空間向量基本定理

空間向量的根本定理回憶復(fù)習(xí)向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使b=λa。1、共線向量定理和平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？2、這兩個(gè)定理是如何推導(dǎo)的？平面向量根本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使.a=λ1e1+λ2e2LOGO共面向量定理：

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共面向量也稱(chēng)線性相關(guān)?；貞洀?fù)習(xí)分析說(shuō)明：共線向量定理是在一維空間中利用向量平移得到的，而平面向量根本定理是在二維空間中借助與向量加法的平行四邊形法那么推導(dǎo)的，空間向量根本定理是在三維空間中研究的。所以請(qǐng)同學(xué)們猜測(cè)：如果在空間中有不共面的三個(gè)向量a、b、c，對(duì)于空間中任意一個(gè)向量p，如何用這三個(gè)向量表示出來(lái)？

LOGO新課講解〔空間向量根本定理〕問(wèn)題1：右圖中的向量是不共面的三個(gè)向量，請(qǐng)問(wèn)向量與它們是什么關(guān)系？由此可以得出什么結(jié)論？得出的結(jié)論是：

AD'A'CC'BB'D新課講解〔空間向量根本定理〕問(wèn)題1：右圖中的向量是不共面的三個(gè)向量，請(qǐng)問(wèn)向量與它們是什么關(guān)系？由此可以得出什么結(jié)論？AD'A'CC'BB'DC'新課講解〔空間向量根本定理〕問(wèn)題2：如果向量、、分別和向量a、b、c共線，能否用向量a、b、c表示向量？．OAP′A′CBB’P過(guò)點(diǎn)P作直線PP′∥OC，交平面OAB于點(diǎn)P′；在平面OAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P′作直線P′A′∥OB，P′B′∥OA，分別交直線OA，OB于點(diǎn)A′，B′。延長(zhǎng)OC至C′,使OC′=PP′,根據(jù)向量共線的條件，存在三個(gè)確定的實(shí)數(shù)x，y，z，使所以C’新課講解〔空間向量根本定理〕空間向量根本定理：新課講解〔空間向量根本定理〕如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)于空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使

p＝xa+yb+zc．唯一性證明：設(shè)另有一組實(shí)數(shù)x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，那么有：xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0?！遖、b、c不共面，∴x－x’＝y(tǒng)－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y(tǒng)’且z＝z’。故實(shí)數(shù)x、y、z是唯一的。空間向量根本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)于空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa+yb+zc．新課講解〔空間向量根本定理〕說(shuō)明：①空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。②三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是零向量?！擦阆蛄颗c任意非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面〕③一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量。由上述定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成，我們把｛a、b、c｝叫做空間的一個(gè)基底，a、b、c都叫做基向量。zOyx空間向量根本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)于空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa+yb+zc．新課講解〔空間向量根本定理〕推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四個(gè)點(diǎn)，那么對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使推論說(shuō)明：1、可以根據(jù)空間向量的根本定理確定空間任意一點(diǎn)的位置。這樣，就建立了空間任意一點(diǎn)與惟一的有序?qū)崝?shù)組〔x、y、z〕之間的關(guān)系，從而為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算作準(zhǔn)備，也為用向量方法解決幾何問(wèn)題提供了可能。2、推論中假設(shè)x+y+z=1，那么必有P、A、B、C四點(diǎn)共面。題型一：正確理解基底的概念

例1：向量｛a、b、c｝是空間的一個(gè)基底，從a、b、c中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量p＝a+b，q＝a-b構(gòu)成空間的另一個(gè)基底？解：向量c與a+b，a-b一定構(gòu)成空間的一個(gè)基底，否那么，假設(shè)c與a+b，a-b共面，于是c、與a、b共面，這與矛盾。典例分析aba+ba-b題型二：空間向量根本定理及推論的應(yīng)用例2：空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB、AC，M、N分別是對(duì)邊OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，切使MG=2GN，用基向量、、表示。典例分析解：在△OMG中，ABCDA'B'C'D'MNABCDA'B'C'D'MNC1DA1BCAD1B1小結(jié)練習(xí)⒈空間向量根本定理也成為空間向量分解定理，它與平面向量根本定理類(lèi)似，區(qū)別僅在于基底中多了一個(gè)向量，從而分解結(jié)果中多了以“項(xiàng)〞.證明的思路、步驟也根本相同．⒉空間向量根本定理的