即.由于，那么.所以，.點(diǎn)評：換底公式是解決對數(shù)運(yùn)算中底數(shù)不相同時(shí)的核心工具.其推導(dǎo)也密切聯(lián)系指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，牢牢扣住指對互化關(guān)系.第5講§2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運(yùn)算的作用；理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；理解推導(dǎo)這些運(yùn)算性質(zhì)的依據(jù)和過程；能較熟練地運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)解決問題.¤知識要點(diǎn)：1.對數(shù)的運(yùn)算法那么：，，，其中，.三條法那么是有力的解題工具，能化簡與求值復(fù)雜的對數(shù)式.2.對數(shù)的換底公式.如果令b=N，那么得到了對數(shù)的倒數(shù)公式.同樣，也可以推導(dǎo)出一些對數(shù)恒等式，如，，等.¤例題精講：【例1】化簡與求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式=====.〔2〕原式====.【例2】假設(shè)，那么=.〔教材P83B組2題〕解：由，得，.那么.【例3】〔1〕方程的解x=________；〔2〕設(shè)是方程的兩個(gè)根，那么的值是.解：〔1〕由，得，即，整理為.解得x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.〔2〕設(shè)，那么原方程化為，其兩根為.由，得到.點(diǎn)評：同底法是解簡單對數(shù)方程的法寶，化同底的過程中需要結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).第2小題巧妙利用了換元思想和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【例4】〔1〕化簡：；〔2〕設(shè)，求實(shí)數(shù)m的值.解：〔1〕原式=.〔2〕原式左邊=,∴，解得.點(diǎn)評：換底時(shí)，一般情況下可以換為任意的底數(shù)，但習(xí)慣于化為常用對數(shù).換底之后，注意結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)完成后階段的運(yùn)算.第6講§2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過具體實(shí)例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).¤知識要點(diǎn)：1.定義：一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction).自變量是x；函數(shù)的定義域是〔0，+∞〕.2.由與的圖象，可以歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)镽；當(dāng)時(shí)，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增.¤例題精講：【例1】比擬大小：〔1〕，，；〔2〕，，.解：〔1〕∵在上是減函數(shù)，且，∴.又，所以.〔2〕由，得.又，，所以.【例2】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，得，解得.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?〔2〕由，即，所以，解得.所以，原函數(shù)的定義域?yàn)?【例3】函數(shù)的區(qū)間上總有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，即.∵，∴，解得.當(dāng)時(shí)，，即.∵，∴，解得.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)評：先對底數(shù)a分兩種情況討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性及條件，列出關(guān)于參數(shù)a的不等式組，解不等式〔組〕而得到參數(shù)的范圍.解決此類問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化與分類討論，不等式法求參數(shù)范圍.【例4】求不等式中x的取值范圍.解：當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得.當(dāng)時(shí)